试卷 2021年天津市河西区中考数学结课质检试卷

这是一份试卷 2021年天津市河西区中考数学结课质检试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）计算40÷（﹣2）3的结果等于（ ）
A．5B．﹣5C．D．﹣
2．（3分）2sin60°的值等于（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.3×106B．3×107C．3×106D．30×105
4．（3分）下列用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）估计的值在（ ）
A．1到2之间B．2到3之间
C．3到4之间D．2到3之间或﹣3到﹣2之间
7．（3分）计算+的结果是（ ）
A．B．C．1D．x+1
8．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝8．则tanA的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，由于遇到紧急情况，需要将船上的货物不超过五天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载货物的重量为（ ）
A．60吨B．48吨C．40吨D．30吨
10．（3分）在平行四边形ABCD中，已知AB，BC及其夹角∠B（∠B是锐角），则平行四边形ABCD的面积S可以表示为（ ）
A．AB•BCB．AB•BC•tan∠B
C．AB•BC•cs∠BD．AB•BC•sin∠B
11．（3分）如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，3）和（0，4）之间（包含这两个点）．有下列结论：
①abc＜0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝2a有两个不等的实数根；
③﹣≤a≤﹣1．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算cs30°+tan45°的结果等于 ．
14．（3分）计算（﹣2）（+2）的结果等于 ．
15．（3分）已知一个反比例函数的图象过点A（3，﹣4），请你再写出一个在该函数图象上的点的坐标 ．（该点与A不重合）
16．（3分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为，则n的值为 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，A（6，2），B（2，4），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过四边形OABC的顶点C，则k＝ ．
18．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，有正方形AEFG绕点A逆时针旋转，当∠BAE＝45°时，连接DG，BE，并延长BE交DG于点H．若AB＝4，AE＝，则线段BH的长是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）已知反比例函数y＝（k为常熟，k≠0）．
（Ⅰ）其图象与正比例函数y＝﹣x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；
（Ⅱ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＞x2时，试比较y1与y2的大小；
（Ⅲ）若其图象过点（，8），当y＜2时，自变量x的取值范围是 ．（直接写出答案即可）
21．（10分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB的中点，连接OA．
（1）求∠B和∠AOB的度数；
（2）如图②，连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．
22．（10分）小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．
23．（10分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿含1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留17min吃早餐后，匀速走了4min到图书馆．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿含的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①小亮从宿舍走到食堂的速度为 km/min；
②小亮从食堂走到图书馆的速度为 km/min；
（Ⅲ）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．
24．（10分）已知，如图①将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平；再如图②，将图①中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的C'处，点B落在B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平．
（Ⅰ）如图①，填空：若AD＝3，则ED的长为 ；
（Ⅱ）如图②，连接EC'，△MC′E是否一定是等腰三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅲ）如图②，若AC'＝2cm，DC′＝4cm，求DN：EN的值．（直接写出结果即可）
25．（10分）在平面直角坐标系中，点O（0，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，C是常数）经过点B（1，0），C（0，3），与x轴的另一个交点为A，顶点为D．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（Ⅱ）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O′B'C'，点O、B、C的对应点分别为点O'，B'，C'，设平移时间为t秒，当点O′与点A重合时停止移动，记△O′B'C'与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，当0＜t＜1时，求S与时间t的函数解析式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，当1≤t≤3时，求S与时间t的函数解析式．
2021年天津市河西区中考数学结课质检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（3分）计算40÷（﹣2）3的结果等于（ ）
A．5B．﹣5C．D．﹣
【分析】先根据有理数乘方计算，再根据有理数的除法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝40÷（﹣8）＝﹣5．
故选：B．
2．（3分）2sin60°的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．
【解答】解：2sin60°＝2×＝，
故选：A．
3．（3分）我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.3×106B．3×107C．3×106D．30×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3000000＝3×106，
