试卷 2021年山西省晋一大联考中考数学模拟试卷

这是一份试卷 2021年山西省晋一大联考中考数学模拟试卷，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数中，比﹣2021小的是（ ）
A．﹣2022B．2021C．0D．﹣0.001
2．（3分）地铁是城市生活中的重要交通工具，地铁标志作为城市地铁的形象和符号，出现在城市的每个角落，它是城市文化的缩影．下列城市地铁的标志图案中（文字部分除外），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ）
A．调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量
B．调查某一批次LED灯泡的使用寿命
C．调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况
D．调查太原市市民进行垃圾分类的情况
4．（3分）如图所示的几何体由6个相同的小正方体搭成，关于该几何体的三种视图，下列说法正确的是（ ）
A．仅主视图与左视图相同
B．仅主视图与俯视图相同
C．仅左视图与俯视图相同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a•2a＝5a2
B．﹣6a2÷3a＝2a
C．（﹣2a3+4a2﹣a）÷a＝﹣2a2+4a﹣1
D．（﹣3a）3＝﹣9a3
6．（3分）如图，已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角尺ABC（∠C＝90°）按图示位置放置．若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
7．（3分）“中国疫苗，助力全球战疫”．据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产能将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2×108B．2×109C．2×1010D．20×108
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点E，F的坐标分别为（﹣4，2），（﹣1，﹣1）．以点O为位似中心，在原点的另一侧按2：1的相似比将△OEF缩小，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．（）B．（1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（4，﹣2）
9．（3分）二十四节气，是我国古人根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个节气分别相对应于地球在黄道上每运转15°所到达的一定位置，反映了太阳对地球产生的影响．它凝聚着中华文明的历史文化精华，在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．如图是地球绕太阳公转的轨道图，若将其近似看作圆形，其半径为Rkm，则从每年的立春到立夏，地球绕太阳公转的路程是（ ）
A．kmB．kmC．kmD．km
10．（3分）如图是一个正方形纸板，阴影部分是由4段以正方形边长的一半为半径的弧所围成的，这些弧所在圆的圆心分别是正方形的顶点或中心，这样的图形被称为斯坦因豪斯图形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在阴影区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应位置）
11．（3分）化简+结果是 ．
12．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由全等的正六边形构成的，依此规律，第n个图案中正六边形的个数为 ．（用含有n的代数式表示）
13．（3分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为 °．
14．（3分）某学校要为生物科学活动社团提供实验器材，计划购买A，B两种型号的放大镜，A型号的放大镜每个20元，B型号的放大镜每个15元，且所需购买A型号放大镜的数量是B型号放大镜数量的2倍，且总费用不超过1100元，则最多可以购买A型号放大镜 个．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC边上的中线，过点B作AE的垂线BD，垂足为H，交AC于点D，则AD的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）计算：（﹣4﹣5）×（﹣）2﹣2﹣2+（﹣）3．
17．（5分）阅读下列解方程x2﹣9＝2（x﹣3）的过程，并解决相关问题．
解：将方程左边分解因式，得（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），…第一步
方程两边都除以（x﹣3），得x+3＝2，…第二步
解得x＝﹣1…第三步
①第一步方程左边分解因式的方法是 ，解方程的过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
②请直接写出方程的根为 ．
18．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且CD平分∠ACB，过点D作⊙O的切线，交CA的延长线于点E．若∠ABC＝30°．
（1）求∠E的度数；
（2）若AC的长为，请直接写出DE的长．
19．（9分）经过近半个世纪的迅速发展，我国航天事业取得了巨大成就．随着“嫦娥五号”月球探测器携带月壤返回地球，中国探月工程“绕、落、回”计划完美收官；2021年2月10日，“天问一号”火星探测器抵达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星，并从距地球1.9亿千米外传回新春祝福…开学初，某学校组织首届“航天梦 报国情”航天知识竞赛活动，旨在引导同学们感受祖国航天事业的成就，提升爱国热情．活动中，九年级全体同学参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小彬进行了下列统计活动．
