2021年高考艺术生数学基础复习 考点18 排列组合（学生版）

这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点18 排列组合（学生版），共13页。教案主要包含了排列组合数的计数，排队问题，排数问题，染色问题等内容，欢迎下载使用。
一．计数原理
(一)分类加法计数原理
1.概念：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2.特征
(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事
(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的
(二)分步乘法计数原理
1.概念：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
2.特征
(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事
(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏
二．排列、组合
(一)排列组合定义
(二)排列数、组合数的定义、公式、性质
考向分析
考向一 排列组合数的计数
【例1】(1)(2020·全国高三专题练习)若，则的值为( )
A．60B．70C．120D．140
(2)(2020·全国高三专题练习)已知，则( )
A．11B．12C．13D．14
【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)已知，则( )
A．5B．7C．10D．14
2．(2020·吉林油田第十一中学高三月考)若，则( )
A．8B．7C．6D．5
3．(2020·全国高三专题练习)已知,则()
A．B．C．或3D．
考向二 排队问题
【例2】(2020·全国高三专题练习)3名女生和5名男生排成一排．
(1)若女生全排在一起，有多少种排法？
(2)若女生都不相邻，有多少种排法？
(3)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？
(4)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？
【方法总结】
排列问题常用方法
直接法：把符合条件的排列数直接列式计算
优先法：优先安排特殊元素或特殊位置
3.捆绑法：相邻问题采取“捆绑法”即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
4.插空法：不相邻问题采取“插空法”即对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
5.定序除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
6.间接法：正难则反、等价转化的方法
【举一反三】
1．(2021·河北张家口市·高三期末)某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为( )
A．24B．36C．48D．60
2．(2020·上海高三专题练习)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144B．120C．72D．24
3．(2020·全国高三专题练习)甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有( )
A．72种B．144种C．360种D．720种
4．(2020·江苏南通市·高三月考)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6门课程，每周开设一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为__________．
5.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
考向三 排数问题
【例3】(2020·全国高三专题练习)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.
(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？
(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”， 那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？
【举一反三】
1．(2021·湖南株洲市·高三一模)由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是( )
A．24B．12C．10D．6
2．(2020·全国高三专题练习)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )
A．144个B．120个C．96个D．72个
3．(2020·龙港市第二高级中学高三开学考试)用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有________.
4．(2020·浙江金华市·高三其他模拟)用1，2，3，4，5，0组成数字不重复的六位数，满足1和2不相邻，5和0不相邻，则这样的六位数的个数为_________.
考向四 染色问题
【例4】(2020·安徽省六安中学)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为( )
A．360B．400C．420D．480
【举一反三】
1．(2020·江苏高三专题练习)有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有________.
2．(2020·江苏)用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.(用数字回答)
3．(2020·四川省眉山车城中学)西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有__________种涂色方法．
4．(2020·全国高三专题练习)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.(用数字作答)
考向五 分组分配问题
【例5】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)平均分成三份,每份2本;
(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
【方法总结】
分组、分配问题
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”
【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________．
2．(2021·全国高三专题练习)在浙江省新高考选考科目报名中，甲、乙、丙、丁四位同学均已选择物理、化学作为选考科目，现要从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有___________种(用数字作答)；若每位同学选报这五门学科中的任意一门是等可能的，则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为____________.
3.某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为 。
4．(2019·河北省九校第二次联考)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”，“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有
5．冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种．
强化练习
一、单选题
1．(2020·全国高三其他模拟)十二生肖，又称十二属相，与中国传统文化中的十二地支呈现一一对应关系，分别为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学分别随机抽取一件作为礼物．甲同学喜欢马、牛、乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率是( )
A．B．C．D．
2．(2020·吉林油田第十一中学高三月考)从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法( )
A．24B．20C．10D．9
3．(2020·贵州毕节市·贵阳一中高三月考)6位同学参加校运动会6×50m趣味接力赛，甲、乙两位同学必须跑相邻两棒，则这6位同学接力赛的顺序有( )种
A．360B．240C．120D．60
4．(2020·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考)把座位号为、、、、、的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为( )
A．B．C．D．
5．(2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考)在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有( )种.
