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全国版高考数学必刷题：第四单元 函数的图象与函数应用
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这是一份全国版高考数学必刷题：第四单元 函数的图象与函数应用，共52页。试卷主要包含了某市生产总值连续两年持续增加等内容，欢迎下载使用。
第四单元 函数的图象与函数应用
考点一
图象推导型
1.(2015年浙江卷)函数f(x)=x-1xcos x(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( ).
A
B
C
D
【解析】函数f(x)=x-1xcos x(-π≤x≤π且x≠0)为奇函数,排除选项A,B;当x=π时,f(π)=π-1πcos π=1π-π<0,排除选项C,故选D.
【答案】D
2.(2016年全国Ⅰ卷)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]上的图象大致为( ).
【解析】∵f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,且f(2)=8-e2∈(0,1),∴排除A,B.设g(x)=2x2-ex,则g'(x)=4x-ex.又∵g'(0)<0,g'(2)>0,∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,∴f(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.
【答案】D
3.(2017年全国Ⅰ卷)函数y=sin2x1-cosx的部分图象大致为( ).
A
B
C
D
【解析】令f(x)=sin2x1-cosx,
∵f(1)=sin21-cos1>0,f(π)=sin2π1-cosπ=0,
∴排除选项A,D.
由1-cos x≠0得x≠2kπ(k∈Z),
故函数f(x)的定义域关于原点对称.
又∵f(-x)=sin(-2x)1-cos(-x)=-sin2x1-cosx=-f(x),
∴f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,∴排除选项B.
故选C.
【答案】C
4.(2017年全国Ⅲ卷)函数y=1+x+sinxx2的部分图象大致为( ).
【解析】当x→+∞时,sinxx2→0,1+x→+∞,y=1+x+sinxx2→+∞,故排除选项B.
当00,故排除选项A,C.
故选D.
【答案】D
5.(2015年全国Ⅱ卷)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( ).
【解析】当x∈0,π4时,f(x)=tan x+4+tanx,图象不会是直线段,从而排除A,C.
当x∈π4,3π4时,fπ4=f3π4=1+5,fπ2=22.∵22<1+5,∴fπ2
6.(2014年全国Ⅰ卷)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为( ).
【解析】
如图,当x∈0,π2时,则P(cos x,sin x),M(cos x,0).作MM'⊥OP,M'为垂足,则|MM'||OM|=sin x,∴f(x)cosx=sin x,∴f(x)=sin xcos x=12sin 2x,则当x=π4时,f(x)max=12;当x∈π2,π时,有f(x)|cosx|=sin(π-x),f(x)=-sin xcos x=-12sin 2x,当x=3π4时,f(x)max=12.只有B选项的图象符合.
【答案】B
考点二
图象应用型
7.(2015年北京卷)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( ).
A.{x|-1
C.{x|-1
令g(x)=y=log2(x+1),作出函数g(x)的图象,如图所示.
由x+y=2,y=log2(x+1),得x=1,y=1.
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1
8.(2017年江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=x2,x∈D,x,x∉D,其中集合D=x|x=n-1n,n∈N*,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是 .
【解析】由于f(x)∈[0,1),则只需考虑1≤x<10的情况.
在此范围内,当x∈Q且x∉Z时,设x=qp,p,q∈N*,p≥2且p,q互质,若lg x∈Q,则由lg x∈(0,1),可设lg x=nm,m,n∈N*,m≥2且m,n互质,因此10nm=qp,则10n=qpm,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,因此lg x∉Q.
因此lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等,
只需考虑lg x与每个周期x∉D部分的交点.
画出函数草图(如图).图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期x∉D部分,且x=1处(lg x)'=1xln10=1ln10<1,则在x=1附近仅有一个交点,
因此方程解的个数为8.
【答案】8
9.(2015年北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( ).
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
【解析】根据图象知消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错;甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行
驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C错;最高限速80千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D对.
【答案】D
考点三
函数应用型
10.(2014年湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ).
A.p+q2 B.(p+1)(q+1)-12
C.pq D.(p+1)(q+1)-1
【解析】设年平均增长率为x,则(1+x)2=(1+p)(1+q),
∴x=(1+p)(1+q)-1.
【答案】D
11.(2015年四川卷)某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 h.
【解析】由已知条件,得192=eb,∴b=ln 192.又∵48=e22k+b=e22k+ln 192=192e22k=192(e11k)2,∴e11k=48192 12=14 12=12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t h,则t=e33k+ln 192=192e33k=192(e11k)3=192×123=24.
【答案】24
高频考点:函数图象的识别与判断、图象的对称变换、函数零点个数的判断、函数零点所在区间的判断、函数图象与性质的综合应用、函数模型的应用.
命题特点:函数图象的考查形式主要有两种:一种是给出解析式判断函数图象;一种是函数图象的应用.函数零点的考查形式主要是由函数零点求参数范围,在选择题、填空题中考查的较多,难度中等,也可在解答题中作为一种数学工具呈现,利用数形结合思想分析试题并解决问题.
§4.1 函数图象
一
利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.
首先:确定函数的定义域;化简函数解析式;讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).
其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.
二
利用图象变换法作函数图象
1.平移变换
2.对称变换
(1)y=f(x)y= .
(2)y=f(x)y= .
(3)y=f(x)y= .
(4)y=ax(a>0且a≠1)y= .
3.翻折变换
(1)y=f(x)y= .
(2)y=f(x)y= .
4.伸缩变换
(1)y=f(x)y= .
(2)y=f(x)y= .
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( )
(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.( )
(3)将函数y=f(x)的图象向上平移c个单位长度,得到y-c=f(x)(c>0)的图象.( )
(4)函数y=1x-1的图象关于点(1,0)对称.( )
2 函数f(x)=x+1x的图象关于( ).
A.y轴对称 B.x轴对称
C.原点对称 D.直线y=x对称
3 若将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式为( ).
A.f(x)=ex+1 B.f(x)=ex-1
C.f(x)=e-x+1 D.f(x)=e-x-1
4 函数y=x2,x<0,2x-1,x≥0的图象大致是( ).
5 若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,求实数a的取值范围.
知识清单
二、2.(1)-f(x) (2)f(-x) (3)-f(-x) logax(x>0)
3.(1)|f(x)| (2)f(|x|)
4.(1)f(ax) (2)af(x)
基础训练
1.【解析】(1)错误,当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象不一定相同.
(2)错误,函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象也不一定相同.如y=2×2x与y=22x的图象就不相同.
(3)正确,将函数y=f(x)的图象向上平移c(c>0)个单位长度,得到y=f(x)+c的图象.
(4)正确,函数y=1x-1的图象关于点(1,0)对称.
【答案】(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.【解析】f(x)是奇函数,图象关于原点对称.
【答案】C
3.【解析】曲线y=ex的图象关于y轴对称得y=e-x的图象,将其图象向左平移1个单位长度得f(x)=e-x-1的图象.
【答案】D
4.【解析】由函数y=x2,x<0,2x-1,x≥0可知图象过原点且是曲线,排除选项A,C;当x<0时,由y=x2的图象可知选B.
【答案】B
5.【解析】由已知a=|x|+x=2x,x≥0,0,x<0,要使关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则a>0.
