全国版高考数学必刷题：第十三单元　空间几何中的平行与垂直

这是一份全国版高考数学必刷题：第十三单元　空间几何中的平行与垂直，共50页。

第十三单元　空间几何中的平行与垂直



考点一
点、线、面位置关系的判断

1.(2016年浙江卷)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(　　).
A.m∥l　　　B.m∥n　　　C.n⊥l　　　D.m⊥n
　　【解析】∵α∩β=l,∴l⊂β.∵n⊥β,∴n⊥l.
【答案】C
2.(2015年安徽卷)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是(　　).
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
　　【解析】A项,α,β可能相交,故错误;B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;C项,若m⊂α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确.故D项正确.
【答案】D
3.(2015年广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(　　).
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
　　【解析】由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行也不相交,故l1,l2中至少有一条与l相交.
【答案】D
4.(2017年全国Ⅲ卷)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则(　　).
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
　　【解析】连接B1C,由题意得BC1⊥B1C.
∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1⊂平面B1BCC1,
∴A1B1⊥BC1,
∵A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1ECB1,
∵A1E⊂平面A1ECB1,∴A1E⊥BC1.故选C.
【答案】C


5.(2016年上海卷)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是(　　).
A.直线AA1
B.直线A1B1
C.直线A1D1
D.直线B1C1
　　【解析】根据异面直线的概念可以看出直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线,直线B1C1和直线EF在同一平面内,且这两条直线不平行,∴直线B1C1和直线EF相交,即选项D正确.
【答案】D

考点二
求异面直线所成的角

6.(2017年全国Ⅲ卷)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是　　　　.(填写所有正确结论的编号) 

　　【解析】依题意建立如图所示的空间直角坐标系.设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.
由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆.
设直线a的方向向量为a=(0,1,0),直线b的方向向量为b=(1,0,0),CB以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ,θ∈[0,2π),则B(cos θ,sin θ,0),
∴AB=(cos θ,sin θ,-1),|AB|=2.
设直线AB与a所成的角为α,
则cos α=AB·aaAB=22|sin θ|∈0,22,
∴45°≤α≤90°,∴③正确,④错误.
设直线AB与b所成的角为β,
则cos β=AB·bbAB=22|cos θ|.
当直线AB与a的夹角为60°,即α=60°时,
则|sin θ|=2cos α=2cos 60°=22,
∴|cos θ|=22.∴cos β=22|cos θ|=12.
∵0°≤β≤90°,∴β=60°,即直线AB与b的夹角为60°.
∴②正确,①错误.
【答案】②③
7.(2016年全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(　　).
A.32 B.22 C.33 D.13

　　【解析】设平面CB1D1∩平面ABCD=m1.
∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,
∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1,
且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,
同理可证CD1∥n.
因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形,
故直线B1D1与CD1所成角为60°,其正弦值为32.
【答案】A
8.(2017年全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　).
A.32 B.155 C.105 D.33
　　【解析】

将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图所示,连接AD1,B1D1,BD.
由题意知∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,
所以AD1=BC1=2,AB1=5,∠DAB=60°.
在△ABD中,由余弦定理知BD2=22+12-2×2×1×cos 60°=3,所以BD=3,所以B1D1=3.
又直线AB1与AD1所成的角即为异面直线AB1与BC1所成的角θ ,
所以cos θ=AB12+AD12-B1D122×AB1×AD1=5+2-32×5×2=105.故选C.
【答案】C
9.(2014年全国Ⅱ卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(　　).
A.110 B.25 C.3010 D.22
　　【解析】

如图,取BC的中点D,连接MN,ND,AD,由于MN?12B1C1?BD,因此有ND?BM,则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角.设BC=2,则BM=ND=6,AN=5,AD=5,因此cos∠AND=ND2+NA2-AD22ND·NA=3010.
【答案】C

考点三
求线面角或二面角的正弦值、余弦值等



10.(2017年全国Ⅲ卷)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC.
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.
　　【解析】(1)由题设可得△ABD≌△CBD,从而AD=CD.
又△ACD是直角三角形,
所以∠ADC=90°.
取AC的中点O,连接DO,BO,
则DO⊥AC,DO=AO.
又因为△ABC是正三角形,所以BO⊥AC,
所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角.
在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2,
又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,
故∠DOB=90°.
所以平面ACD⊥平面ABC.