故选：C．
4．（3分）下列用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
5．（3分）用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：C．
6．（3分）估计的值在（ ）
A．1到2之间B．2到3之间
C．3到4之间D．2到3之间或﹣3到﹣2之间
【分析】根据算术平方根的意义，可确定的整数部分，即可确定答案．
【解答】解：∵＜＜，
∴2＜＜3．
故选：B．
7．（3分）计算+的结果是（ ）
A．B．C．1D．x+1
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝＝．
故选：A．
8．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝8．则tanA的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝8．
∴tanA＝＝＝，
故选：A．
9．（3分）码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，由于遇到紧急情况，需要将船上的货物不超过五天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载货物的重量为（ ）
A．60吨B．48吨C．40吨D．30吨
【分析】首先根据题意可知总工作量为30×8＝240吨不变，故卸货速度v与卸货时间t之间为反比例关系，即vt＝240，将t≤5代入，即可求出答案．
【解答】解：设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k＝30×8＝240，
所以v关于t的函数关系式为v＝，
∵v＝，
∴t＝，
∵t≤5，
∴≤5，
解得：v≥48．
即平均每天至少要卸载48吨．
故选：B．
10．（3分）在平行四边形ABCD中，已知AB，BC及其夹角∠B（∠B是锐角），则平行四边形ABCD的面积S可以表示为（ ）
A．AB•BCB．AB•BC•tan∠B
C．AB•BC•cs∠BD．AB•BC•sin∠B
【分析】作AE⊥BC于E，则∠AEB＝90°，由三角函数得出AE＝AB•sin∠B，即可得出▱ABCD的面积S＝BC•AE＝BC•ABsin∠B．
【解答】解：能求出▱ABCD的面积，S＝BC•ABsin∠B；理由如下：
如图所示：作AE⊥BC于E，则∠AEB＝90°，
∴sin∠B＝，
∴AE＝AB•sin∠B，
∴▱ABCD的面积S＝BC•AE＝BC•ABsin∠B．
故选：D．
11．（3分）如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，根据余弦定理知csA＝，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3＜x≤6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象．
【解答】解：∵正△ABC的边长为3cm，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝3cm．
①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP＝xcm（0≤x≤3）；
根据余弦定理知csA＝，
即＝，
解得，y＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）；
该函数图象是开口向上的抛物线；
解法二：过C作CD⊥AB，则AD＝1.5cm，CD＝cm，
点P在AB上时，AP＝xcm，PD＝|1.5﹣x|cm，
∴y＝PC2＝（）2+（1.5﹣x）2＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）
该函数图象是开口向上的抛物线；
②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC＝（6﹣x）cm（3＜x≤6）；
则y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），
∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线；
故选：C．
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，3）和（0，4）之间（包含这两个点）．有下列结论：
①abc＜0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝2a有两个不等的实数根；
③﹣≤a≤﹣1．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据题意得到a＜0，b＞0，c＞0，即可判断①；由抛物线开口向下，顶点在x轴的上方，即可判断②；由对称轴方程得到b＝﹣2a，由x＝﹣1时，y＝0得到即a﹣b+c＝0，则c＝﹣3a，所以3≤﹣3a≤4，则可判断③．
【解答】解：由题意可知抛物线开口向下，则a＜0，
∵对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，3）和（0，4）之间（包含这两个点）．
∴b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
由题意可知抛物线开口向下，顶点在x轴的上方，
∵a＜0，
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2a有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝2a有两个不等的实数根，故②正确；
∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
而2≤c≤3，
∴3≤﹣3a≤4，
∴﹣≤a≤﹣1，所以③正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算cs30°+tan45°的结果等于 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．
【解答】解：原式＝×+1
＝+1
＝．
故答案为：．
14．（3分）计算（﹣2）（+2）的结果等于 ﹣1 ．
【分析】直接利用平方差公式计算进而得出答案．
【解答】解：（﹣2）（+2）
＝（）2﹣4
＝3﹣4
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（3分）已知一个反比例函数的图象过点A（3，﹣4），请你再写出一个在该函数图象上的点的坐标 （﹣2，6） ．（该点与A不重合）
【分析】把点A（3，﹣4）代入反比例函数y＝求出k＝﹣12，举出点的坐标满足xy＝﹣12即可．
【解答】解：设反比例函数为y＝，
∵一个反比例函数的图象过点A（3，﹣4），
∴k＝3×（﹣4）＝﹣12，
只要举出的点的坐标满足xy＝﹣12即可，如（﹣2，6）．
故答案为：（﹣2，6）．
16．（3分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为，则n的值为 1 ．
【分析】根据摸到白球的概率为，列方程求解即可．
【解答】解：由概率的意义可得，
＝，
解得，n＝1，
检验，n＝1是原方程的根，且符合题意，