收集数据：
现随机抽取九年级40名同学“航天知识竞赛”的成绩（单位：分）如下：
75 85 75 80 75 75 85 70 75 90 75 80 80 70 75 80 85 80 80 95
95 75 90 80 70 80 95 85 75 85 80 80 70 80 75 80 80 55 70 60
整理分析：
小彬按照如下表格整理了这组数据，并绘制了如下的频数直方图．
九年级40名同学“航天知识竞赛”成绩频数分布表
（1）请将图表中空缺的部分补充完整，并直接写出这组数据的中位数．
（2）简要说明这40名同学“航天知识竞赛”成绩的分布情况．（写出一条即可）
问题解决：
（3）活动组委会决定，给“航天知识竞赛”成绩在90分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校九年级560人中约有多少人将获得“小宇航员”称号．
（4）“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同）．如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”“天问一号”“长征火箭”“天宫一号”的图案．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率．
20．（8分）阅读下列材料，并完成相应的任务．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．
如图1，在△ABC中，AB＝AC．小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下：
①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线AP，则AP⊥BC．
（1）根据小明的作图方法在图1中作出图形，他得出“AP⊥BC”的依据是 ．
（2）如图2，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，求作对角线BD的垂直平分线，小亮只用直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线．请你帮小亮说明理由．
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．请你只用直尺作出BC边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣4x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点B，C，且B（﹣1，m），C（n，﹣4）．过点A作AD⊥y轴交反比例函数y＝（k≠0）的图象于点D，连接BD．
（1）求反比例函数的表达式和点C的坐标．
（2）求△ABD的面积．
（3）请直接写出不等式＜﹣4x+2的解集．
22．（9分）山西省隰县盛产香梨，被称为“隰县玉露香”．县政府运用“互联网+玉露香梨”的发展思路，探索“爱心助农精准脱贫”的方式，构建“隰县玉露香”电商生态圈，使隰县成为中国北方最大的电商孵化基地.2021年春节期间，“隰县玉露香”在网上热销，某电商看准商机，用10000元购进一批“隰县玉露香”，销量可观，于是又用18000元购进一批同款规格的“隰县玉露香”，但第二次的进价比第一次每箱上涨20元，第二次所购数量恰好是第一次的1.5倍．
（1）求第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格．
（2）政府为推进农村电商高质量可持续发展，在隰县新建一批移动信号发射塔，以提高农村互联网的传输效率．如图，是一个新建的移动信号发射塔AC，其高AC＝15m．用测角仪在山脚下的点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42°，点A，C，D在同一条铅垂线上．果农要在山脚B处修建房屋以方便管理梨园，按国家规定，通讯基站离居民居住地至少100m就可不受信号塔辐射的影响．请判断在点B处的房屋是否受信号塔塔顶A发出的信号辐射的影响．
（测角仪、房屋的高度忽略不计；结果精确到0.1m；参考数据：sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°＝0.75，sin42°＝0.67，cs42°＝0.74，tan42°≈0.90）
23．（12分）综合与实践﹣﹣图形变换中的数学问题．
问题情境：
如图1，在Rt△ABC中，AB＝5，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°．将△ABC沿AC翻折得到△ADC，然后展平，两个三角形拼成四边形ABCD．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
初步探究：
（2）将△ABC从图1位置开始绕点B按逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），得到△EBF，其中点A，C的对应点分别是点E，F，连接AE，FC并分别延长，交于点M．试猜想线段AM与FM的数量关系和位置关系，并说明理由．
深入探究：
（3）如图3，连接DE，当DE∥CM时，请直接写出CM的长．
24．（13分）综合与探究：
如图，抛物线y＝﹣x2+x+6与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点．
（1）求A，B两点的坐标及直线l的函数表达式．
（2）点D是直线l上方抛物线上一点，其横坐标为m，过点D作直线DE⊥x轴于点E，交直线l于点F．当DF＝2EF时，求点D的坐标．
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得∠PAB＝2∠DAB？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年山西省晋一大联考中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．（3分）下列各数中，比﹣2021小的是（ ）
A．﹣2022B．2021C．0D．﹣0.001
