试卷 2021年山东省泰安市东平县中考数学一模试卷

这是一份试卷 2021年山东省泰安市东平县中考数学一模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）﹣的倒数是（ ）
A．B．﹣2C．2D．﹣
2．（4分）下列计算错误的是（ ）
A．（a3b）•（ab2）＝a4b3B．（﹣mn3）2＝m2n6
C．a5÷a﹣2＝a3D．xy2﹣xy2＝xy2
3．（4分）一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．10
4．（4分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
6．（4分）已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法，错误的是（ ）
A．平均数是3B．中位数和众数都是3
C．方差为10D．标准差是
7．（4分）若不等式组无解，则m的取值范围为（ ）
A．m≤2B．m＜2C．m≥2D．m＞2
8．（4分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（ ）
A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里
9．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若∠A＝23°，则∠D的度数是（ ）
A．23°B．44°C．46°D．57°
10．（4分）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．（4分）如图，扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18B．12π+36C．6D．6
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是（ ）
A．B．5C．4D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.只要求填写最后结果）
13．（4分）如果关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，那么k的最小整数值是 ．
14．（4分）《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是 ．
15．（4分）图，放置在直线l上的扇形OAB，由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O的路径长为 ．
16．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的结论有 ．
17．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P在AB上，AP＝1．将矩形ABCD沿CP折叠，点B落在点B'处．B'P、B′C分别与AD交于点E、F，则EF＝ ．
18．（4分）已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是
三、解答题（本大题共7小题，共78分，写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（10分）先化简：（﹣a+1）÷，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是以AO为直角边的直角三角形，直接写出所有可能的E点坐标．
21．（11分）随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为D类，并绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）被调查的学生一共有 人；
（2）请补全条形统计图，若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有 名学生已掌握3项训练技巧；
（3）A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率．
22．（11分）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？
23．（12分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG＝6，EG＝2，求BE的长．
24．（12分）如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图②，若点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD，BD，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；
（3）抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
（1）当点P与点C重合时（如图①）：
①求证：△BOG≌△POE；
②猜想：＝ ；
（2）当点P与点C不重合时，如图②，的值会改变吗？试说明理由．
2021年山东省泰安市东平县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的.）
1．（4分）﹣的倒数是（ ）
A．B．﹣2C．2D．﹣
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数可得答案．
【解答】解：﹣的倒数是﹣2．
故选：B．
2．（4分）下列计算错误的是（ ）
A．（a3b）•（ab2）＝a4b3B．（﹣mn3）2＝m2n6
C．a5÷a﹣2＝a3D．xy2﹣xy2＝xy2
【分析】选项A为单项式×单项式；选项B为积的乘方；选项C为同底数幂的除法；选项D为合并同类项，根据相应的公式进行计算即可．
【解答】解：
选项A，单项式×单项式，（a3b）•（ab2）＝a3•a•b•b2＝a4b3，选项正确
选项B，积的乘方，（﹣mn3）2＝m2n6，选项正确
选项C，同底数幂的除法，a5÷a﹣2＝a5﹣（﹣2）＝a7，选项错误
选项D，合并同类项，xy2﹣xy2＝xy2﹣xy2＝xy2，选项正确
故选：C．
3．（4分）一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．10
【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【解答】解：∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，
∴原数中“0”的个数为6，
故选：B．
4．（4分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
5．（4分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加上∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°．
【解答】解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1＝∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3＝∠4＝30°，
而∠2+∠3＝45°，
∴∠2＝15°，
∴∠1＝15°．
故选：A．
6．（4分）已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法，错误的是（ ）
A．平均数是3B．中位数和众数都是3