A．12B．14C．16D．18
6(2020·全国高三其他模拟)高三毕业时，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排合影留念，其中戊站在正中间，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法种数为( )
A．4B．8C．16D．24
7．(2020·全国高三专题练习)在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有( )
A．8种B．12种C．20种D．24种
8．(2020·全国高三专题练习)将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为( )
A．10B．12C．14D．24
9．(2020·全国高三专题练习)琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为( )
A．B．C．D．
10．(2020·全国高三专题练习)电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗､为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是( )
A．8B．12C．16D．20
11．(2020·全国高三专题练习)本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有( )
A．72种B．144种C．288种D．360种
12．(2020·浙江高三专题练习)电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为( )
A．40B．36C．32D．20
13．(2020·全国高三专题练习)某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表(上午四节、下午四节，每门课每天至少一节)，已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻)，则该生该天课表有( ).
A．444种B．1776种C．1440种D．1560种
14．(2020·全国高三专题练习)如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( )
A．种B．种
C．种D．种
15．(2020·江苏南通市·高三期中)重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是( )
A．35B．40C．50D．70
16．(2020·南通西藏民族中学高三期中)从，，，，，中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有( )
A．种B．种C．种D．种
17．(2020·全国高三专题练习)将编号为、、、、的个小球全部放入、、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有( )
A．B．C．D．
18．(2020·河北高三月考)特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有( )
A．24B．14C．12D．8.
19．(2020·全国高三专题练习)从这9个数字中，选取4个数字，组成含有1对重复数字的五位数的种数有( )
A．30240B．60480C．15120D．630
20．(2021·全国高三专题练习)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种B．90种
C．60种D．30种
21．(2021·全国高三专题练习)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A．B．C．D．
二、多选题
22．(2020·全国高三专题练习)下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是( )
A．B．
C．D．
23．(2021·山东高三专题练习)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则( )
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
三、填空题
24．(2020·全国高三专题练习)将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．
25．(2021·全国高三专题练习)新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有___________种.(用数字作答)
26．(2020·金华市曙光学校)已知5辆不同的白颜色汽车和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有______
27．(2020·福建厦门市·厦门双十中学高三月考)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为______
28．(2020·天津红桥区·高三期中)某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有排法_________种. (用数字作答)
29．(2020·北京市第十三中学高三开学考试)学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为________.
30．(2020·全国高三专题练习)在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种(用数字回答).
31．(2020·上海高三专题练习)一个袋中装有同样大小、质量的个球，其中个红色、个蓝色、个黑色．经过充分混合后，若从此袋中任意取出个球，则三种颜色的球均取到的概率为_________．
32．(2020·上海高三专题练习)甲和乙等名志愿者参加进博会四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少1人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有___________种不同的参加方法(结果用数值表示).
33．(2020·全国高三月考)武汉某学校的四名党员教师积极参加党员干部下沉社区的活动，在活动中他们会被随机分配到、、三个社区.若每个社区至少分配一名党员教师，且教师甲必须分配到社区，共有______种不同的分配方案.
34．(2020·全国高三专题练习)已知甲、乙、丙、丁4人同时到5个不同的地区参加扶贫活动，若每个地区最多有2人参加(2人到同一个地区，不区分2人在其中的角色)，则甲、乙、丙、丁4人参加扶贫活动的不同安排方式总数是_____.
35．(2020·上海黄浦区·格致中学高三月考)为抗击“新型冠状病毒”，全国各地群策群力，捐款捐物，某企业出资购买了两种不同型号的新型呼吸机各两台(同种型号呼吸机不加区分)，将这4台呼吸机捐给疫情最重区域的三所医院，每所医院至少一台，且同型号呼吸机不给同一医院，则不同分配方案有_____种
36．(2021·全国高三专题练习)“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有______种.
37．(2021·全国高三专题练习)新冠疫情期间，甲､乙､丙三个家庭在某医院等候区等待核酸检测结果.等候区是6(列)×2(行)的座位.甲､乙家庭各有三人，且乙家庭有一个小孩，丙家庭有两人.现有相关规定：同一家庭的人需坐在同一行上，不同家庭的人之间不能太接近(左右不相邻)，小孩至少坐在其一位家长身边(左右相邻).则共有______种坐法.
38．(2020·安徽)如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．
39．(2020·浙江省桐庐分水高级中学高三期中)在新高考改革中，学生可从物理、历史，化学、生物、政治、地理，技术7科中任选3科参加高考，则学生有________种选法. 现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科， 再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有________种
40．(2020·全国高三专题练习)某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有__________种不同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有__________种不同的排法．(用具体数字作答)排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义
合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝
性质
Aeq \\al(n,n)＝n！，0！＝1
Ceq \\al(0,n)＝1，Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)，Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)