【分析】根据有理数的大小比较解答即可．
【解答】解：因为﹣2022＜﹣2021＜﹣0.001＜0＜2021，
所以其中比﹣2021小的是﹣2022．
故选：A．
2．（3分）地铁是城市生活中的重要交通工具，地铁标志作为城市地铁的形象和符号，出现在城市的每个角落，它是城市文化的缩影．下列城市地铁的标志图案中（文字部分除外），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ）
A．调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量
B．调查某一批次LED灯泡的使用寿命
C．调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况
D．调查太原市市民进行垃圾分类的情况
【分析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．
【解答】解：A、调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量，适合采用抽样调查，故本选项不合题意；
B、调查某一批次LED灯泡的使用寿命，适合采用抽样调查，故本选项不合题意；
C、调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
D、调查太原市市民进行垃圾分类的情况，适合采用抽样调查，故本选项不合题意．
故选：C．
4．（3分）如图所示的几何体由6个相同的小正方体搭成，关于该几何体的三种视图，下列说法正确的是（ ）
A．仅主视图与左视图相同
B．仅主视图与俯视图相同
C．仅左视图与俯视图相同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
【分析】根据该几何体的三视图可逐一判断．
【解答】解：该几何体的主视图：底层是两个小正方形，上层是两个小正方形；
左视图：底层是两个小正方形，上层是两个小正方形；
俯视图：底层是两个小正方形，上层是两个小正方形；
所以主视图、左视图和俯视图都相同．
故选：D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a•2a＝5a2
B．﹣6a2÷3a＝2a
C．（﹣2a3+4a2﹣a）÷a＝﹣2a2+4a﹣1
D．（﹣3a）3＝﹣9a3
【分析】根据单项式乘以单项式、单项式除以单项式，有理数混合运算法则，及积的乘方运算法则逐项进行计算即可得出答案．
【解答】解：A：因为3a•2a＝6a2，所以A选项错误；
B：因为﹣6a2÷3a＝﹣2a，所以B选项错误；
C：因为（﹣2a3+4a2﹣a）÷a＝﹣2a2+4a﹣1，所以C选项正确；
D：因为（﹣3a）3＝﹣27a3，所以D选项错误．
故选：C．
6．（3分）如图，已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角尺ABC（∠C＝90°）按图示位置放置．若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】过A作直线AD∥直线a，求出AD∥直线a∥直线b，根据平行线的性质得出∠1＝∠DAC＝30°，∠D＝∠DAB，再求出答案即可．
【解答】解：过A作直线AD∥直线a，
∵直线a∥b，
∴AD∥直线a∥直线b，
∴∠1＝∠DAC＝30°，∠D＝∠DAB，
∵∠1＝30°，∠CAB＝45°，
∴∠2＝∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝30°+45°＝75°，
故选：D．
7．（3分）“中国疫苗，助力全球战疫”．据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产能将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2×108B．2×109C．2×1010D．20×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109，
故选：B．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点E，F的坐标分别为（﹣4，2），（﹣1，﹣1）．以点O为位似中心，在原点的另一侧按2：1的相似比将△OEF缩小，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．（）B．（1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（4，﹣2）
【分析】根据位似变换的性质计算，判断即可．
【解答】解：∵点E的坐标为（﹣4，2），以点O为位似中心，在原点的另一侧按2：1的相似比将△OEF缩小，
∴点E的对应点E′的坐标为（﹣4×（﹣），2×（﹣）），即（2，﹣1），
故选：C．
9．（3分）二十四节气，是我国古人根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个节气分别相对应于地球在黄道上每运转15°所到达的一定位置，反映了太阳对地球产生的影响．它凝聚着中华文明的历史文化精华，在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．如图是地球绕太阳公转的轨道图，若将其近似看作圆形，其半径为Rkm，则从每年的立春到立夏，地球绕太阳公转的路程是（ ）
A．kmB．kmC．kmD．km
【分析】可得从每年的立春到立夏地球绕太阳公转的圆心角度数为90°，根据扇形的弧长公式计算即可求解．
【解答】解：∵从每年的立春到立夏地球绕太阳公转的圆心角度数为90°，
∴地球绕太阳公转的路程是＝（km）．
故选：A．
10．（3分）如图是一个正方形纸板，阴影部分是由4段以正方形边长的一半为半径的弧所围成的，这些弧所在圆的圆心分别是正方形的顶点或中心，这样的图形被称为斯坦因豪斯图形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在阴影区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用割补法可得阴影部分的面积等于正方形面积的一半，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：如图所示，连接正方形的对边重点得到四个相同的小正方形，观察图形，把①和③、②和④的位置互换，得到两个阴影部分面积相等的小正方形，所以阴影部分的面积是正方形的面积的一半，