题型一
作函数图象
【例1】作出下列函数的图象,并标明与x轴、y轴的交点.
(1)y=x2-2|x|-1;
(2)y=|log2(x+1)|.
【解析】(1)y=x2-2|x|-1=x2-2x-1(x≥0),x2+2x-1(x<0),
易知函数关于y轴对称,先作出x≥0时的图象,再作关于y轴对称部分的图象,如图①.
① ②
(2)将y=log2x的图象向左平移1个单位长度,然后保留x轴上方的图象,并把x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,如图②.
画函数图象的一般方法:
(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接画出;
(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,则可利用图象变换画出.
【变式训练1】作函数y=x+2x-1的图象.
【解析】
由已知y=1+3x-1,先作出y=3x的图象,再将其图象向右平移1个单位长度,最后向上平移1个单位长度,即可得到y=x+2x-1的图象,如图.
题型二
图象的识别
【例2】(1)(宁夏银川一中2018届月考)函数y=e|ln x|-|x-1|的大致图象是( ).
(2)如图,在一个盛满水的圆柱形容器的水面下,有一个用细线吊着的下端开了一个小孔的充满水的薄壁小球,当慢慢匀速地将小球从水面下向水面上拉动时,圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是( ).
【解析】(1)由y=e|ln x|-|x-1|可知,函数的图象过点(1,1).
当0
(2)球拉出水面开始时球上半部较小,因而水递减较缓慢.球中部拉出水面时水递增的速度较快,最后球中的水全部放回圆柱形容器内,水面基本持平(因为球是薄壁的),故选B.
【答案】(1)D (2)B
对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系.
【变式训练2】函数y=a+sin bx(b>0且b≠1)的图象如图所示,那么函数y=logb(x-a)的图象可能是( ).
【解析】由题图可得a>1,且最小正周期T=2πb<π,所以b>2,则y=logb(x-a)是增函数,排除A,B;当x=2时,y=logb(2-a)<0,排除D,故选C.
【答案】C
题型三
函数图象的应用
【例3】若平面直角坐标内两点P,Q满足条件:①点P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②点P,Q关于原点对称.则称(P,Q)是函数y=f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)=kx-1,x>0,-ln(-x),x<0有两个“伙伴点组”,则实数k的取值范围是( ).
A.(-∞,0) B.(0,1) C.0,12 D.(0,+∞)
【解析】由题意可知,“伙伴点组”的点满足:都在函数图象上,且关于坐标原点对称.
可作出函数y=-ln(-x)(x<0)关于原点对称的函数y=ln x(x>0)的图象(如图),使它与直线y=kx-1(x>0)的交点个数为2即可.
当直线y=kx-1与y=ln x的图象相切时,设切点为(m,ln m),又y=ln x的导数为y'=1x,即km-1=lnm,k=1m,解得m=1,k=1,可得函数y=ln x(x>0)的图象过点(0,-1)的切线的斜率为1.
结合图象可知当k∈(0,1)时两个函数图象有两个交点,故选B.
【答案】B
利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标;不等式f(x)
【变式训练3】(1)已知函数y=|x2-1|x-1的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 .
(2)已知函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,则不等式f(x)cosx<0的解集为 .
【解析】
(1)将函数y=|x2-1|x-1化成分段函数y=x+1,x>1或x<-1,-x-1,-1
又因为f(x)为偶函数,y=cos x也是偶函数,
所以y=f(x)cosx也为偶函数,所以f(x)cosx<0的解集为-π2,-1∪1,π2.
【答案】(1)(0,1)∪(1,2) (2)-π2,-1∪1,π2
方法一
图象变换的方法
常见的图象变换有四种:(1)左加右减,上加下减;(2)对称变换包括中心对称和轴对称;(3)伸缩变换,横缩纵伸;(4)翻折变换.
【突破训练1】(1)已知函数f(x)=e|lnx|-x-1x,则函数y=f(x+1)的图象大致为( ).
(2)已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②中的图象对应的函数为( ).
A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|
C.y=f(-|x|) D.y=-f(|x|)
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)=eln x-x-1x=1x;
当0
将f(x)的图象向左平移1个单位长度得函数f(x+1)的图象,故选A.
(2)设所求函数为g(x),则g(x)=f(x),x<0,f(-x),x≥0=f(-|x|),C选项符合题意.
【答案】(1)A (2)C
方法二
数形结合思想的应用
数形结合作为一种常见的数学方法,沟通了代数与几何的内在联系.一方面,借助图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化;另一方面,将图形问题转化为代数问题,可以获得更精确的结论.
【突破训练2】设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x<0的解集为( ).
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(0,1)
【解析】
因为f(x)为奇函数,所以不等式f(x)-f(-x)x<0化为f(x)x<0,即xf(x)<0.又f(x)的大致图象如图所示,所以xf(x)<0的解集为(-1,0)∪(0,1),故选D.
【答案】D
1.(2017安徽合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( ).
【解析】前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A、C选项的图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.
【答案】A
2.(2017福建三明调研)函数y=ax2+bx与函数y=xa+b(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为( ).
【解析】y=ax2+bx=ax+b2a2-b24a,对于A,由二次函数图象可知,a<0,-b2a<0,所以b<0,函数y=xa+b不符合要求,同理B不符合要求;对于C,D,由二次函数图象可知,a<0,-b2a>0,所以b>0,比较选项C,D可知C符合要求.
【答案】C
3.(2018届河北省保定市涞水中学第一次检测)函数y=e-|x-1|的图象大致形状是( ).
【解析】∵y=e-|x-1|=e1-x,x≥1,ex-1,x<1,∴函数y=e-|x-1|的图象大致形状是B选项.
【答案】B
4.(2017云南蒙自一中临门一脚模拟卷)函数f(x)=eln |x|+1x的图象大致为( ).
【解析】∵f(x)=eln |x|+1x,∴f(-x)=eln |x|-1x,∴函数f(x)为非奇非偶函数,其图象既不关于原点对称,也不关于y轴对称,可排除A,D.当x=-1时,f(x)=0,故选C.
【答案】C
5.(2017届高三适应性考试试卷)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( ).
A.|cos3x|x
B.1+cos2x2x
C.(4x2-π2)(4x2-9π2)x5
D.|sin2x|x
【解析】由图象可得当x>0时,f(x)≥0,当π20,而当x=π时,|sin2x|x=0,故可排除D;当x=5π6时,|cos3x|x=0,故可排除A,故选B.
【答案】B
6.(2017山西太原五中模拟卷)函数f(x)=xln|x|的图象大致是( ).
【解析】∵函数f(x)=xln|x|,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除C,D.
当x>0时,f(x)=xln x,
∵f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0得x>1e,得出函数f(x)在1e,+∞上是增函数,故选A.
【答案】A
7.(2017北京东城区二模)动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是( ).
【解析】由题意可知,当点P位于A,B图形时,函数变化有部分为直线关系,不可能全部是曲线,由此可排除A、B.对于D,其图象变化不会是对称的,由此排除D.故选C.
【答案】C
8.(2017彭泽县模拟)如图,在△DEF中,已知DE=DF,点M在直线EF上从左到右运动(点M不与E,F重合),对于点M的每一个位置(x,0),记△DEM的外接圆面积与△DMF的外接圆面积的比值为f(x),则函数y=f(x)的大致图象为( ).