(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直,以O为坐标原点,OA的方向为x轴正方向,OB的方向为y轴正方向,OD的方向为z轴正方向,|OA|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).
由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12,
从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12,
即E为DB的中点,得E0,32,12,
故AD=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),AE=-1,32,12.
设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,
则n·AD=0,n·AE=0,即-x+z=0,-x+32y+12z=0,
可取n=1,33,1.
设m是平面AEC的法向量,则m·AC=0,m·AE=0,
同理可取m=(0,-1,3),
则cos=n·m|n||m|=77.
所以二面角D-AE-C的余弦值为77.

11.(2015年全国Ⅱ卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
　　【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.

(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.
因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH=EH2-EM2=6,所以AH=10.
以点D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE=(10,0,0),HE=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则n·FE=0,n·HE=0,即10x=0,-6y+8z=0,所以可取n=(0,4,3).
又AF=(-10,4,8),故|cos|=|n·AF||n||AF|=4515.
所以直线AF与平面EHGF所成角的正弦值为4515.

　　高频考点:点、线、面位置关系的判断;证明平行关系和垂直关系;求异面直线所成的角、线面角和二面角.
命题特点: 点、线、面位置关系的判断和异面直线所成的角一般是一个选择题和一个解答题,其中解答题的第一问是平行、垂直关系的证明,第二问是线面角、二面角的求解,从考查分值看,在17分左右,题目注重思维能力、逻辑推理能力和运算能力,属中档题.

§13.1　空间中点、线、面的位置关系



一
平面的基本性质

　　1.公理1:如果一条直线上的　　　　在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 

2.公理2:　　　　　　　的三点,有且只有一个平面. 
3.公理3:如果两个不重合的平面有　　　公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 

二
空间中两直线的位置关系

　　1.空间中两条直线的位置关系
共面直线　　　　　　　　异面直线:不同在　　　　一个平面内
2.异面直线所成的角
(1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:　　　　　. 
3.公理4:平行于　　　　的两条直线互相平行. 
4.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角　　　　　　. 

三
空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

　　1.直线与平面的位置关系有　　　　、　　　　、　　　三种情况. 
2.平面与平面的位置关系有　　　　　、　　　　　两种情况. 


☞ 左学右考

1 下面的说法是否正确?请说明理由.
两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于点A,记作α∩β=A.



2 四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面个数有(　　).
A.4个　　　　　　　　B.3个
C.2个 D.1个
3 已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是(　　).
A.相交或平行 B.相交或异面
C.平行或异面 D.相交、平行或异面
4 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为　　　　. 
5 下面的说法是否正确?请说明理由.
已知平面α和β,直线a和b,α∥β,m∥n,若m∥α,则n∥β.



6 α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是(　　).
A.平行　　　B.相交　　　C.异面　　　D.垂直

知识清单
一、1.两点　2.过不在一条直线上　3.一个
二、1.平行　相交　任何　2.0,π2　3.同一条直线
4.相等或互补
三、1.相交　平行　在平面内　2.平行　相交
基础训练
1.【解析】错误.由公理3可知两个平面相交于一条公共直线.
2.【解析】如空间四边形每两条相交线都确定一个平面,故最多可确定4个平面.
【答案】A
3.【解析】依题意可得b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.
【答案】D
4.【解析】利用平移法,结合余弦定理即可得出.
【答案】25
5.【解析】错误.n可以平行于β,也可以在平面β内.
6.【解析】∵α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,m⊄α,n⊂α,
∴n在平面α上,m与平面α相交.
∵A∈m,A∈α,∴A是m和平面α相交的点.
∴m和n 异面或相交,一定不平行.故选A.
【答案】A




题型一
空间两条直线的位置关系

　　【例1】a,b,c是空间中互不重合的三条直线,下面给出五个命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线;
⑤若a,b与c成等角,则a∥b.
上述命题中正确的　　　　.(只填序号) 
【解析】由公理4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④不正确;当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确.故答案为①.
【答案】①

