试卷 2021年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（2）

这是一份试卷 2021年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（2），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（2）
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≤4 C．x≥﹣4 D．x≥4
3．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．买一张电影票，座位号是5的倍数
B．从一个只有3个红球和1个白球的盒子里摸出两个球，一定会摸到红球
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯
4．（3分）下列图案中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图所示的几何体的左视图为（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）点（a，b）是反比例函数y＝﹣的图象上一点，若a＜2，则b的值不可能是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．3
8．（3分）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论中错误的是（　　）

A．乙的速度为5米/秒
B．乙出发8秒钟将甲追上
C．当乙到终点时，甲距离终点还有96米
D．a对应的值为123
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CN与AB交于点D，AC＝AD，OE⊥CD，垂足为E，若CE＝4ED，OA＝2，则DN的长为（　　）

A．1 B． C． D．
10．（3分）如图，在5×5的小正方形网格中有4个涂阴影的小正方形，它们组成一个轴对称图形．现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的4个阴影的小正方形组成一个轴对称图形，不同的移法有（　　）

A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）﹣（）2＝　 　．
12．（3分）某校初中女子篮球队共有11名队员，她们的年龄情况如下：
年龄/岁
12
13
14
15
人数
1
3
3
4
则该篮球队队员年龄的中位数是　 　岁．
13．（3分）计算+的结果是　 　．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，G，E分别在边BC，CD上，BG＝DE，将△ADE沿AE折叠，点D落在AG的延长线上的点F处，则∠FEC的度数为　 　．

15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）中，x与y的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
3
…
y
…
n
2
n
…
对于下列结论：①b＞0；②2是方程ax2+bx+c＝2的一个根；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④若m＞0，且点A（m，y1），B（m+2，y2）在该二次函数的图象上，则y1＞y2．其中正确结论的序号是　 　．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，将△CBD沿CD翻折，使点B落在AC边上的点E处．过点E作EF⊥AB，垂足为F，若AF＝4FD，EF＝t，用含t的式子表示AE的长为　 　．

三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：（2m3）2+m2•m4﹣2m8÷m2
18．（8分）已知，如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D．求证：AB∥CD．

19．（8分）疫情期间，某学校根据同学学习情况，计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并通过计算补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生4800人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
20．（8分）如图，E为正方形ABCD的边CD上一点，连接AE，BD．仅用无刻度的直尺按下列步骤完成画图，保留画图痕迹：
（1）画出正方形ABCD的对称中心O；
（2）平移线段AE至FC，使点E与点C重合；
（3）画线段AE关于BD的对称线段；
（4）将线段AE绕点A顺时针旋转90°，得到线段AM．

21．（8分）如图，AB，AC为⊙O的切线，B，C为切点，BD为⊙O的直径，连接AO，CD．
（1）求证：AO∥CD；
（2）过点D作DE∥AC交AB于点E．若tan∠CAO＝，求的值．

22．（10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：
产品
每件售价（万元）
每件成本（万元）
每年其他费用（万元）
每年最大产销量（件）
甲
6
m
20
200
乙
30
20
40+0.05x2
80
其中m为常数，且2≤m≤5．
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
23．（10分）【问题背景】（1）如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE．求证：BE＝CD；
【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，∠E＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF．求的值；
【拓展创新】（3）如图3，A是△BEF内一点，BE＝BF，AF＝2，∠EAB＝90°，∠FEA＝∠BFA，AE＝2AB，直接写出AB的长．

24．（12分）如图1，直线y＝kx﹣2k+1（k≠0）过定点A，抛物线y＝ax2经过点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若O为原点，C为抛物线上一点，S△AOC＝1，求点C的横坐标；
（3）如图2，直线y＝kx﹣2k+1（k≠0）与抛物线的另一个交点为M，N为抛物线上一动点，若AM⊥AN，试问：直线MN上是否存在一点P，使得AP的长为定值？说明理由．