【解析】设△DEM的外接圆半径为R1,△DMF的外接圆半径为R2,由题意,πR12πR22=f(x),点M在直线EF上从左到右运动(点M不与点E,F重合).对于点M的每一个位置,由正弦定理可得,R1=12·DEsin∠DME,R2=12·DFsin∠DMF,又DE=DF,sin∠DME=sin∠DMF,所以R1=R2,可得f(x)=1,故选C.
【答案】C
9.(2017南昌八校联考)如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为 .
【解析】当-1≤x≤0时,设解析式为y=kx+b,
则-k+b=0,b=1,得k=1,b=1,∴y=x+1.
当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1,
∵图象过点(4,0),∴0=a(4-2)2-1,得a=14.
∴y=14(x-2)2-1.
【答案】f(x)=x+1,-1≤x≤0,14(x-2)2-1,x>0
10.(2017广东珠海模拟)若直线y=a与曲线y=x2-|x|有四个交点,则a的取值范围是 .
【解析】
∵曲线f(x)=x2-|x|,f-12=f12=-14,∴根据图象可得,直线y=a与曲线y=x2-|x|有四个交点,则a的取值范围为-14
11.(2017山东青州市高考热身卷)若当x∈R时,函数f(x)=a|x|(a>0且a≠1)始终满足f(x)≥1,则函数y=loga|x|x3的图象大致是( ).
【解析】当x∈R时,函数f(x)=a|x|(a>0且a≠0)始终满足f(x)≥1,可得a>1,由函数y=loga|x|x3是奇函数,排除B;
当0
【答案】C
12.(2017广西玉林市陆川中学模拟)函数f(x)=ln|x|+|sin x|(-π≤x≤π且x≠0)的图象大致是( ).
【解析】由函数f(x)=ln |x|+|sin x|(-π≤x≤π且x≠0)是偶函数,排除A.
当0
作出y=1x与y=-cos x的图象如图,可知两个函数图象有一个交点,即函数有一个极值点,排除B.f(π)=ln π>1,排除C.
【答案】D
13.(2017山东模拟)已知函数f(x)的图象如图,则f(x)的解析式为( ).
A.f(x)=eln |x+1|
B.f(x)=eln |x-1|
C.f(x)=e|ln(x+1)|
D.f(x)=e|ln(x-1)|
【解析】由图象可知函数的定义域为(-1,+∞),值域为[1,+∞).选项A的定义域为{x|x≠-1},选项B的定义域为{x|x≠1},选项C的定义域为(-1,+∞),选项D的定义域为(1,+∞),故排除选项A,B,D.当-1
14.(2017上海市青浦区一模)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若点P处有一棵树与两边墙的距离分别是4 m和a m(0
【解析】设AD长为x m,则CD长为(16-x)m.
∵要将点P围在矩形ABCD内,∴a≤x≤12.
则矩形ABCD的面积为x(16-x),
当0
15.(2017江苏连云港、徐州市三模)如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>1)的图象上,则实数a的值为 .
【解析】设B(x,2logax),∵BC平行于x轴,∴C(x',2logax),即logax'=2logax,∴x'=x2,∴正方形ABCD的边长为|BC|=x2-x=2,解得x=2.
∵AB垂直于x轴,∴A(x,3logax),且正方形ABCD的边长为|AB|=3logax-2logax=logax=2,即loga2=2,∴a=2.
【答案】2
16.(2017江苏淮安市一模)若函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则函数的单调递增区间为 .
【解析】由函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<
π2的部分图象,可得A=2,T4=14·2πω=2+2,得ω=π8,再根据五点作图法可得π8·2+φ=π2,∴φ=π4,∴f(x)=2sinπ8x+π4.
令2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2,得16k-6≤x≤16k+2,
故函数的单调递增区间为[16k-6,16k+2],k∈Z.
【答案】[16k-6,16k+2],k∈Z
§4.2 函数与方程
一
函数的零点
1.函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使 的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.
2.几个等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与 有交点⇔函数y=f(x)有 .
3.函数零点的判定(零点存在性定理)
一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不间断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f(x)在区间 内有零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个 就是方程f(x)=0的根.
二
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
三
二分法
定义:对于在区间[a,b]上连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ,使区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( )
(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( )
(4)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( )
2 函数f(x)=ex+3x的零点个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
3 函数f(x)=12ln x+x-1x-2的零点所在的区间是( ).
A.1e,1 B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3)
4 函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,求实数a的取值范围.
知识清单
一、1.f(x)=0 2.x轴 零点
3.f(a)·f(b)<0 (a,b) f(c)=0 c
二、2 1 0
三、1.f(a)·f(b)<0 一分为二 零点
基础训练
1.【解析】(1)错误,函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标.
(2)错误,f(a)·f(b)也可能大于零.
(3)正确,当b2-4ac<0时,二次函数图象与x轴无交点,即没有零点.
(4)正确.
【答案】(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.【解析】画出y=ex与y=-3x的图象(图略)可知,零点只有1个.
【答案】B
3.【解析】由零点存在性定理可知f(2)=12ln 2+2-12-2<0,f(e)=12+e-1e-2>0,故选C.
【答案】C
4.【解析】由已知得f(-1)·f(1)<0,即(-a+1-2a)(a+1-2a)<0,解得13
题型一
判断零点个数
【例1】(1)函数f(x)=x2-2,x≤0,2x-6+lnx,x>0的零点个数是 .
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是( ).
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】(1)当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-2(x=2舍去),所以在(-∞,0]上有一个零点;当x>0时,f'(x)=2+1x>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.又因为f(2)=-2+ln 2<0,f(3)=ln 3>0,所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.综上可得,函数f(x)的零点个数为2.
(2)由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.
在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象(如图),
观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.
【答案】(1)2 (2)B
判断函数零点个数的方法:①解方程法;②零点存在性定理,结合函数的性质;③数形结合法,转化为两个函数图象的交点个数.
【变式训练1】(1)函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
(2)已知函数f(x)=2-|x|,x≤2,(x-2)2,x>2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】(1)当x=0时,f(x)=0.因为x∈[0,4],所以0≤x2≤16.又因为5π<16<11π2,所以函数y=cos x2在x2取π2,3π2,5π2,7π2,9π2时为0,此时f(x)=0.
所以f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为6.
(2)由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=|x-2|+1,x≥0,3-x2,x<0,函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数,在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.
由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2.故选A.
【答案】(1)C (2)A
题型二
函数零点所在区间的判断
【例2】已知函数f(x)=ln x-12x-2的零点为x0,则x0所在的区间是( ).
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
【解析】∵f(x)=ln x-12x-2在(0,+∞)上为增函数,又f(1)=ln 1-12-1=-2<0,f(2)=ln 2-120<0,f(3)=ln 3-121>0,∴x0∈(2,3),故选C.
【答案】C
确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法,若用数形结合法画图必须要准确.
【变式训练2】函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n= .
【解析】因为f(2)=-1+ln 2,ln 20,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n=2.