　　要判断线线、线面、面面的位置关系,应熟练掌握空间线面关系及面面关系的定义、几何特征及判断方法,特别注意要考虑全面.
　　【变式训练1】若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(　　).
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
【解析】∵l1⊥l2,l2⊥l3,∴l1与l3的位置关系不确定,又l4⊥l3,∴l1与l4的位置关系不确定.故A、B、C错误,D正确.
【答案】D

题型二
异面直线所成的角

　　【例2】已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=3,AD=1,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为(　　).
A.64　　　B.63　　　C.26　　　D.36

【解析】如图,连接B1A,AC,则B1A∥C1D,∴∠AB1C为异面直线B1C和C1D所成的角,
在△AB1C中,AB1=6,B1C=2,AC=2,
∴cos∠AB1C=AB12+B1C2-AC22·AB1·B1C=6+4-42×6×2=64.
∴异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为64.故选A.
【答案】A

　　求异面直线所成角的一般方法:(1)移:通过中位线或平行四边形平移.(2)证:证明所作的角是异面直线所成的角.(3)求:解三角形,注意角的范围.

　　【变式训练2】如图,正四面体ABCD中,E、F分别是棱BC和AD的中点,则直线AE和CF所成角的余弦值为(　　).
A.13 B.23
C.14 D.34

【解析】连接ED,取ED的中点G,连接GF,GC.
∵FG为△DAE的中位线,∴FG∥AE.
∴直线AE和CF所成的角即为GF和FC所成的角.
设BC=1,则AE=DE=CF=32.
∴FG=12AE=34,
GC=GE2+EC2=342+122=74.
在△GFC中,cos∠GFC=GF2+CF2-GC22·GF·CF
=342+322-7422×34×32=23.
即直线AE和CF所成角的余弦值为23.
【答案】B


方法
构造模型判断空间中的线面位置关系——长方体的妙用

　　构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型,然后将问题利用模型直观地作出判断,这样减少了抽象性,避免了因考虑不全面而导致解题错误.对于线面、面面位置关系(平行、垂直)的判定,可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.
【突破训练】已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:
①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.
其中正确的命题是　　　　.(填写所有正确命题的序号) 
【解析】对于①,由题意可以得到平面α、β互相垂直,如图(1)所示,故①正确;对于②,平面α、β可能垂直,如图(2)所示,故②不正确;对于③,平面α、β可能垂直,如图(3)所示,故③不正确;对于④,由题意可以得到直线m、n互相垂直,如图(4)所示,故④正确.


　　【答案】①④


1.(2017福建四校联考)设A、B、C、D是空间四个不同的点,下列命题中,不正确的是(　　).
A.若AC与BD共面,则AD与BC共面
B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线
C.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC
D.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC

　　【解析】A显然正确;B正确,因为若AD与BC共面,则必有AC与BD共面,由原命题与其逆否命题同真同假可判断;C正确,用平面几何与立体几何的知识都可证明;D不正确,如图所示.故选D.
【答案】D
2.(2017太原二模)已知平面α∥β,且α与β的距离为d(d>0).若m⊂α,则在β内与直线m平行的直线共有(　　).
A.0条　　　B.1条　　　C.2条　　　D.无数条
　　【解析】因为平面α∥β,且α与β的距离为d(d>0),m⊂α,所以在β内与直线m平行的直线是过直线m与平面β相交的平面得到的交线,而距离m为2d的直线有两条,故在β内与直线m的距离为2d的直线共有2条.故选C.
【答案】C
3.(2017无极县校级期中)如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的(　　).
A.一条直线不相交 B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交
　　【解析】∵直线a∥平面α,∴直线a与平面α没有公共点,从而直线a与平面α内任意一条直线都没有公共点,即不相交,故选D.
【答案】D
4.(2017年江西八校联考)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则(　　).
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
　　【解析】由m⊥平面α,直线l满足l⊥m,且l⊄α,所以l∥α,又n⊥平面β,l⊥n,l⊄β,所以l∥β.由直线m,n为异面直线,且m⊥平面α,n⊥平面β,则α与β相交,否则,若α∥β,则推出m∥n,与m,n异面矛盾.故α与β相交,且交线平行于l.故选D.
【答案】D