2021年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|＝2．
故选：A．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≤4 C．x≥﹣4 D．x≥4
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣4≥0，
解得，x≥4，
故选：D．
3．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．买一张电影票，座位号是5的倍数
B．从一个只有3个红球和1个白球的盒子里摸出两个球，一定会摸到红球
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、买一张电影票，座位号是5的倍数，是随机事件；
B、从一个只有3个红球和1个白球的盒子里摸出两个球，一定会摸到红球，是必然事件；
C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；
D、走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯，是随机事件；
故选：B．
4．（3分）下列图案中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义直接判断得出即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
5．（3分）如图所示的几何体的左视图为（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得左视图为：．
故选：D．
6．（3分）小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好进入同一社区的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，
则两人恰好进入同一社区的概率＝＝．
故选：B．
7．（3分）点（a，b）是反比例函数y＝﹣的图象上一点，若a＜2，则b的值不可能是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．3
【分析】把点（a，b）代入y＝﹣中得到﹣＜2，把b＝﹣2或2或3分别代入即可得到结论．
【解答】解：∵点（a，b）是反比例函数y＝﹣的图象上一点，
∴b＝﹣，
∴a＝﹣，
∵a＜2，
∴﹣＜2，
∴当b＝﹣2或2或3时，﹣＜2，
当b＝﹣时，﹣＞2，
∴b的值不可能是﹣，
故选：B．
8．（3分）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论中错误的是（　　）

A．乙的速度为5米/秒
B．乙出发8秒钟将甲追上
C．当乙到终点时，甲距离终点还有96米
D．a对应的值为123
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
乙的速度为：500÷100＝5（米/秒），故选项A正确；
甲的速度为：8÷2＝4（米/秒），
设乙出发x秒将追上甲，
5x＝8+4x，得x＝8，故选项B正确；
当乙到终点时，甲距离终点还有：500﹣（100+2）×4＝92（米），故选项C错误；
a＝500÷4﹣2＝125﹣2＝123，故选项D正确；
故选：C．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CN与AB交于点D，AC＝AD，OE⊥CD，垂足为E，若CE＝4ED，OA＝2，则DN的长为（　　）

A．1 B． C． D．
【分析】过A点作AF⊥CN于N，连接ON，如图，根据等腰三角形的性质得CF＝DF，根据垂径定理得到CE＝NE，设DE＝x，则CE＝NE＝4x，CD＝5x，CF＝FD＝x，EF＝x，接着由OE∥AF，根据平行线分线段成比例定理计算出DO＝，则利用勾股定理得到（）2﹣x2＝22﹣（4x）2，然后解方程求出x，从而得到DN的长．
【解答】解：过A点作AF⊥CN于N，连接ON，如图，
∵AC＝AD，
∴CF＝DF，
∵OE⊥CN，
∴CE＝NE，
设DE＝x，则CE＝NE＝4x，CD＝5x，
∴CF＝FD＝x，
∴EF＝x﹣x＝x，
∵OE∥AF，
∴DO：OA＝DE：EF，即DO：2＝x：x，解得DO＝，
在Rt△ODE中，OE2＝OD2﹣DE2＝（）2﹣x2，
在Rt△ONE中，OE2＝ON2﹣NE2＝22﹣（4x）2，
∴（）2﹣x2＝22﹣（4x）2，解得x＝，
∴DN＝EN﹣DE＝3x＝3×＝．
故选：C．

10．（3分）如图，在5×5的小正方形网格中有4个涂阴影的小正方形，它们组成一个轴对称图形．现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的4个阴影的小正方形组成一个轴对称图形，不同的移法有（　　）

A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
【分析】根据对称性判断出（2，三）的运动方法，可得结论．
【解答】解：移动（2，三）到（1，三），（3，三），（5，三），（5，二），（5，四）共5中不同的方法，
故一共有4×5＝20（种）不同的方法，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）﹣（）2＝　﹣3　．
【分析】直接根据平方的定义求解即可．
【解答】解：∵（）2＝3，
∴﹣（）2＝﹣3．
12．（3分）某校初中女子篮球队共有11名队员，她们的年龄情况如下：
年龄/岁
12
13
14
15
人数
1
3
3
4
则该篮球队队员年龄的中位数是　14　岁．
【分析】根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：∵一共有11个数据，其中位数为第6个数据，
∴这组数据的中位数为14岁，
故答案为：14．
13．（3分）计算+的结果是　　．
【分析】利用分式加减法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，G，E分别在边BC，CD上，BG＝DE，将△ADE沿AE折叠，点D落在AG的延长线上的点F处，则∠FEC的度数为　20°　．