【答案】2
题型三
函数零点的应用
【例3】(2017昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x),且在区间[0,2]上f(x)=x,若关于x的方程f(x)=logax有三个不同的实根,求a的取值范围.
【解析】
由f(x-4)=f(x)知,函数的周期为4.因为函数为偶函数,所以f(x-4)=f(x)=f(4-x),所以函数图象关于直线x=2对称,且f(2)=f(6)=f(10)=2.要使方程f(x)=logax有三个不同的根,如图,则满足a>1,f(6)<2,f(10)>2,即a>1,loga6<2,loga10>2,解得6
先根据已知条件或将所给解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,再利用数形结合求解.
【变式训练3】已知函数f(x)=2x-1,x>0,-x2-2x,x≤0,若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是 .
【解析】
画出f(x)=2x-1,x>0,-x2-2x,x≤0的图象如图.由于函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得0
方法一
化归转化思想
化归转化思想在函数与方程中的应用十分广泛,如方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题,已知方程有解求参数取值范围问题可转化为函数值域问题,等等.
【突破训练1】(1)若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
(2)若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根,则实数a的取值范围为 .
【解析】(1)函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,即方程ax-x-a=0有两个根,故函数y=ax与函数y=x+a的图象有两个交点.
当0
∴实数a的取值范围为(1,+∞).
(2)由方程解得a=-22x+12x+1,设t=2x(t>0),
则a=-t2+1t+1=-t+2t+1-1=2-(t+1)+2t+1,其中t+1>1.
由基本不等式,得(t+1)+2t+1≥22,当且仅当t=2-1时取等号,故a≤2-22.
【答案】(1)(1,+∞) (2)(-∞,2-22]
方法二
一元二次函数零点分布万能解题方法
当一元二次函数ax2+bx+c=0的根x1,x2呈现某种分布k1
2.确定对称轴x=-b2a与k1,k2的关系.
3.确定Δ与0的关系,即f(x)=0有实根的条件.
4.确定f(k1),f(k2)与0的关系.
备注:对于步骤2和步骤4,因为我们知道,对于对称轴x=-b2a,我们有x1≤-b2a≤x2,所以对k1
【突破训练2】当m取何值时,方程x2-mx-m+3=0分别满足下列条件:
(1)一个根大于1,一个根小于1;
(2)一个根小于0,一个根大于2;
(3)一个根在(0,1)之间,一个根在(1,2)之间;
(4)仅有一个根在(0,2)之间;
(5)两个根都在(-4,0)之间.
【解析】f(x)=x2-mx-m+3,方程f(x)=0的判别式Δ=m2-4(-m+3)=(m-2)(m+6).
(1)如图①,由f(1)=4-2m<0,解得m>2,
故m的取值范围是(2,+∞).
(2)根据已知画出简图(如图②),
由图知f(0)=3-m<0,f(2)=7-3m<0,解得m>3,故m的取值范围是(3,+∞).
(3)根据已知画出简图(如图③),
由图知f(0)=3-m>0,f(1)=4-2m<0,f(2)=7-3m>0,解得2
(4)根据已知画出简图(如图④),
由图知f(0)·f(2)<0,解得73
(5)根据已知画出简图(如图⑤),
由图知Δ≥0,-40,f(-4)=3m+19>0,
解得-193
1.(2017山西模拟)已知函数f(x),g(x):
x
0
1
2
3
f(x)
2
0
3
1
x
0
1
2
3
g(x)
2
1
0
3
则函数y=f(g(x))的零点是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】由f(g(x))=0得g(x)=1,根据表格g(x)=1对应的自变量是x=1,故选B.
【答案】B
2.(2017湖南衡阳八中、长郡中学等十三校一模)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=ln x-2x的零点,则g(x0)等于( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】∵f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3-23>0,∴x0∈(2,3),∴g(x0)=[x0]=2.
【答案】B
3.(2017天津红桥区高三期中)函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的大致区间是( ).
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)
【解析】∵f(1)=ln(1+1)-2=ln 2-2<0,而f(2)=ln 3-1>ln e-1=0,
∴f(1)·f(2)<0,∴函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在区间是(1,2).
【答案】B
4.(2017河南模拟)若f(x)为奇函数,且x0是函数y=f(x)-ex的一个零点,在下列函数中,-x0一定是其零点的函数是( ).
A.y=f(-x)·e-x-1 B.y=f(x)·e-x+1
C.y=f(x)·e-x-1 D.y=f(x)·ex+1
【解析】∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x).又x0是函数y=f(x)-ex的一个零点,∴f(x0)-ex0=0,∴f(x0)=ex0.把-x0分别代入下面四个选项,
y=f(x0)ex0-1=ex0ex0-1≠0,故A错误;
y=f(-x0)ex0+1=-ex0ex0+1≠0,故B错误;
y=ex0f(-x0)-1=-ex0ex0-1≠0,故C错误;
y=e-x0f(-x0)+1=-ex0e-x0+1=0,故D正确.
【答案】D
5.(2017山东德州高三期中)已知函数f(x)=12x-1-log2x,若x0是方程f(x)=0的根,则x0∈( ).
A.0,12 B.12,1 C.1,32 D.32,2
【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),且函数在定义域内为减函数.
∵f(1)=-12<0,f12=22>0,
∴函数f(x)在12,1内存在唯一的一个零点x0,∴x0∈12,1.
【答案】B
6.(2017湖北宜昌一中高三月考)f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2018x+log2018x,则函数f(x)的零点的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】当x>0时,令f(x)=0,得2018x=-log2018x,
在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=2018x,y=-log2018x的图象,如图,可知两个函数图象只有一个交点,即方程f(x)=0只有一个实根.
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴当x<0时,方程f(x)=0也有一个实根.
又∵f(0)=0,
∴方程f(x)=0的实根的个数为3.
【答案】C
7.(2017山东潍坊临朐质检)已知函数f(x)=2|x-3|,x≠3,a,x=3,若函数y=f(x)-4有3个零点,则实数a的值为( ).
A.-2 B.0 C.2 D.4
【解析】由f(x)=2|x-3|,x≠3,a,x=3,得f(x)-4=2|x-3|-4,x≠3,a-4,x=3.
当x≠3时,由2|x-3|-4=0,得x=52或x=72;当x=3时,由a-4=0,得a=4.
所以a=4满足函数y=f(x)-4有3个零点,故选D.
【答案】D
8.(2017天津市南开区期末)已知函数f(x)=x2+2x,x≤0,|lgx|,x>0,则函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】由f(x)=x2+2x,x≤0,|lgx|,x>0,得f(1-x)=x2-4x+3,x≥1,|lg(1-x)|,x<1.
要求函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数,就是求y=f(1-x)与y=1图象的交点个数.
如图,可知两个函数的图象有3个交点,即函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数为3.
【答案】C
9.(2017北京海淀区高三期末改编)已知函数f(x)=e-|x|+cos πx,给出下列命题:
①f(x)的最大值为2;
②f(x)在(-10,10)内的零点之和为0.
其中,所有正确命题的序号是 .
【解析】因为函数f(x)=e-|x|+cos πx满足f(-x)=f(x),所以函数为偶函数.其零点关于原点对称,所以f(x)在(-10,10)内的零点之和为0,故②正确.因为e-|x|的最大值为1,所以当x=0时,f(x)的最大值为2,故①正确.