故答案为：1．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，A（6，2），B（2，4），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过四边形OABC的顶点C，则k＝ ﹣8 ．
【分析】连接OB，AC，根据O，B的坐标易求P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值．
【解答】解：连接OB，AC，相交于点P，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP＝CP，OP＝BP，
∵B（2，4），
∴P的坐标（1，2），
∵A（6，2），
∴C的坐标为（﹣4，2），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
故答案为：﹣8．
18．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，有正方形AEFG绕点A逆时针旋转，当∠BAE＝45°时，连接DG，BE，并延长BE交DG于点H．若AB＝4，AE＝，则线段BH的长是 ．
【分析】连接GE交AD于点N，连接DE，由于正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，由AE＝，可得到AN＝GN＝1，所以DN＝4﹣1＝3，然后根据勾股定理可计算出DG＝，则BE＝，解着利用S△DEG＝GE•ND＝DG•HE可计算出HE，所以BH＝BE+HE．
【解答】解：连接GE交AD于点N，连接DE，如图，
∵正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，
∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，
∵AE＝，
∴AN＝GN＝1，
∴DN＝4﹣1＝3，
在Rt△DNG中，DG＝＝；
由题意可得：△ABE相当于逆时针旋转90°得到△AGD，
∴DG＝BE＝，
∵S△DEG＝GE•ND＝DG•HE，
∴HE＝＝，
∴BH＝BE+HE＝+＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣2 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤2 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤2，
故答案为：x≥﹣2，x≤2，﹣2≤x≤2．
20．（8分）已知反比例函数y＝（k为常熟，k≠0）．
（Ⅰ）其图象与正比例函数y＝﹣x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；
（Ⅱ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＞x2时，试比较y1与y2的大小；
（Ⅲ）若其图象过点（，8），当y＜2时，自变量x的取值范围是 x＜0或x＞2 ．（直接写出答案即可）
【分析】（Ⅰ）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y＝x的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据待定系数法即可求得；
（Ⅱ）反比例函数y＝图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且x1＞x2，故可知y1＞y2；
（Ⅲ）根据图象即可求得．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，设点P的坐标为（m，2）
∵点P在正比例函数y＝﹣x的图象上，
∴2＝﹣m，即m＝﹣2．
∴点P的坐标为（﹣2，2）．
∵点P在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣2×2＝﹣4；
（Ⅱ）∵反比例函数y＝图象的一支位于第二象限，
∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．
∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且x1＞x2，
∴y1＞y2；
（Ⅲ）由图象可知x＜0或x＞2，
故答案为x＜0或x＞2．
21．（10分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB的中点，连接OA．
（1）求∠B和∠AOB的度数；
（2）如图②，连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）先证明AO平分∠BAC，再证明∠OAC＝∠B＝∠OAB＝30°，由等腰三角形的性质得出答案；
（2）设⊙O的半径为r，由直角三角形的性质得出AC＝OC＝r，利用勾股定理得出（r）2+（2r）2＝（）2，然后解方程即可．
【解答】解：（1）连接OE，
∵AB是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，
∵E是AB的中点，
∴OE⊥AB，OC⊥AC，OE＝OC，
∴AO平分∠BAC，
∴∠OAC＝∠OAB，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∴∠OAC＝∠B＝∠OAB＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠OAB＝120°．
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵∠OAC＝30°，∠OCA＝90°，
∴OA＝2r，
在Rt△OAC中，AC＝OC＝r，
在Rt△ACD中，（r）2+（2r）2＝（）2，解得r＝1，
即⊙O的半径为1．
22．（10分）小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．
【分析】根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC＝CD，CB＝，可得答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB垂足为D，
在Rt△ACD中，tanA＝tan45°＝＝1，CD＝AD，
sinA＝sin45°＝＝，AC＝CD．
在Rt△BCD中，tanB＝tan37°＝≈0.75，BD＝；
sinB＝sin37°＝≈0.60，CB＝．
∵AD+BD＝AB＝63，
∴CD+＝63，
解得CD≈27，
AC＝CD≈1.414×27＝38.178≈38.2，
CB＝≈＝45.0，
答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m．
23．（10分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿含1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留17min吃早餐后，匀速走了4min到图书馆．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿含的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①小亮从宿舍走到食堂的速度为 0.1 km/min；
②小亮从食堂走到图书馆的速度为 0.075 km/min；