【分析】由菱形的性质得出AB＝AD，∠B＝∠D＝60°，证明△ABG≌△ADE（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAG＝∠DAE，由折叠的性质得出∠DAE＝∠FAE，∠AED＝∠AEF，由三角形内角和定理可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝60°，
∴∠BAD＝120°，
在△ABG和△ADE中，
，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴∠BAG＝∠DAE，
∵将△ADE沿AE折叠，
∴∠DAE＝∠FAE，∠AED＝∠AEF，
∴∠DAE＝∠BAD＝40°，
∴∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∴∠FEC＝180°﹣2∠AED＝180°﹣160°＝20°，
故答案为：20°．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）中，x与y的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
3
…
y
…
n
2
n
…
对于下列结论：①b＞0；②2是方程ax2+bx+c＝2的一个根；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④若m＞0，且点A（m，y1），B（m+2，y2）在该二次函数的图象上，则y1＞y2．其中正确结论的序号是　①②④　．
【分析】①由表格看，抛物线的对称轴为x＝（3﹣1）＝1，故抛物线的对称轴在y轴的右侧，则ab异号，即可求解；
②由表格看，根据函数的对称性，当y＝2时，即ax2+bx+c＝2，x＝0或2，进而求解；
③由①知，函数的对称轴为x＝1，故x＞1时，y随x的增大而减小，即可求解；
④分0＜m＜1、m＞1两种情况，分析点A、B和对称轴的距离远近，即可求解．
【解答】解：①由表格看，抛物线的对称轴为x＝（3﹣1）＝1，
故抛物线的对称轴在y轴的右侧，则ab异号，
而a＜0，故b＞0，
故①正确，符合题意；

②由表格看，根据函数的对称性，当y＝2时，即ax2+bx+c＝2，x＝0或2，
即2是方程ax2+bx+c＝2的另外一个根，
故②正确，符合题意；

③由①知，函数的对称轴为x＝1，故x＞1时，y随x的增大而减小，
故③错误，不符合题意；

④当0＜m≤1时，点A、B在对称轴的两侧，
点A、B离对称轴的距离分别为1﹣m、m+1，
而0＜m＜1，则点B离对称轴的距离比A远，故y1＞y2．
当m＞1时，点A、B在对称轴的右侧，则点B在点A的下方，
故y1＞y2．
故④正确，符合题意，
故答案为①②④．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，将△CBD沿CD翻折，使点B落在AC边上的点E处．过点E作EF⊥AB，垂足为F，若AF＝4FD，EF＝t，用含t的式子表示AE的长为　t　．

【分析】过点A作AH∥DE交EF的延长线于点H，根据平行线分线段成比例定理＝4，FH＝4EF＝4t，又因为AH∥DE．进而推出∠AEH＝∠HAE．所以得到AH＝EH＝5t，AF＝3t．根据勾股定理求出AE即可．
【解答】解：过点A作AH∥DE交EF的延长线于点H．

则＝4．
∴FH＝4EF＝4t，
∵AH∥DE．
∴∠EAH＝∠CED＝∠B，
∵∠EFD＝∠ACB＝90°，
∴∠CEF﹣∠B＝180°，
∵∠CEF+∠AEH＝180°．
∴∠AEH＝∠B．
∴∠AEH＝∠HAE．
∴AH＝EH＝5t．
∴AF＝3t．
∴AE＝．
故答案为：．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：（2m3）2+m2•m4﹣2m8÷m2
【分析】首先计算乘方和乘除法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（2m3）2+m2•m4﹣2m8÷m2
＝4m6+m6﹣2m6
＝3m6
18．（8分）已知，如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D．求证：AB∥CD．

【分析】根据平行线的判定与性质定理即可求解．
【解答】证明：∵∠1＝∠E，
∴AD∥BE，
∴∠D＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD．
19．（8分）疫情期间，某学校根据同学学习情况，计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并通过计算补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生4800人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
【分析】（1）从两个统计图中可得“在线答题”的频数为18人，占调查人数的20%，可求出调查人数，进而求出“在线听课”的人数，补全条形统计图；
（2）求出“在线讨论”所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（3）求出“在线阅读”所占的百分比，即可求出总体4800人中“在线阅读”的人数．
【解答】解：（1）18÷20%＝90（人），
90﹣18﹣12﹣24＝36（人），
补全条形统计图如图所示：

故答案为：90；
（2）“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数：360°×＝48°，
（3）4800×＝1280（人），
答：该校4800名学生中对在线阅读最感兴趣的学生人数大约有1280人．
20．（8分）如图，E为正方形ABCD的边CD上一点，连接AE，BD．仅用无刻度的直尺按下列步骤完成画图，保留画图痕迹：
（1）画出正方形ABCD的对称中心O；
（2）平移线段AE至FC，使点E与点C重合；
（3）画线段AE关于BD的对称线段；
（4）将线段AE绕点A顺时针旋转90°，得到线段AM．