C．方差为10D．标准差是
【分析】分别求出这组数据的平均数、众数、中位数、方差、标准差，再进行判断．
【解答】解：这组数据的平均数为：（1+2+3+3+4+5）÷6＝3，因此选项A不符合题意；
出现次数最多的是3，排序后处在第3、4位的数都是3，因此众数和中位数都是3，因此选项B不符合题意，
S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝，S＝＝，因此C符合题意，D选项不符合题意，
故选：C．
7．（4分）若不等式组无解，则m的取值范围为（ ）
A．m≤2B．m＜2C．m≥2D．m＞2
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m的不等式，解之可得．
【解答】解：解不等式＜﹣1，得：x＞8，
∵不等式组无解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故选：A．
8．（4分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（ ）
A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里
【分析】根据题意得出：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．
【解答】解：由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，
故AB＝2AP＝60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP＝＝30（海里）
故选：D．
9．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若∠A＝23°，则∠D的度数是（ ）
A．23°B．44°C．46°D．57°
【分析】连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD＝90°，再根据圆周角定理得到∠COD＝2∠A＝46°，然后利用互余计算∠D的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠COD＝2∠A＝46°，
∴∠D＝90°﹣46°＝44°．
故选：B．
10．（4分）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解．
【解答】解：列表如下：
，
共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，
所以小亮恰好站在中间的概率＝．
故选：B．
11．（4分）如图，扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18B．12π+36C．6D．6
【分析】连接OD、BD，根据点C为OB的中点可得∠CDO＝30°，继而可得△BDO为等边三角形，求出扇形BOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白BDC即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：如图，连接OD，BD，
∵点C为OB的中点，
∴OC＝OB＝OD，
∵CD⊥OB，
∴∠CDO＝30°，∠DOC＝60°，
∴△BDO为等边三角形，OD＝OB＝12，OC＝CB＝6，
∴CD＝，6，
∴S扇形BOD＝＝24π，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形BOD﹣S△COD）
＝﹣﹣（24π﹣×6×6）
＝18+6π．
或S阴＝S扇形OAD+S△ODC﹣S扇形OEC＝18+6π．
故选：C．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是（ ）
A．B．5C．4D．
【分析】先求出AB，AC进而得出AC＝AB，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP＝t，即可得出t最小时，点P在AD上，用两点间的距离公式即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AP，
∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），
∴AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴AP＝BC＝AB＝t，
要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，
∴点P在AD上，
∵A（0，1），D（3，3），
∴AD＝＝，
∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝﹣1，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.只要求填写最后结果）
13．（4分）如果关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，那么k的最小整数值是 2 ．
【分析】先把方程化为一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6＝0，由关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，所以2k﹣1≠0且△＜0，即解得k＞，即可得到k的最小整数值．
【解答】解：把方程化为一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6＝0，
∵原方程为一元二次方程且没有实数根，
∴2k﹣1≠0且△＜0，即△＝（﹣8）2﹣4×（2k﹣1）×6＝88﹣48k＜0，解得k＞．
所以k的取值范围为：k＞．
则满足条件的k的最小整数值是2．
故答案为2．
14．（4分）《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是 ．
【分析】由“每人出8钱，则多3钱”可得出方程8y＝x+3，由“每人出7钱，则差4钱”可得出方程7y＝x﹣4，联立即可得出结论．
【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
15．（4分）图，放置在直线l上的扇形OAB，由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O的路径长为 ．
【分析】利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，
点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长
＝
＝，
故答案为：．
16．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的结论有 ①②⑤ ．
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x＝2，则有4a+b＝0；观察函数图象得到当x＝33时，函数值大于0，则9a+3b+c＞0，即9a+c＞﹣3b；由于x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，易得c＝﹣5a，所以8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有7a﹣3b+2c＜0；利用抛物线的对称性得到（﹣3，y3），然后利用二次函数的增减性求解即可，作出直线y＝﹣3，然后依据函数图象进行判断即可．
【解答】解：∵x＝﹣＝2，