所以将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在阴影区域的概率是，
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应位置）
11．（3分）化简+结果是 ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝+
＝
故答案为：
12．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由全等的正六边形构成的，依此规律，第n个图案中正六边形的个数为 3n+1 ．（用含有n的代数式表示）
【分析】先表示出前三个图形的个数，再根据图形的变化规律解答即可．
【解答】解：第1个图案中正六边形的个数为4＝3×1+1；
第2个图案中正六边形的个数为7＝3×2+1；
第3个图案中正六边形的个数为10＝3×3+1；
……
第n个图案中正六边形的个数为3n+1；
故答案为：3n+1．
13．（3分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为 36 °．
【分析】如图，连接OM，ON．求出∠MON，再利用圆周角定理求解即可．
【解答】解：如图，连接OM，ON．
∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∵∠A＝108°，
∴∠MON＝180°﹣108°＝72°，
∴∠MFN＝∠MON＝36°，
故答案为：36．
14．（3分）某学校要为生物科学活动社团提供实验器材，计划购买A，B两种型号的放大镜，A型号的放大镜每个20元，B型号的放大镜每个15元，且所需购买A型号放大镜的数量是B型号放大镜数量的2倍，且总费用不超过1100元，则最多可以购买A型号放大镜 40 个．
【分析】设出A型放大镜为x个，根据等量关系列出方程求解．
【解答】解：设A型放大镜x个，则B型放大镜为x个，
根据题意可得：20x+15×x≤1100．
解得：x≤40．
故答案为：40．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC边上的中线，过点B作AE的垂线BD，垂足为H，交AC于点D，则AD的长为 ．
【分析】过点C作FC⊥BC于C，延长BD交CF于F，证明△ABE≌△BCF（ASA），得BE＝CF，再证明△ABD∽△CFD，列比例式可得结论．
【解答】解：过点C作FC⊥BC于C，延长BD交CF于F，
∵∠ABC＝∠BCF＝90°，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴AB∥CF，
∵AE⊥BD，
∴∠AHB＝∠BAH+∠ABH＝90°，
∵∠ABH+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠BAH，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，
∵AE是BC边上的中线，
∴BE＝BC＝1，
∴CF＝1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝2，
∵AB∥CF，
∴∠BAD＝∠DCF，∠ABD＝∠DFC，
∴△ABD∽△CFD，
∴，即，
解得：AD＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）计算：（﹣4﹣5）×（﹣）2﹣2﹣2+（﹣）3．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及有理数的混合运算计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣9×﹣﹣
＝﹣4﹣﹣
＝﹣4．
17．（5分）阅读下列解方程x2﹣9＝2（x﹣3）的过程，并解决相关问题．
解：将方程左边分解因式，得（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），…第一步
方程两边都除以（x﹣3），得x+3＝2，…第二步
解得x＝﹣1…第三步
①第一步方程左边分解因式的方法是 公式法 ，解方程的过程从第 二 步开始出现错误，错误的原因是 x﹣3可能为0 ；
②请直接写出方程的根为 x1＝3，x2＝﹣1 ．
【分析】①根据公式法因式分解、等式的基本性质判断即可；
②利用公式法求解即可．
【解答】解：①第一步方程左边分解因式的方法是公式法，解方程的过程从第二步开始出现错误，错误的原因是：x﹣3可能为0，
故答案为：公式法，二，x﹣3可能为0；
②∵x2﹣9＝2（x﹣3），
∴（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），
∴（x+3）（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣1．
18．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且CD平分∠ACB，过点D作⊙O的切线，交CA的延长线于点E．若∠ABC＝30°．
（1）求∠E的度数；
（2）若AC的长为，请直接写出DE的长．
【分析】（1）连接OD，先证ED∥AO，得出∠E＝∠BAC，于结合圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得出结论；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，则∠DHA＝90°，选证明四边形AODH是正方形，可求出DH的长，由直角三角形的性质求出EH的长，即可求出DE的长．
【解答】解：（1）连接OD，
∵DE⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠EDO＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
又∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOD＝∠BOD＝90°，
∴ED∥AO，
∴∠E＝∠BAC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠E＝60°；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，则∠DHA＝90°，
又∵∠HDO＝∠AOD＝90°，
∴四边形AODH是矩形，
又∵OD＝OA，
∴四边形AODH是正方形，
∴AO＝DH＝AH，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝，
∴AB＝2，
∴AO＝，
∴DH＝AH＝AO＝，
在Rt△AHE中，EH＝＝1，
∴DE＝EH+DH＝1+．
19．（9分）经过近半个世纪的迅速发展，我国航天事业取得了巨大成就．随着“嫦娥五号”月球探测器携带月壤返回地球，中国探月工程“绕、落、回”计划完美收官；2021年2月10日，“天问一号”火星探测器抵达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星，并从距地球1.9亿千米外传回新春祝福…开学初，某学校组织首届“航天梦 报国情”航天知识竞赛活动，旨在引导同学们感受祖国航天事业的成就，提升爱国热情．活动中，九年级全体同学参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小彬进行了下列统计活动．
收集数据：
现随机抽取九年级40名同学“航天知识竞赛”的成绩（单位：分）如下：
75 85 75 80 75 75 85 70 75 90 75 80 80 70 75 80 85 80 80 95
95 75 90 80 70 80 95 85 75 85 80 80 70 80 75 80 80 55 70 60
整理分析：
小彬按照如下表格整理了这组数据，并绘制了如下的频数直方图．
九年级40名同学“航天知识竞赛”成绩频数分布表
（1）请将图表中空缺的部分补充完整，并直接写出这组数据的中位数．
（2）简要说明这40名同学“航天知识竞赛”成绩的分布情况．（写出一条即可）
问题解决：
（3）活动组委会决定，给“航天知识竞赛”成绩在90分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校九年级560人中约有多少人将获得“小宇航员”称号．
（4）“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同）．如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”“天问一号”“长征火箭”“天宫一号”的图案．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率．
【分析】（1）根据题干所给数据整理可得；根据中位数的定义求解可得；
（2）由频数分布表可得数据的分布情况；
（3）用总人数乘以样本中90≤x＜100人数所占比例即可得；
（4）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．
【解答】解：（1）补全表格如下：
这40名同学的“航天知识竞赛”成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，
所以这40名同学的“航天知识竞赛”成绩的中位数是＝80（分），
（2）这40名同学“航天知识竞赛”的成绩主要分布在70≤x＜90．
（3）估计该校九年级560人中，获得“小宇航员”称号的约为560×＝70（人）．
（4）将分别印有“嫦娥五号”“天问一号”“长征火箭”“天宫一号”的印章分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
则共有12种等可能的结果数，其中小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的结果数为6，
所以小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率为＝．
20．（8分）阅读下列材料，并完成相应的任务．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．
如图1，在△ABC中，AB＝AC．小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下：
①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线AP，则AP⊥BC．
（1）根据小明的作图方法在图1中作出图形，他得出“AP⊥BC”的依据是 等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合 ．
（2）如图2，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，求作对角线BD的垂直平分线，小亮只用直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线．请你帮小亮说明理由．
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．请你只用直尺作出BC边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）依据线段垂直平分线的作图方法，即可得到AB边的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一即可得依据；
（2）分别证明点A和点C在线段BD的垂直平分线上，即可说明理由；
（3）连接AC，BD相交于点，分别延长BA和CD相交于点，两个交点所在直线即为所求．
【解答】解：（1）作图如下：
得出“AP⊥BC”的依据是：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合；
故答案为：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合；