（Ⅲ）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【分析】（Ⅰ）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
（Ⅱ）根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当0≤x≤28时，y关于x的函数解析式．
【解答】解：（Ⅰ）由图象可得，
在前7分钟的速度为0.7÷7＝0.1（km/min），
故当x＝6时，离宿舍的距离为0.1×6＝0.6（km），
在7≤x≤24时，距离不变，都是0.7km，故当x＝18时，离宿舍的距离为0.7km，
在x＝28时，走到了图书馆，是1km，故当x＝28时，离宿舍的距离为1km，
故答案为：0.6，0.7，1；
（Ⅱ）由图象可得，
①亮从宿舍走到食堂的速度为0.7﹣7＝0.1（km/min），
故答案为：0.1；
②小亮从食堂到图书馆的速度为：（1﹣0.7）÷（28﹣24）＝0.075（km/min），
故答案为：0.075；
（Ⅲ）由图象可得，
当0≤x≤7时，y＝0.1x；
当7＜x≤24时，y＝0.7；
当24＜x≤28时，设y＝kx+b，
，解得，
即当24＜x≤28时，y＝0.075x﹣1.1；
由上可得，当0≤x≤28时，y关于x的函数解析式是y＝．
24．（10分）已知，如图①将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平；再如图②，将图①中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的C'处，点B落在B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平．
（Ⅰ）如图①，填空：若AD＝3，则ED的长为 3 ；
（Ⅱ）如图②，连接EC'，△MC′E是否一定是等腰三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅲ）如图②，若AC'＝2cm，DC′＝4cm，求DN：EN的值．（直接写出结果即可）
【分析】（1）由折叠性质得∠ADE＝∠A′DE＝45°，得出AE＝AD＝3，由勾股定理则可得出答案；
（2）连接C′E，证明Rt△EC′A≌Rt△C′EB′，得∠C′EA＝∠EC′B′，便可得结论；
（3）设DF＝xcm，则FC′＝FC＝（8﹣x）cm，由勾股定理求出x的值，延长BA、FC′交于点G，求得AG，再证明△DNF∽△ENG，便可求得结果．
【解答】解：（1）∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，
∴∠ADE＝∠A′DE＝45°，
∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，
∴AD＝AE＝3，
∴DE＝＝＝3；
故答案为：3；
（2）△MC′E是等腰三角形．
证明：如图1，连接C′E，由（1）知，AD＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，
由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，
∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，
又EC′＝C′E，
∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′（HL），
∴∠C′EA＝∠EC′B′，
∴MC′＝ME，
即△MC′E是等腰三角形．
（3）∵Rt△EC′A≌Rt△C′EB′，
∴AC′＝B′E，
由折叠知，B′E＝BE，
∴AC′＝BE，
∵AC′＝2cm，DC′＝4cm，
∴AB＝CD＝2+4+2＝8（cm），
设DF＝xcm，则FC′＝FC＝（8﹣x）cm，
∵DC′2+DF2＝FC′2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得，x＝3，
即DF＝3cm，
如图2，延长BA、FC′交于点G，则∠AC′G＝∠DC′F，
∴tan∠AC′G＝tan∠DC′F＝，
∴AG＝（cm），
∴EG＝AG+AE＝＝（cm），
∵DF∥EG，
∴△DNF∽△ENG，
∴＝．
25．（10分）在平面直角坐标系中，点O（0，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，C是常数）经过点B（1，0），C（0，3），与x轴的另一个交点为A，顶点为D．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（Ⅱ）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O′B'C'，点O、B、C的对应点分别为点O'，B'，C'，设平移时间为t秒，当点O′与点A重合时停止移动，记△O′B'C'与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，当0＜t＜1时，求S与时间t的函数解析式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，当1≤t≤3时，求S与时间t的函数解析式．
【分析】（Ⅰ）B（1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c可得解析式及顶点；
（Ⅱ）重合部分是梯形，分别用t表示上、下底和高即可；
（Ⅲ）分两种情况，当≤t＜3时用S△B′O′C′﹣S△GC′F可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）B（1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D（﹣1，4）；
（Ⅱ）当0＜t＜1时，设B′C′交y轴于E，如图：
∵B（1，0），C（0，3），△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O′B'C'，
∴OB＝1，OC＝O′C′＝3，tan∠CBO＝tan∠EB′O＝3，
∴OB′＝1﹣t，OE＝3（1﹣t），OO′＝t，
∴△O′B'C'与四边形AOCD的重叠部分的面积为S＝＝＝；
（Ⅲ）在y＝﹣x2﹣2x+3中令y＝0得x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∵D（﹣1，4），
∴直线AD的解析式为：y＝2x+6，
当C′移到AD上时C′坐标是（，3），
①当1≤t＜时，如答图2：
S＝S△B′O′C′＝，
②当≤t＜3时，AD与O′C′、B′C′交于G、F，过F作FH⊥O′C′于H，
∵平移时间为t秒，
∴O′O＝t，即G横坐标为﹣t，且O′A＝3﹣t，
在y＝2x+6中令x＝﹣t得y＝﹣2t+6，
∴O′G＝﹣2t+6＝2（3﹣t）＝2O′A，
∴GC′＝3﹣O′G＝2t﹣3，
∵HF∥AO′，
∴，
∴HG＝2HF，
而∠C′FH＝∠C′B′O′，
∴tan∠C′FH＝tan＝∠C′B′O′＝3，
∴C′H＝3HF，
∵HG+C′H＝O′G，
∴2HF+3HF＝2t﹣3，
∴HF＝t﹣，
∴S△GC′F＝GC′•HF＝（2t﹣3）•（t﹣），
S△B′O′C′＝B′O′•O′C′＝，
∴S＝S△B′O′C′﹣S△GC′F＝﹣t2+t+．
综上所述，当1≤t＜时，S＝；当≤t＜3时，S＝﹣t2+t+．
离开宿舍的时间/min
2
6
18
28
离宿舍的距离/km
0.2



离开宿舍的时间/min
2
6
18
28
离宿舍的距离/km
0.2
0.6
0.7
1