∴4a+b＝0，故①正确．
由函数图象可知：当x＝3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，
∴9a+c＞﹣3b，故②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0
又∵b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，
∴7a﹣3b+2c＝7a+12a﹣10a＝9a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴7a﹣3b+2c＜0，故③错误；
∵抛物线的对称轴为x＝2，C（7，y3），
∴（﹣3，y3）．
∵﹣3＜﹣，在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴y1＝y3＜y2，故④错误．
方程a（x+1）（x﹣5）＝0的两根为x＝﹣1或x＝5，
过y＝﹣3作x轴的平行线，直线y＝﹣3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2，故⑤正确．
故答案为①②⑤．
17．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P在AB上，AP＝1．将矩形ABCD沿CP折叠，点B落在点B'处．B'P、B′C分别与AD交于点E、F，则EF＝ ．
【分析】过P作PG⊥CD于G，交CB′于H，根据矩形的性质得到AD＝PG＝BC＝8，DG＝AP＝1，求得CG＝PB＝4，根据折叠的性质得到∠BCP＝∠PCH，根据平行线的性质得到∠HPC＝∠PCB，等量代换得到∠HPC＝∠PCH，求得HP＝CH，设HG＝x，则CH＝PH＝8﹣x，根据勾股定理得到CH＝PH＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过P作PG⊥CD于G，交CB′于H，
则四边形ADGP和四边形PBCG是矩形，
∴AD＝PG＝BC＝8，DG＝AP＝1，
∴CG＝PB＝4，
∵将矩形ABCD沿CP折叠，点B落在点B'处，
∴∠BCP＝∠PCH，
∵PG∥BC，
∴∠HPC＝∠PCB，
∴∠HPC＝∠PCH，
∴HP＝CH，
设HG＝x，则CH＝PH＝8﹣x，
∵HG2+CG2＝CH2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴CH＝PH＝5，
∵HG∥DF，
∴△CHG∽△CFD，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CF＝，DF＝，
∴B′F＝，
∵∠B′＝∠D＝90°，∠EFB′＝∠DFC，
∴△B′EF∽△DCF，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝．
故答案为：．
18．（4分）已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是 ﹣7.5
【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．
【解答】解：∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，
∴这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，
∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣））﹣2＝﹣＝﹣7.5，
故答案为﹣7.5．
三、解答题（本大题共7小题，共78分，写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（10分）先化简：（﹣a+1）÷，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在0，﹣1，2中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题．
【解答】解：（﹣a+1）÷
＝
＝
＝，
当a＝0时，原式＝．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是以AO为直角边的直角三角形，直接写出所有可能的E点坐标．
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
（3）分两种情形分别讨论求解即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点B（3，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y＝图象上，
∴A（，4），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6；
（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，
∵B（3，2），
∴直线OB的解析式为y＝x，
∴G（，1），A（，4），
∴AG＝4﹣1＝3，
∴S△AOB＝S△AOG+S△ABG＝×3×3＝．
（3）如图2中，
①当∠AOE1＝90°时，
∵点A（，4），
∴直线AC的解析式为y＝x，
∴直线OE1的解析式为y＝﹣x，
当y＝2时，x＝﹣，
∴E1（﹣，2）；
②当∠OAE2＝90°时，可得直线AE2的解析式为y＝﹣x+，
当y＝2时，x＝，
∴E2（，2）．
综上所述，满足条件的点E坐标为（﹣，2）或（，2）．
21．（11分）随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为D类，并绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）被调查的学生一共有 50 人；
（2）请补全条形统计图，若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有 250 名学生已掌握3项训练技巧；
（3）A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率．
【分析】（1）用D的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数；
（2）用总人数减去其他类别的人数，求出C类的人数，补全统计图；再用总人数乘以已掌握3项训练技巧的人数所占的百分比即可；
（3）根据题意先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，继而根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）被调查的学生一共有8÷16%＝50（人）；
故答案为：50；
（2）C类的人数有：50﹣5﹣16﹣8＝21（人），补全统计图如下：
2500×＝250（人），
答：初二年级大约有250名学生已掌握3项训练技巧；
故答案为：250；
（3）将同一个班的2名学生均记为A，其他记为B、C、D，
列表如下：
由表可知，共有20种等可能结果，其中所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的有2种结果，
所以所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率为＝．
22．（11分）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？
【分析】①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得分式方程，解之即可；
