2021年高考艺术生数学基础复习 考点26 空间向量在空间几何中的运用（学生版）

这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点26 空间向量在空间几何中的运用（学生版），共21页。

点面距
已知为平面的一条斜线段(在平面内)，为平面的法向量，则到平面的距离为注：空间中其他距离问题一般都可以转化为点面距问题．
三．异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则csθ=，其中分别是直线a、b的方向向量
四．直线与平面所成角
l为平面α的斜线，为l的方向向量，为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则(直线与平面所成角的范围为eq \(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))
五．二面角
平面α的法向量为，平面β的法向量为，〈，〉＝θ，设二面角大小为φ，则
考向分析
考向一 空间向量证平行垂直
【例1】(2020·全国高三专题练习)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：
(1)PB//平面EFG；
(2)平面EFG//平面PBC.
【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)如图所示，在直二面角中，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
2．(2020·全国高三专题练习)如图，在多面体ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1=BC，二面角A1­AB­C是直二面角.
求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；
(2)AB1∥平面A1C1C.
考向二 空间向量求线线角
【例2】(2021·西安市航天城第一中学)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A．B．-C．2D．
【方法总结】
方法一：几何法求线线角
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
方法二：空间向量
建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
【举一反三】
1．(2021·广西河池市)如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为( )．
A．B．C．D．
2．(2021·陕西西安市·西安中学)如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是( )
A．B．C．D．
3．(2021·安徽高三期末)已知棱长为2的正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A．B．C．D．
考向三 空间向量求线面角
【例3】(2020·北海市北海中学高三月考)在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)求证：BE⊥DC；
(2)求直线PC与平面PDB所成角的正弦值．
【方法总结】
解决线面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；
（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.
（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.
（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.
【举一反三】
1．(2020·浙江高三期中)如图，已知三棱锥中，平面，，M、E分别为、的中点，N为的中点．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值．
2．(2021·浙江绍兴市·绍兴一中高三期末)在三棱锥中，，，.
(1)求证：；
(2)若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
3．(2021·浙江绍兴市·高三期末)已知三棱柱中，平面平面，，．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小．
考向四 空间向量求二面角
【例4】(2021·盐城市伍佑中学高三期末)在三棱柱中，平面，，，是的中点.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
【方法总结】
利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.
【举一反三】
1．(2021·湖北高三月考)如图，在四棱锥中，平面平面.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
2．(2021·山西吕梁市·高三一模)如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，，.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
3．(2021·江西赣州市·高三期末)在如图所示的几何体中，，，均为等边三角形，且平面平面，平面平面.
(1)证明：；
(2)若，求二面角的余弦值.
考向五 空间向量求空间距
【例5】(2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考)如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，为的中点，.
(1)证明：直线平面；
(2)求点到平面的距离.
【方法总结】
利用向量方法求解平面外一点到平面的距离的步骤：
（1）建立合适空间直角坐标系，在平面内取一点；
（2）求解出和平面的法向量；
（3）根据即可求解出点到平面的距离.
【举一反三】
1．(2021·吉林长春外国语学校)如图，平行四边形中，，分别为的中点.以为折痕把四边形折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求点到平面的距离.
2．(2020·全国高三专题练习)如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且.
(1)求证： 平面；
(2)求直线到平面的距离.
强化练习
1．(2021·北京高三期末)如图，在四棱锥中，，， ，，.
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
2．(2021·安徽淮北市·高三一模)如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，且，，面，，N为中点.
(1)若是中点，求证：面；
(2)求二面角的正弦值.
3．(2020·赤峰二中高三三模)如图所示，在平行四边形ABCD中，，，，点E是CD边的中点，将沿AE折起，使点D到达点P的位置，且.
(1)求证；平面平面ABCE；
(2)求点E到平面PAB的距离.
4．(2020·陕西省商丹高新学校高三其他模拟)如图所示在长方体中，，，，，分别是，的中点.
(1)求证：平面
(2)求C到平面的距离.
5．(2021·河南高三月考)如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，分别为，的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
6．(2021·江苏南通市·高三期末)如图，在四棱锥中，平面，，相交于点，，已知，，.
(1)求证：平面；
(2)设棱的中点为，求平面与平面所成二面角的正弦值.
7．(2021·河南高三期末)如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
8．(2021·江西宜春市·高三期末)如图所示，在多面体中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
(1)证明：平面；
(2)若二面角正弦值为，求的值.
9．(2021·陕西咸阳市·高三一模)如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是的中点．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)设点是的中点，求二面角的余弦值．
10．(2021·宁夏吴忠市·高三一模)如图，在三棱锥中，平面ABC，三角形是正三角形，，点D、E、F分别为棱PA、PC、BC的中点，G为AD的中点．
(1)求证：平面BDE；
(2)求二面角的余弦值．
11．(2021·内蒙古赤峰市·高三期末)如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，面面，且，点在棱上．
(1)证明：当时，直线平面；
(2)当平面时，求二面角的余弦值．
12．(2021·河南高三月考)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，，求二面角的余弦值．
13．(2021·安徽高三期末)在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，为线段的中点，过的平面与线段分别交于点.
(1)求证：平面；
(2)若，点G为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
14．(2021·江苏常州市·高三开学考试)如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，，平面平面，二面角的大小为.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
15．(2021·浙江绍兴市)如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面且为中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
16．(2021·江西高三其他模拟)如图，在三棱锥中，，为的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．(2021·浙江绍兴市·高三期末)如图，三棱柱中，，在底面上的射影恰好是点，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
18．(2021·浙江绍兴市·高二期末)如图，在三棱柱中，，，，点为线段的中点．
(1)求证：．
(2)求二面角的大小．
(3)求直线与平面所成角的正弦值．位置关系
向量表示
线线位置关系
直线l1，l2的方向向量分别为，
l1∥l2
∥⇔＝k(k∈R)
l1⊥l2
⊥⇔·＝0
线面位置关系
直线l的方向向量为，平面α的法向量为
l∥α
⊥⇔·＝0
l⊥α
∥⇔＝k(k∈R)
面面位置关系
平面α，β的法向量分别为，
α∥β
∥⇔＝k(k∈R)
α⊥β
⊥⇔·＝0