【答案】①②
10.(2017兰州模拟)已知函数f(x)=12x+34,x≥2,log2x,0
画出函数f(x)的图象,如图.
要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同的交点,由图易知k∈34,1.
【答案】34,1
11.(2017郑州模拟)已知函数f(x)=2x-a,x≤0,2x-1,x>0(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是( ).
A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]
C.[-1,0) D.(0,1]
【解析】当x>0时,f(x)=2x-1,由f(x)=0得x=12.
要使f(x)在R上有两个零点,则必须2x-a=0在(-∞,0]上有唯一实数解.又当x∈(-∞,0]时,2x∈(0,1],且y=2x在(-∞,0]上单调递增,故a的取值范围是(0,1].
【答案】D
12.(2017山东青岛市黄岛一中月考)已知定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,当-1≤x<0时,f(x)=-log12(-x),则方程f(x)-12=0在(0,6)内的零点之和为( ).
A.8 B.10 C.12 D.16
【解析】∵定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴f(x)=f(2-x)=-f(-x),即f(x)=-f(x+2)=f(x+4),
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
∵当-1≤x<0时,f(x)=-log12(-x),
∴f(x)在(0,6)内的图象如图所示.
∴结合图象得,方程f(x)-12=0在(0,6)内的零点之和为x1+x2+x3+x4=2+10=12.
【答案】C
13.(2017江西七校联考)已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x),当-1
C.0,15∪[5,+∞) D.15,1∪(1,5]
【解析】依题意知,函数f(x)的周期为2,在同一平面直角坐标系内画出函数y=f(x)与函数y=loga|x|的图象,如图.
结合图象可知,要使函数g(x)=f(x)-loga|x|至少有5个零点,则有loga5≤1或loga5>-1,解得a≥5或0
14.(2017江西樟树中学、宜春一中、高安二中等联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+4)=16,当x∈(0,4]时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在[-4,2016]上的零点个数是( ).
A.504 B.505 C.1008 D.1009
【解析】当x∈(-4,0]时,x+4∈(0,4],f(x)=16-f(x+4)=16-[(x+4)2-2x+4].
∵f(x)+f(x+4)=16,∴f(x+4)+f(x+8)=16,
∴f(x)=f(x+8),
∴函数f(x)是R上周期为8的函数.
当x∈(-4,4]时,f(2)=f(4)=0,
则f(2)=f(10)=f(18)=…=f(8×251+2),f(-4)=f(4)=…=f(8×251+4),
故函数f(x)在[-4,2016]上的零点个数是251+1+251+2=505.
【答案】B
15.(2017辽宁沈阳市大东区一模)已知函数f(x)=16x+2,x>a,x2+3x+2,x≤a,函数g(x)=f(x)-ax恰有三个不同的零点,则a的取值范围是( ).
A.16,3-22 B.16,32
C.(-∞,3-22) D.(3-22,+∞)
【解析】
函数g(x)=f(x)-ax恰有三个不同的零点,即函数y=f(x)与y=ax有3个交点,也就是函数y=ax与f(x)=x2+3x+2(x≤a)的图象有2个交点,与f(x)=16x+2(x>a)的图象有1个交点.
画出函数f(x)与y=ax的图象如图,
函数y=ax看作斜率为a的直线,由图象可知a>16.
由a要小于直线与抛物线相切时的斜率,
可得y=ax,y=x2+3x+2,即x2+(3-a)x+2=0,由Δ=(3-a)2-8=0,解得a=3-22.
综上可得,a∈16,3-22.
【答案】A
16.(2017福建模拟)函数f(x)=x+1,x≤0,log2x,x>0,则函数y=f(f(x))+1的所有零点所构成的集合为 .
【解析】由题意知f(f(x))=-1,由f(x)=-1得x=-2或x=12,则函数y=f(f(x))+1的所有零点就是使f(x)=-2或f(x)=12的x的值.
由f(x)=-2得x=-3或x=14,由f(x)=12得x=-12或x=2.
从而函数y=f(f(x))+1的所有零点所构成的集合为-3,-12,14,2.
【答案】-3,-12,14,2
§4.3 函数模型及其应用
一
常见的几种函数模型
1.一次函数模型:y= .
2.反比例函数模型:y=kx+b(k,b为常数且k≠0).
3.二次函数模型:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
4.指数函数模型:y=a·bx+c(a,b,c为常数,b>0,b≠1,a≠0).
5.对数函数模型:y=mlogax+n(m,n,a为常数,a>0,a≠1,m≠0).
6.幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0).
二
三种函数模型之间增长速度的比较(其中a>1,n>0)
函数
性质
y=ax
y=logax
y=xn
在(0,+∞)上的增减性
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与 平行
随x的增大逐渐表现为与 平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.( )
(2)幂函数增长比直线增长更快.( )
(3)不存在x0,使得ax0
2 已知函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,则下列选项正确的是( ).
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
3 已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,则第8年这种动物有多少只?
知识清单
一、1.kx+b(k≠0)
二、单调递增 单调递增 单调递增 y轴 x轴
基础训练
1.【解析】(1)错误,如x=2时,y=2x与y=x2的值相同.
(2)错误,如幂函数y=x12增长比直线y=2x增长慢.
(3)错误,画图可知(图略),存在x0,使得ax0
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√
2.【解析】因为f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,
所以f'(x)=2x,g'(x)=2xln 2,h'(x)=1xln2.
当x>4时,g'(x)>f'(x)>h'(x),所以这三个函数的增长速度为g(x)>f(x)>h(x).
【答案】B
3.【解析】由已知当x=2时,y=100,代入y=alog3(x+1),解得a=100,故当x=8时,y=100log3(8+1)=200.
故第8年这种动物有200只.
题型一
二次函数模型
【例1】为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y=12x2-200x+80000,且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元,则该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,那么国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?
【解析】设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-12x2-200x+80000=-12x2+300x-80000=-12(x-300)2-35000.
因为400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40000.
故该单位不获利,国家每月至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损.
构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系,将文字语言转化成数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.
【变式训练1】某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K万元是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-120Q2,则总利润L(Q)的最大值是 万元.
【解析】L(Q)=40Q-120Q2-10Q-2000=-120Q2+30Q-2000=-120(Q-300)2+2500.
当Q=300时,L(Q)的最大值为2500万元.
【答案】2500
题型二
分段函数模型
【例2】某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10000x-1450,每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,
该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
【解析】(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1000x万元,
依题意得,当0
所以L(x)=-13x2+40x-250(0
当x≥80时,L(x)=1200-x+1000x≤1200-2x·10000x=1200-200=1000,
当且仅当x=10000x,即x=100时,L(x)取得最大值为1000万元.
因为950<1000,所以当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.
分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点值.
【变式训练2】国庆节期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数.
(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
【解析】(1)设旅游团人数为x,由题得0
则S=900x-15000,0
所以当x=30时,S取得最大利润12000,
又S=-10(x-60)2+21000在区间(30,75]上先增后减,所以当x=60时,S取得最大利润21000.
故每团人数为60时,旅行社可获得最大利润.
题型三
指数、对数函数模型
【例3】候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3Q10(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a,b的值.