②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件，由题意得不等式，从而得解．
【解答】解：①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得：
＝
解得x＝90
经检验，x＝90符合题意
∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．
②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件
由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050
解得5≤y≤10
∴共有6种选购方案．
23．（12分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG＝6，EG＝2，求BE的长．
【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF＝∠DFG，从而得到GD＝DF，接下来依据翻折的性质可证明DG＝GE＝DF＝EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG＝OF＝GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2＝FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG＝4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE＝AD﹣GH求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF＝∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，
∴∠DGF＝∠DFG．
∴GD＝DF．
∴DG＝GE＝DF＝EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）EG2＝GF•AF．
理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．
∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴，即DF2＝FO•AF．
∵FO＝GF，DF＝EG，
∴EG2＝GF•AF．
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵EG2＝GF•AF，AG＝6，EG＝2，
∴20＝FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40＝0．
解得：FG＝4，FG＝﹣10（舍去）．
∵DF＝GE＝2，AF＝10，
∴AD＝＝4．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴，即＝．
∴GH＝．
∴BE＝AD﹣GH＝4﹣＝．
24．（12分）如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图②，若点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD，BD，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；
（3）抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△BCD的面积＝S△DEC+S△DEB＝DE×BO＝×3×（﹣m2+2m+3+m﹣3）＝2×，即可求解；
（3）当点P在BC上方时，证明∠OCA＝∠OCH，求出直线PB的表达式为y＝﹣3（x﹣3），即可求解；当点P在BC下方时，同理可得PB的表达式为y＝﹣x+1，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，3），
∵△AOC面积＝AO•CO＝×1×3＝，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
过点D作y轴的平行线交BC于点E，
设点D（m，﹣m2+2m+3），则点E（m，﹣m+3），
则△BCD的面积＝S△DEC+S△DEB＝DE×BO＝×3×（﹣m2+2m+3+m﹣3）＝2×，
解得m＝1或2；
（3）存在，理由：
①当点P在BC上方时，
由点B、C的坐标知，OB＝OC＝3，则∠OCB＝∠OBC＝45°，
过点C作CH∥PB交x轴于点H，则∠PBC＝∠BCH，
则∠OCB＝∠OCH+∠BCH＝45°，
∵∠CBP+∠ACO＝∠ABC＝45°，
即∠OCA＝∠OCH，
而CO⊥AH，故OA＝OH＝1，
故点H（1，0），
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣3x+3，
∵PB∥CH，
则直线PB的表达式为y＝﹣3（x﹣3）②，
联立①②并解得，
故点P的坐标为（2，3）；
②当点P在BC下方时，
同理可得PB的表达式为y＝﹣x+1③，
联立①③并解得，
故点P的坐标为（﹣，），
综上，点P的坐标为（2，3）或（﹣，）．
25．（12分）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
（1）当点P与点C重合时（如图①）：
①求证：△BOG≌△POE；
②猜想：＝ ；
（2）当点P与点C不重合时，如图②，的值会改变吗？试说明理由．
【分析】（1）①由四边形ABCD是正方形，P与C重合，易证得OB＝OP，∠BOC＝∠BOG＝90°，由同角的余角相等，证得∠GBO＝∠EPO，则可利用ASA证得：△BOG≌△POE；
②先判断出∠BPF＝∠GPF，进而得出BF＝BG，由①得△BOG≌△POE，得出BG＝PE，即可得出结论；
（2）首先过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易证得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM＝PE，BF＝BM．则可求得的值；
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB＝OP，∠BOC＝∠BOG＝90°，
∵PF⊥BG，∠PFB＝90°，
∴∠GBO＝90°﹣∠BGO，∠EPO＝90°﹣∠BGO，
∴∠GBO＝∠EPO，
在△BOG和△POE中，
∵，
∴△BOG≌△POE（ASA）；
②由①知，△BOG≌△POE，
∴BG＝PE，
∵∠BPE＝∠ACB，∠BPF+∠GPF＝∠ACB，
∴∠BPF＝∠GPF，
∵BF⊥PE，
∴BF＝BG，
∴＝，
故答案为：；
（2）解：猜想．
证明：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB．
∵∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠NBP＝∠NPB．
∴NB＝NP．
∵∠MBN＝90°﹣∠BMN，∠NPE＝90°﹣∠BMN，
∴∠MBN＝∠NPE，
在△BMN和△PEN中，
∵，
∴△BMN≌△PEN（ASA），
∴BM＝PE．
∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB，
∴∠BPF＝∠MPF．
∵PF⊥BM，
∴∠BFP＝∠MFP＝90°．
在△BPF和△MPF中，
，
∴△BPF≌△MPF（ASA）．
∴BF＝MF．
即BF＝BM．
∴BF＝PE．
即．
A
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（A，D）
（B，D）
（C，D）