5.(2017天津学业考试)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　).
A.1010 B.35
C.105 D.45


　　【解析】连接BC1,A1C1,则AD1∥BC1,∴∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成的角或其补角.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,∵AA1=2AB=2BC=2,∴A1B=BC1=5,A1C1=2.在△A1BC1中,由余弦定理得cos∠A1BC1=5+5-22×5×5=45.故选D.
【答案】D

6.(2017西宁模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面是一个正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E是棱PA的中点,则异面直线BE与AC所成角的余弦值是(　　).
A.155 B.105
C.63 D.62

　　【解析】以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,0,0),E(0,0,1),A(0,0,0),C(2,2,0),
BE=(-2,0,1),AC=(2,2,0),设异面直线BE与AC所成的角为θ,
则cos θ=|BE·AC||BE|·|AC|=45·8=105.故选B.
【答案】B
7.(2017武邑县校级模拟)正四面体ABCD中,M是棱AD的中点,O是点A在底面BCD内的射影,则异面直线BM与AO所成角的余弦值为(　　).
A.26 B.23 C.24 D.25

　　【解析】取BC的中点E,DC的中点F,连接DE、BF,则由题意得DE∩BF=O,取OD的中点N,连接MN,则MN∥AO,∴∠BMN是异面直线BM与AO所成的角(或所成角的补角).设正四面体ABCD的棱长为2,由BM=DE=4-1=3,OD=23DE=233,∴AO=4-43=83,∴MN=12AO=23.由AO⊥平面BCD,MN∥AO,得MN⊥平面BCD,∴cos∠BMN=MNBM=233=23,
∴异面直线BM与AO所成角的余弦值为23.故选B.
【答案】B
8.(2017东胜区校级模拟)设有两条直线m,n和三个平面α,β,γ,给出下面四个命题:①α∩β=m,n∥m⇒n∥α,n∥β;②α⊥β,m⊥β,m⊄α⇒m∥α;③α∥β,m⊂α⇒m∥β;④α⊥β,α⊥γ⇒β∥γ.其中命题正确的是　　　　. 
　　【解析】①α∩β=m,n∥m不能得出n∥α,n∥β,因为n可能在α或β内,故①错误;②α⊥β,m⊥β,m⊄α,根据线面平行的判定定理可得m∥α,故②正确;③α∥β,m⊂α,根据面面平行的性质定理可得m∥β,故③正确;④α⊥β,α⊥γ,则γ与β可能平行也可能相交,故④错误.
【答案】②③
9.(2017河南二模)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示GH,MN是异面直线的图形的序号为　　　　. 

　　【解析】异面直线的判定定理:经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线.
根据异面直线的判定定理可知:在图②④中,直线GH、MN是异面直线.
在图①中,由G、M均为棱的中点,可知GH∥MN.
在图③中,∵G、M均为棱的中点,∴四边形GMNH为梯形,则GH与MN相交.
【答案】②④

10.(2017烟台一模)若α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列结论错误的是(　　).
A.如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等
B.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β
C.如果α∥β,m⊂α,那么m∥β
D.如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n
　　【解析】如果m∥n,α∥β,那么m,n与α所成的角和m,n与β所成的角均相等,故A正确;如果m⊥n,m⊥α,n∥β,不能得出α⊥β,故B错误;如果α∥β,m⊂α,那么m与β无交点,则m∥β,故C正确;如果n∥α,那么存在直线l⊂α,使n∥l.由m⊥α,可得m⊥l,那么m⊥n,故D正确.故选B.
【答案】B
11.(2017南昌模拟)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a,且长为a的棱与长为2的棱异面,则a的取值范围是(　　).
A.(0,2) B.(0,3) C.(1,2) D.(1,3)

　　【解析】设四面体的底面是BCD,BC=a,BD=CD=1,顶点为A,AD=2.
在△BCD中,由两边之和大于第三边可得0