(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?
【解析】(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,故有a+blog33010=0,即a+b=0.当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,故a+blog39010=1,整理得a+2b=1.由a+b=0,a+2b=1,得a=-1,b=1.
(2)由(1)知,v=-1+log3Q10,所以要使飞行速度不低于2 m/s,则有v≥2,即-1+log3 Q10≥2,即log3Q10≥3,解得Q≥270.
所以其耗氧量至少要270个单位.
求解所给函数模型解决实际问题的关注点:
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知条件,利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
【变式训练3】将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有a4 L,则m的值为( ).
A.5 B.8 C.9 D.10
【解析】∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等,∴函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=12a,可得n=15ln 12,∴f(t)=a·12t5.
∴当k min后甲桶中的水只有a4 L时,f(k)=a·12k5=14a,即12k5=14,
∴k=10,由题可知m=k-5=5,故选A.
【答案】A
方法
解函数应用题的一般步骤
第一步:(审题)弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;
第二步:(建模)将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型;
第三步:(解模)求解数学模型,得到数学结论;
第四步:(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义;
第五步:(反思)对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
【突破训练】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4
【解析】(1)由题意得,当0
所以v=-18x+52,
故函数v=2,0
依题意并由(1)可得f(x)=2x,0
因为8<12.5,所以当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米.
1.(2017河南信阳高一上期末数学)拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5·{m}+1)(元)决定,其中m>0,{m}是大于或等于m的最小整数(如:{3}=3,{3.8}=4,{3.1}=4),则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为( ).
A.3.71元 B.3.97元 C.4.24元 D.4.77元
【解析】由{m}是大于或等于m的最小整数可得{5.5}=6,所以f(5.5)=1.06×(0.50×{5.5}+1)=1.06×4=4.24,所以C选项正确.
【答案】C
2.(2017湖北荆州区校级期中)碘-131经常被用于对甲状腺的研究,它的半衰期大约是8天(即经过8天的时间,有一半的碘-131会衰变为其他元素).今年10月1日凌晨,在一容器中放入一定量的碘-131,到10月25日凌晨,测得该容器内还剩有2毫克的碘-131,则10月1日凌晨,放入该容器的碘-131的含量是( ).
A.8毫克 B.16毫克 C.32毫克 D.64毫克
【解析】由题意,设10月1日凌晨,放入该容器的碘-131的含量是x毫克,则x·123=2,∴x=16.
【答案】B
3.(2017浙江绍兴市期末)2017年初,受国际油价大幅上涨的拉动,一些石油替代型企业生产成本出现大幅度上升.近期,由于国际油价回落,石油替代型企业生产成本明显下降,某PVC行业企业的生产成本在8月份、9月份期间每月递增20%,国际油价回落之后,10月份、11月份的生产成本每月递减20%,那么该企业在11月底的生产成本与8月初比较( ).
A.不增不减 B.约增加5%
C.约减少8% D.约减少5%
【解析】设8月初的生产成本为1,则11月底的生产成本为1×1.22×0.82=0.9216,
∴该企业在11月底的生产成本与8月初比较约减少8%,故选C.
【答案】C
4.(2016年福建省高考数学质检试卷)某商场销售A型商品,已知该商品的进价是每件3元,且销售单价与日均销售量的关系如表所示:
销售单价(元)
4
5
6
7
8
9
10
日均销售量(件)
400
360
320
280
240
200
160
请根据以上数据分析,要使该商品的日均销售利润最大,此商品的定价(单位:元/件)应为( ).
A.4 B.5.5 C.8.5 D.10
【解析】由题意,设定价为x元时,利润为y元,由表知日均销量t=-40x+560,
所以y=(x-3)(-40x+560)=40(-x2+17x-42)=-40x-1722+1210.
故当x=172=8.5时,日均销售利润有最大值,故选C.
【答案】C
5.(2017江西省高三(上)第一次联考)某商店将进价为40元的商品按50元一件销售,一个月恰好卖500件,而价格每提高1元,就会少卖10件,商店为使该商品利润最大,应将每件商品定价为( ).
A.50元 B.60元 C.70元 D.100元
【解析】设销售定价为a元,那么就是提高了(a-50)元,则销售件数减少10(a-50),所以一个月能卖出的件数是[500-10(a-50)],每件商品的利润是(a-40)元,
则一个月的利润y=(a-40)[500-10(a-50)]=-10a2+1400a-40000=-10(a-70)2+9000,
故当a=70时,y取得最大值9000,即当定价为70元时,该商品能获得最大的利润为9000元.
【答案】C
6.(2017江西南昌市二模)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈先下降后上升的趋势,下列四个函数中,能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系且满足f(1)=8,f(3)=2的函数为( ).
A.f(x)=20×12x B.f(x)=-6log3x+8
C.f(x)=x2-12x+19 D.f(x)=x2-7x+14
【解析】A不满足,f(x)=20×12x为减函数,不满足先下降后上升的趋势;
B不满足,f(x)=-6log3x+8为减函数,不满足先下降后上升的趋势;
C不满足,f(x)=x2-12x+19满足先下降后上升的趋势,且f(1)=1-12+19=8,f(3)=9-12×3+19=-8,不满足条件f(3)=2;
D满足,f(x)=x2-7x+14满足先下降后上升的趋势,且f(1)=1-7+14=8,f(3)=9-7×3+14=2,满足条件.
故选D.
【答案】D
7.(2017南昌市八一、洪都等六校期中联考)某工厂2015年生产某产品2万件,计划从2016年开始每年比上一年增产20%,则这家工厂生产这种产品的年产量开始超过6万件的年份为( ).(lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771)
A.2019年 B.2020年 C.2021年 D.2022年
【解析】设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件,根据题意,得2(1+20%)n>6,即1.2n>3,两边取对数,得nlg 1.2>lg 3,∴n>lg3lg1.2≈6.0,∴n=7,即2015+7=2022,故从2022年开始,这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.
【答案】D
8.(2017四川模拟)如图,在一次自行车越野赛中,甲,乙两名选手所走的路程y(千米)随时间x(分)变化的图象(全程)分别用实线(O→A→B→C)与虚线(OD)表示,那么在本次比赛过程中,乙领先甲时的x的取值范围是 .
【解析】由图可知,直到最后,甲发力,追上乙,且领先到达终点.直线OD的方程为y=14x,直线BC的方程为y=12x-192,∴两条直线交点的横坐标为38,∴0
9.(2017临汾二模)近来鸡蛋价格起伏较大,假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤.家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同:家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋,家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋,则购买方式更实惠(两次平均价格低视为实惠)的是 .(在横线上填“甲”或“乙”即可)
【解析】甲购买鸡蛋的平均单价为3a+3b6=a+b2,
乙购买鸡蛋的平均单价为2010a+10b=2aba+b.
∵a+b2-2aba+b=(a-b)22(a+b)≥0,且两次购买的单价不同,
∴a≠b,
∴a+b2-2aba+b>0,∴乙的购买方式更实惠.
【答案】乙
10.(2017河南模拟)某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励.奖励公式为f(n)=k(n)(n-10),n>10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该学科省平均分之差,f(n)的单位为元),而k(n)=0(n≤10),100(1025),现有甲、乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分,而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分,则乙所得奖励比甲所得奖励多( ).