（2）∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵∠ABC＝∠ADC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是对角线BD的垂直平分线；
（3）如图，直线n即为所求．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣4x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点B，C，且B（﹣1，m），C（n，﹣4）．过点A作AD⊥y轴交反比例函数y＝（k≠0）的图象于点D，连接BD．
（1）求反比例函数的表达式和点C的坐标．
（2）求△ABD的面积．
（3）请直接写出不等式＜﹣4x+2的解集．
【分析】（1）先得到点B的坐标，再将B点坐标代入y＝（k≠0），利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式，进而即可求得C的坐标；
（2）根据一次函数y＝﹣4x+2的图象与y轴交于点A，求出点A的坐标为（0，2），再将y＝2代入y＝﹣，求出x的值，那么AD＝3．根据三角形面积公式即可求得；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵B（﹣1，m）在一次函数y＝﹣4x+2的图象上，
∴﹣4×（﹣1）+2＝m．解得m＝6，
∴B（﹣1，6），
∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝﹣1×6＝﹣6
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
∵C（n，﹣4）在反比例函数y＝﹣的图象上
∴﹣4＝﹣，解得n＝，
∴点C的坐标为（，﹣4）；
（2）把x＝0代入y＝﹣4x+2，得y＝2，
∴A（0，2），
∵AD⊥y轴，
∴点D的纵坐标为2，
又∵点D在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴2＝﹣，解得x＝﹣3，
∴D（﹣3，2）．
∴AD＝3
∴S△ABD＝×3×（6﹣2）＝6；
（3）观察图象可知，不等式＜﹣4x+2的解集为x＜﹣1或0＜x＜．
22．（9分）山西省隰县盛产香梨，被称为“隰县玉露香”．县政府运用“互联网+玉露香梨”的发展思路，探索“爱心助农精准脱贫”的方式，构建“隰县玉露香”电商生态圈，使隰县成为中国北方最大的电商孵化基地.2021年春节期间，“隰县玉露香”在网上热销，某电商看准商机，用10000元购进一批“隰县玉露香”，销量可观，于是又用18000元购进一批同款规格的“隰县玉露香”，但第二次的进价比第一次每箱上涨20元，第二次所购数量恰好是第一次的1.5倍．
（1）求第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格．
（2）政府为推进农村电商高质量可持续发展，在隰县新建一批移动信号发射塔，以提高农村互联网的传输效率．如图，是一个新建的移动信号发射塔AC，其高AC＝15m．用测角仪在山脚下的点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42°，点A，C，D在同一条铅垂线上．果农要在山脚B处修建房屋以方便管理梨园，按国家规定，通讯基站离居民居住地至少100m就可不受信号塔辐射的影响．请判断在点B处的房屋是否受信号塔塔顶A发出的信号辐射的影响．
（测角仪、房屋的高度忽略不计；结果精确到0.1m；参考数据：sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°＝0.75，sin42°＝0.67，cs42°＝0.74，tan42°≈0.90）
【分析】（1）设第一次购进隰县玉露香的进价为x元/箱，根据数量＝总价÷单价，再结合第二次所购数量恰好是第一次的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，然后解方程，再检验即可解答本题；
（2）根据题意和图形，利用锐角三角函数，可以求得BD的长，再根据锐角三角函数可以得到AB的长，然后与100比较大小，即可解答本题．
【解答】解：（1）设第一次购进隰县玉露香的进价为x元/箱，
根据题意可得：×1.5＝，
解得x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，
答：第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格为100元；
（2）由题意得，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴AD＝BD•tan42°，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，
∴CD＝BD•tan36.9°，
∵AC＝AD﹣CD，AC＝15m，
∴15＝BD•tan42°﹣BD•tan36.9°，
解得BD≈100m，
∴AB＝≈≈135.1（m），
∵135.1＞100，
∴在点B处的房屋不会受信号塔塔顶A发出的信号辐射的影响．
23．（12分）综合与实践﹣﹣图形变换中的数学问题．
问题情境：
如图1，在Rt△ABC中，AB＝5，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°．将△ABC沿AC翻折得到△ADC，然后展平，两个三角形拼成四边形ABCD．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
初步探究：
（2）将△ABC从图1位置开始绕点B按逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），得到△EBF，其中点A，C的对应点分别是点E，F，连接AE，FC并分别延长，交于点M．试猜想线段AM与FM的数量关系和位置关系，并说明理由．
深入探究：
（3）如图3，连接DE，当DE∥CM时，请直接写出CM的长．
【分析】（1）先证明△ABC是等腰三角形，再根据翻折的性质可证明四边形ABCD是菱形，进而可证明四边形ABCD是正方形．
（2）根据旋转性质得△ABC≌△EBF，进而可证明△ABE≌△CBF，△ACM≌△FEM，利用全等三角形性质可得AM⊥FM且AM＝FM．