【分析】（1）连接AC交BD于点O，点O即为所求作．
（2）连接EO，延长EO交AB于F，连接CF，线段CF即为所求作．
（3）设AE交BD于J，连接CJ，延长CJ交AD于N，线段CN即为所求作．
（4）连接NF，延长NF交CB的延长线于M，连接AM，线段AM即为所求作．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求作．
（2）如图，线段CF即为所求作．
（3）如图，线段CN即为所求作．
（4）如图，线段AM即为所求作．

21．（8分）如图，AB，AC为⊙O的切线，B，C为切点，BD为⊙O的直径，连接AO，CD．
（1）求证：AO∥CD；
（2）过点D作DE∥AC交AB于点E．若tan∠CAO＝，求的值．

【分析】（1）连接OC，如图，根据切线长定理得到OB⊥AB，OC⊥AC，AO平分∠BAC，再根据等角的余角相等得到∠AOB＝∠AOC，然后证明∠AOC＝∠OCD得到OA∥CD；
（2）设OA交AO于F，如图，先证明四边形ACDF为平行四边形得到AC＝DF，利用切线长定理得到AB＝AC，再证明∠EAF＝∠AFE得到EA＝EF，由于tan∠CAO＝＝，则设OC＝2x，则AC＝AB＝DF＝5x，设AE＝EF＝t，则BE＝5x﹣t，DE＝5x+t，在Rt△BDE中利用勾股定理得到（5x﹣t）2+（2x）2＝（5x+t）2，解得t＝x，然后计算的值．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AB、AC为切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，AO平分∠BAC，
∴∠AOB＝∠AOC，
∵∠BOC＝∠OCD+∠ODC，
即∠AOB+∠AOC＝∠OCD+∠ODC，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠AOC＝∠OCD，
∴OA∥CD；
（2）解：设OA交AO于F，如图，
∵DE∥AC，OA∥CD，
∴四边形ACDF为平行四边形，
∴AC＝DF，
∵AB、AC为切线，
∴AB＝AC，
∵AO平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠FAC，
∵EF∥AC，
∴∠AFE＝∠FAC，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴EA＝EF，
在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝，
设OC＝2x，则AC＝5x，
∴AB＝DF＝5x，
设AE＝EF＝t，则BE＝5x﹣t，DE＝5x+t，
在Rt△BDE中，（5x﹣t）2+（2x）2＝（5x+t）2，
∴t＝x，
∴BE＝5x﹣t＝x，
∴＝＝．

22．（10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：
产品
每件售价（万元）
每件成本（万元）
每年其他费用（万元）
每年最大产销量（件）
甲
6
m
20
200
乙
30
20
40+0.05x2
80
其中m为常数，且2≤m≤5．
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
【分析】（1）根据利润＝销售数量×每件的利润即可解决问题；
（2）分别根据一次函数与二次函数的性质可求得答案；
（3）根据题意分三种情况求解：①1180﹣200m＞440；②1180﹣200m＝440；③1180﹣200m＜440．
【解答】解：（1）y1＝（6﹣m）x﹣20（0＜x≤200），
y2＝（30﹣20）x﹣（40+0.05x2）＝﹣0.05x2+10x﹣40（0＜x≤80）；
（2）甲产品：y1＝（6﹣m）x﹣20（0＜x≤200），
∵2≤m≤5，
∴6﹣m＞0，
∴y1随x的增大而增大，
∴当x＝200时，y1max＝（1180﹣200m）（万元）（2≤m≤5）；
乙产品：
y2＝﹣0.05x2+10x﹣40
＝﹣0.05（x﹣100）2+460（0＜x≤80）；
∴当0＜x≤80时，y2随x的增大而增大，
∴当x＝80时，y2max＝440（万元）．
∴产销甲种产品的最大年利润为（1180﹣200m）万元；产销乙种产品的最大年利润是440万元；
（3）由1180﹣200m＞440，解得2≤m＜3.7，此时选择甲产品；
由1180﹣200m＝440，解得m＝3.7，此时选择甲或乙产品均可；
由1180﹣200m＜440，解得3.7＜m≤5，此时选择乙产品；
∴当2≤m＜3.7时，生产甲产品的利润高；当m＝3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；当3.7＜m≤5时，生产乙产品的利润高．
23．（10分）【问题背景】（1）如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE．求证：BE＝CD；
【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，∠E＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF．求的值；
【拓展创新】（3）如图3，A是△BEF内一点，BE＝BF，AF＝2，∠EAB＝90°，∠FEA＝∠BFA，AE＝2AB，直接写出AB的长．