A.600元 B.900元 C.1600元 D.1700元
【解析】∵k(18)=200(元),∴f(18)=200×(18-10)=1600(元).
又∵k(21)=300(元),∴f(21)=300×(21-10)=3300(元),
∴f(21)-f(18)=3300-1600=1700(元).
【答案】D
11.(2017江西南昌市七校期末联考)某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.若在距离车站10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,现在要使两项费用之和最小,则仓库应建在离车站( )处.
A.5 km B.4 km C.3 km D.2 km
【解析】设仓库与车站距离为x km,土地费用为y1万元,运输费用为y2万元,于是y1=k1x,y2=k2x,∴2=k110,8=10k2,解得k1=20,k2=45.设总费用为y万元,则y=20x+4x5≥220x·4x5=8,当且仅当20x=4x5,即x=5时取等号.故选A.
【答案】A
12.(2017江西师大附中期末)某工厂产生的废气需要过滤后排放,在过滤过程中废气的污染物数量P mg/L与时间t小时之间的关系为P=P0e-kt.若在前5个小时消除了10%的污染物,则污染物减少50%所需要的时间约为( )小时.(已知ln 0.5≈-0.693,ln 0.9≈-0.105)
A.26 B.33 C.36 D.42
【解析】由题意,前5个小时消除了10%的污染物,∵P=P0e-kt,∴(1-10%)P0=P0e-5k,∴k=-15ln 0.9,∴P=P0et5ln0.9.
当P=50%P0时,有50%P0=P0et5ln0.9,
∴t5ln 0.9=ln 0.5,∴t=5ln0.5ln0.9≈33,即污染物减少50%需要花33小时.
【答案】B
13.(2017合肥八校联考)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.运营几个月发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=3-2t+1函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是 万元.
【解析】由题知t=23-x-1(0
【答案】37.5
14.(2017河南省鹤壁市期末)学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:分)之间的关系满足如图所示的图象,当x∈(0,12]时,图象是二次函数图象的一部分,其顶点A(10,80),且过点B(12,78);当x∈[12,40]时,图象是线段BC,其中C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.
(1)试求y=f(x)的函数关系式.
(2)教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.
【解析】(1)当x∈(0,12]时,设f(x)=a(x-10)2+80,
将点(12,78)代入,得a=-12,则f(x)=-12(x-10)2+80.
当x∈[12,40]时,设y=kx+b,
将点B(12,78),C(40,50)代入,得k=-1,b=90,即y=-x+90.
则y=f(x)=-12(x-10)2+80,x∈(0,12],-x+90,x∈(12,40].
(2)由题意得062或1262,解得4
第四单元 函数的图象与函数应用
考点一
图象推导型
1.(2015年浙江卷)函数f(x)=x-1xcos x(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( ).
A
B
C
D
【解析】函数f(x)=x-1xcos x(-π≤x≤π且x≠0)为奇函数,排除选项A,B;当x=π时,f(π)=π-1πcos π=1π-π<0,排除选项C,故选D.
【答案】D
2.(2016年全国Ⅰ卷)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]上的图象大致为( ).
【解析】∵f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,且f(2)=8-e2∈(0,1),∴排除A,B.设g(x)=2x2-ex,则g'(x)=4x-ex.又∵g'(0)<0,g'(2)>0,∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,∴f(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.
【答案】D
3.(2017年全国Ⅰ卷)函数y=sin2x1-cosx的部分图象大致为( ).
A
B
C
D
【解析】令f(x)=sin2x1-cosx,
∵f(1)=sin21-cos1>0,f(π)=sin2π1-cosπ=0,
∴排除选项A,D.
由1-cos x≠0得x≠2kπ(k∈Z),
故函数f(x)的定义域关于原点对称.
又∵f(-x)=sin(-2x)1-cos(-x)=-sin2x1-cosx=-f(x),
∴f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,∴排除选项B.
故选C.
【答案】C
4.(2017年全国Ⅲ卷)函数y=1+x+sinxx2的部分图象大致为( ).
【解析】当x→+∞时,sinxx2→0,1+x→+∞,y=1+x+sinxx2→+∞,故排除选项B.
当0
故选D.
【答案】D
5.(2015年全国Ⅱ卷)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( ).
【解析】当x∈0,π4时,f(x)=tan x+4+tanx,图象不会是直线段,从而排除A,C.
当x∈π4,3π4时,fπ4=f3π4=1+5,fπ2=22.∵22<1+5,∴fπ2
6.(2014年全国Ⅰ卷)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为( ).
【解析】
如图,当x∈0,π2时,则P(cos x,sin x),M(cos x,0).作MM'⊥OP,M'为垂足,则|MM'||OM|=sin x,∴f(x)cosx=sin x,∴f(x)=sin xcos x=12sin 2x,则当x=π4时,f(x)max=12;当x∈π2,π时,有f(x)|cosx|=sin(π-x),f(x)=-sin xcos x=-12sin 2x,当x=3π4时,f(x)max=12.只有B选项的图象符合.
【答案】B
考点二
图象应用型
7.(2015年北京卷)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( ).
A.{x|-1
C.{x|-1
令g(x)=y=log2(x+1),作出函数g(x)的图象,如图所示.
由x+y=2,y=log2(x+1),得x=1,y=1.
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1
8.(2017年江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=x2,x∈D,x,x∉D,其中集合D=x|x=n-1n,n∈N*,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是 .
【解析】由于f(x)∈[0,1),则只需考虑1≤x<10的情况.
在此范围内,当x∈Q且x∉Z时,设x=qp,p,q∈N*,p≥2且p,q互质,若lg x∈Q,则由lg x∈(0,1),可设lg x=nm,m,n∈N*,m≥2且m,n互质,因此10nm=qp,则10n=qpm,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,因此lg x∉Q.
因此lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等,
只需考虑lg x与每个周期x∉D部分的交点.
画出函数草图(如图).图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期x∉D部分,且x=1处(lg x)'=1xln10=1ln10<1,则在x=1附近仅有一个交点,
因此方程解的个数为8.
【答案】8
9.(2015年北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( ).
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
【解析】根据图象知消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错;甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行
驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C错;最高限速80千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D对.
【答案】D
考点三
函数应用型
10.(2014年湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ).
A.p+q2 B.(p+1)(q+1)-12
C.pq D.(p+1)(q+1)-1
【解析】设年平均增长率为x,则(1+x)2=(1+p)(1+q),
∴x=(1+p)(1+q)-1.
【答案】D
11.(2015年四川卷)某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 h.
【解析】由已知条件,得192=eb,∴b=ln 192.又∵48=e22k+b=e22k+ln 192=192e22k=192(e11k)2,∴e11k=48192 12=14 12=12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t h,则t=e33k+ln 192=192e33k=192(e11k)3=192×123=24.
【答案】24
高频考点:函数图象的识别与判断、图象的对称变换、函数零点个数的判断、函数零点所在区间的判断、函数图象与性质的综合应用、函数模型的应用.
命题特点:函数图象的考查形式主要有两种:一种是给出解析式判断函数图象;一种是函数图象的应用.函数零点的考查形式主要是由函数零点求参数范围,在选择题、填空题中考查的较多,难度中等,也可在解答题中作为一种数学工具呈现,利用数形结合思想分析试题并解决问题.