（3）取AC的中点G，连接EG，BG，先证明△BAG≌△BEG，利用全等三角形性质可证得BG⊥AE，利用面积法建立方程求出AE，再运用勾股定理即可求得CM．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠BCA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵△ABC沿AC翻折得到△ADC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AD＝AB，CD＝BC，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
（2）由旋转可知，△ABC≌△EBF，
∴AB＝BE，BC＝BF，AC＝EF，∠ABE＝∠CBF＝α，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB＝∠BFC，AE＝CF，
∵AB＝BC，
∴AB＝BE＝BC＝BF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴∠AEB＝∠BCF，
∵∠BEF＝∠ACB＝45°，∠AEB＝∠BCF，
∴180°﹣（∠AEB+∠BEF）＝180°﹣（∠BCF+∠ACB），
∴∠FEM＝∠ACM，
在△ACM和△FEM中，
，
∴△ACM≌△FEM（AAS），
∴AM＝FM，∠MAC＝∠MFE，
∵∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠MAC＝45°﹣∠DAM，∠MCA＝45°+∠MCD，
∴∠DAM＝∠MCD，
∴∠MAC+∠ACM＝45°﹣∠DAM+45°+∠MCD＝90°，
∴∠M＝90°，
∴AM⊥FM，
故答案为：AM⊥FM且AM＝FM．
（3）取AC的中点G，连接EG，BG，
∵DE∥CM，
∴∠DEM＝∠M＝90°，
∵AG＝GE＝，AB＝BE，
在△BAG和△BEG中，
，
∴△BAG≌△BEG（SSS），
∠BEG＝∠BAG＝90°，∠GBA+∠GBE＝，
∵∠EBA＝α，
∴∠EAB＝，
∴∠ABG+∠BAE＝+＝90°，
∴BG⊥AE，
∵AB＝5，AG＝，
∴BG＝，
∴AE•＝×2×5×，
解得：AE＝2，
设CM＝ME＝x，
在Rt△ACM中，x2+（x+2）2＝（5）2，
∵x＞0，
∴x＝，
故CM＝．
24．（13分）综合与探究：
如图，抛物线y＝﹣x2+x+6与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点．
（1）求A，B两点的坐标及直线l的函数表达式．
（2）点D是直线l上方抛物线上一点，其横坐标为m，过点D作直线DE⊥x轴于点E，交直线l于点F．当DF＝2EF时，求点D的坐标．
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得∠PAB＝2∠DAB？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在y＝﹣x2+x+6中，令y＝0，可求得点A，B的坐标，令x＝0，可求得点C的坐标，利用待定系数法可求得直线l的函数表达式；
（2）先分别表示出EF，DF的长，然后根据DF＝2EF列方程求解即可；
（3）分情况讨论：①当点P在y轴正半轴上时，连接AD交y轴于点Q，过点P作PH⊥AD于点H，先求得直线AD的函数表达式，再证明△PAH∽△DAE和△PQH∽△AQO，设QH＝t，则PH＝2t，根据相似三角形性质和勾股定理建立方程求解即可求得点P的坐标，②当点P在y轴负半轴上时，利用点P′与点P关于x轴对称，即可求得点P′的坐标．
【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+6中，
令y＝0，得：＝﹣x2+x+6＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝12，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣4，0），B（12，0），
令x＝0，得y＝6，
∴C（0，6），
设直线l的函数表达式为y＝kx+b，
∵直线l经过点B（12，0）和点C（0，6），
∴，
解得：，
∴直线l的函数表达式为y＝x+6．
（2）如图1，∵DE⊥x轴，垂足为E，点D的横坐标为m，
∴E（m，0），D（m，﹣+m+6），F（m，﹣m+6），
∴EF＝﹣m+6，DF＝﹣+m+6﹣（﹣m+6）＝﹣+m，
∵DF＝2EF，
∴﹣+m＝2（﹣m+6），
解得：m＝8或m＝12（舍去），
把m＝8代入y＝﹣+m+6，得y＝6，
∴D（8，6）．
（3）存在，点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．
①如图2，当点P在y轴正半轴上时，连接AD交y轴于点Q，过点P作PH⊥AD于点H，
则∠PHA＝∠DEA＝90°，
设直线AD的函数表达式为y＝k1x+b1，
∵A（﹣4，0），D（8，6），
∴，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝x+2，
∴Q（0，2），
∴OQ＝2，
∵∠PAB＝2∠DAB，
∴∠PAH＝∠DAE，
∴△PAH∽△DAE，
∴＝＝＝，
∵∠PHA＝∠AOQ＝90°，∠PQH＝∠AQO，
∴△PQH∽△AQO，
∴＝＝，
设QH＝t，则PH＝2t，
根据勾股定理，得：PQ＝t，
∴＝，
解得：t＝，
∴OP＝2+t＝，
∴点P的坐标为（0，）．
②如图3，当点P在y轴负半轴上时，
由题意知，点P′与点P关于x轴对称，则点P′的坐标为（0，﹣），
综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．
成绩x/分
频数（人数）
50≤x＜60
1
60≤x＜70
1
70≤x＜80

80≤x＜90
18
90≤x＜100

成绩x/分
频数（人数）
50≤x＜60
1
60≤x＜70
1
70≤x＜80
15
80≤x＜90
18
90≤x＜100
5
成绩x（单位：分）
频数（人数）
50≤x＜60
1
60≤x＜70
1
70≤x＜80
15
80≤x＜90
18
90≤x＜100
5