【分析】（1）由题目条件可得，△ABE∽△ACD且相似比是，可证；
（2）根据条件，证明△EDB∽△FDC即可；
（3）过点A作AH⊥AF，交EF于点H，连接BH，证△FAE∽△HAB，再根据条件可得AB＝．
【解答】解：（1）如图，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，
∴∠DAE＝∠CAB，且AB＝AC，AE＝AD，
∴∠DAC＝∠EAB，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∴BE＝CD；
（2）如图2，连接BD，

∵∠E＝45°，DF⊥BE，
∴∠EDF＝∠E＝45°，
在正方形ABCD中，∠BDC＝45°，
∴∠EDB＝∠FDC＝45°+∠FDB，，
∴△EDB∽△FDC，
∴＝＝；
（3）过点A作AH⊥AF，交EF于点H，连接BH．

∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠FEA＝∠BFA，
∴∠AFE＝∠BEA，
∴tan∠AFE＝tan∠BEA，
∴＝＝，
∴AH＝AF＝1，
∴FH＝．
∵∠FAE＝∠HAB＝90°+∠HAE，＝＝，
∴△FAE∽△HAB，
∴∠AHB＝∠AFE，
∴∠AHB+∠AHF＝∠AFE+∠AHF＝90°，
∴∠BHF＝90°，
∵BE＝BF，
∴HE＝FH＝，
∵△FAE∽△HAB，
∴，
∴BH＝EF＝，
∴BE＝，
∵AE＝2AB，
∴AB2+AF2＝BE2＝10，
∴AB＝．
24．（12分）如图1，直线y＝kx﹣2k+1（k≠0）过定点A，抛物线y＝ax2经过点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若O为原点，C为抛物线上一点，S△AOC＝1，求点C的横坐标；
（3）如图2，直线y＝kx﹣2k+1（k≠0）与抛物线的另一个交点为M，N为抛物线上一动点，若AM⊥AN，试问：直线MN上是否存在一点P，使得AP的长为定值？说明理由．
【分析】（1）由直线y＝kx﹣2k+1（k≠0）过定点A，可求出点A坐标，再代入抛物线解析式，求出a即可；
（2）利用平行转化面积，求出满足条件的点C所在的直线表达式，进而求出点C的横坐标即可；
（3）使AP的长为定值的点P为定点，借助垂直，求出直线MN经过的定点P即可．
【解答】解：（1）y＝kx﹣2k+1＝k（x﹣2）+1，当x＝2时，y＝1，
∴A（2，1），代人y＝ax2，得4a＝1，a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2．
（2）直线OA的解析式为y＝x，
过点C作直线OA的平行线交x轴于点B，则S△AOB＝S△AOC＝1，
∴OB×1＝1，OB＝2，
∴B（2，0）或（﹣2，0）．
若B（2，0），直线BC的解析式为y＝（x﹣2），与抛物线y＝x2联立，
得x2﹣2x+4＝0，△＝4﹣16＝﹣12＜0，不合题意，舍去；
若B（一2，0），直线BC的解析式为y＝（x+2），
与抛物线y＝x2联立，得x2﹣2x﹣4＝0，x＝1±，
∴点C的横坐标为1±．
（3）过点M，N作x轴的平行线，与过点A且平行于y轴的直线分别交于点E，F．设M（x1，x12），N（x2，x22），
设直线MN的解析式为y＝mx+n，与y＝x2联立，得x2﹣4mx﹣4n＝0，
∴x1+x2＝4m，x1x2＝﹣4n，
易证∠EMA＝∠NAF，
∴tan∠EMA＝tan∠NAF，
∴，
∴＝，化简得，x1x2+2（x1+x2）+20＝0，即﹣4n+8m+20＝0，整理得，n＝2m+5，
∴直线MN的解析式为：y＝mx+2m+5，且当x＝﹣2时，y＝5，
∴直线MN过定点P（﹣2，5），
∴AP＝＝4．
故直线MN上存在一点P，使得AP的长为定值．