§4.1 函数图象
一
利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.
首先:确定函数的定义域;化简函数解析式;讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).
其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.
二
利用图象变换法作函数图象
1.平移变换
2.对称变换
(1)y=f(x)y= .
(2)y=f(x)y= .
(3)y=f(x)y= .
(4)y=ax(a>0且a≠1)y= .
3.翻折变换
(1)y=f(x)y= .
(2)y=f(x)y= .
4.伸缩变换
(1)y=f(x)y= .
(2)y=f(x)y= .
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( )
(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.( )
(3)将函数y=f(x)的图象向上平移c个单位长度,得到y-c=f(x)(c>0)的图象.( )
(4)函数y=1x-1的图象关于点(1,0)对称.( )
2 函数f(x)=x+1x的图象关于( ).
A.y轴对称 B.x轴对称
C.原点对称 D.直线y=x对称
3 若将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式为( ).
A.f(x)=ex+1 B.f(x)=ex-1
C.f(x)=e-x+1 D.f(x)=e-x-1
4 函数y=x2,x<0,2x-1,x≥0的图象大致是( ).
5 若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,求实数a的取值范围.
知识清单
二、2.(1)-f(x) (2)f(-x) (3)-f(-x) logax(x>0)
3.(1)|f(x)| (2)f(|x|)
4.(1)f(ax) (2)af(x)
基础训练
1.【解析】(1)错误,当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象不一定相同.
(2)错误,函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象也不一定相同.如y=2×2x与y=22x的图象就不相同.
(3)正确,将函数y=f(x)的图象向上平移c(c>0)个单位长度,得到y=f(x)+c的图象.
(4)正确,函数y=1x-1的图象关于点(1,0)对称.
【答案】(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.【解析】f(x)是奇函数,图象关于原点对称.
【答案】C
3.【解析】曲线y=ex的图象关于y轴对称得y=e-x的图象,将其图象向左平移1个单位长度得f(x)=e-x-1的图象.
【答案】D
4.【解析】由函数y=x2,x<0,2x-1,x≥0可知图象过原点且是曲线,排除选项A,C;当x<0时,由y=x2的图象可知选B.
【答案】B
5.【解析】由已知a=|x|+x=2x,x≥0,0,x<0,要使关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则a>0.
题型一
作函数图象
【例1】作出下列函数的图象,并标明与x轴、y轴的交点.
(1)y=x2-2|x|-1;
(2)y=|log2(x+1)|.
【解析】(1)y=x2-2|x|-1=x2-2x-1(x≥0),x2+2x-1(x<0),
易知函数关于y轴对称,先作出x≥0时的图象,再作关于y轴对称部分的图象,如图①.
① ②
(2)将y=log2x的图象向左平移1个单位长度,然后保留x轴上方的图象,并把x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,如图②.
画函数图象的一般方法:
(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接画出;
(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,则可利用图象变换画出.
【变式训练1】作函数y=x+2x-1的图象.
【解析】
由已知y=1+3x-1,先作出y=3x的图象,再将其图象向右平移1个单位长度,最后向上平移1个单位长度,即可得到y=x+2x-1的图象,如图.
题型二
图象的识别
【例2】(1)(宁夏银川一中2018届月考)函数y=e|ln x|-|x-1|的大致图象是( ).
(2)如图,在一个盛满水的圆柱形容器的水面下,有一个用细线吊着的下端开了一个小孔的充满水的薄壁小球,当慢慢匀速地将小球从水面下向水面上拉动时,圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是( ).
【解析】(1)由y=e|ln x|-|x-1|可知,函数的图象过点(1,1).
当0
(2)球拉出水面开始时球上半部较小,因而水递减较缓慢.球中部拉出水面时水递增的速度较快,最后球中的水全部放回圆柱形容器内,水面基本持平(因为球是薄壁的),故选B.
【答案】(1)D (2)B
对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系.
【变式训练2】函数y=a+sin bx(b>0且b≠1)的图象如图所示,那么函数y=logb(x-a)的图象可能是( ).
【解析】由题图可得a>1,且最小正周期T=2πb<π,所以b>2,则y=logb(x-a)是增函数,排除A,B;当x=2时,y=logb(2-a)<0,排除D,故选C.
【答案】C
题型三
函数图象的应用
【例3】若平面直角坐标内两点P,Q满足条件:①点P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②点P,Q关于原点对称.则称(P,Q)是函数y=f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)=kx-1,x>0,-ln(-x),x<0有两个“伙伴点组”,则实数k的取值范围是( ).
A.(-∞,0) B.(0,1) C.0,12 D.(0,+∞)
【解析】由题意可知,“伙伴点组”的点满足:都在函数图象上,且关于坐标原点对称.
可作出函数y=-ln(-x)(x<0)关于原点对称的函数y=ln x(x>0)的图象(如图),使它与直线y=kx-1(x>0)的交点个数为2即可.
当直线y=kx-1与y=ln x的图象相切时,设切点为(m,ln m),又y=ln x的导数为y'=1x,即km-1=lnm,k=1m,解得m=1,k=1,可得函数y=ln x(x>0)的图象过点(0,-1)的切线的斜率为1.
结合图象可知当k∈(0,1)时两个函数图象有两个交点,故选B.
【答案】B
利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标;不等式f(x)
【变式训练3】(1)已知函数y=|x2-1|x-1的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 .
(2)已知函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,则不等式f(x)cosx<0的解集为 .
【解析】
(1)将函数y=|x2-1|x-1化成分段函数y=x+1,x>1或x<-1,-x-1,-1
又因为f(x)为偶函数,y=cos x也是偶函数,
所以y=f(x)cosx也为偶函数,所以f(x)cosx<0的解集为-π2,-1∪1,π2.
【答案】(1)(0,1)∪(1,2) (2)-π2,-1∪1,π2
方法一
图象变换的方法
常见的图象变换有四种:(1)左加右减,上加下减;(2)对称变换包括中心对称和轴对称;(3)伸缩变换,横缩纵伸;(4)翻折变换.
【突破训练1】(1)已知函数f(x)=e|lnx|-x-1x,则函数y=f(x+1)的图象大致为( ).
(2)已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②中的图象对应的函数为( ).
A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|
C.y=f(-|x|) D.y=-f(|x|)
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)=eln x-x-1x=1x;
当0
将f(x)的图象向左平移1个单位长度得函数f(x+1)的图象,故选A.
(2)设所求函数为g(x),则g(x)=f(x),x<0,f(-x),x≥0=f(-|x|),C选项符合题意.
【答案】(1)A (2)C
方法二
数形结合思想的应用
数形结合作为一种常见的数学方法,沟通了代数与几何的内在联系.一方面,借助图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化;另一方面,将图形问题转化为代数问题,可以获得更精确的结论.
【突破训练2】设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x<0的解集为( ).
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(0,1)
【解析】
因为f(x)为奇函数,所以不等式f(x)-f(-x)x<0化为f(x)x<0,即xf(x)<0.又f(x)的大致图象如图所示,所以xf(x)<0的解集为(-1,0)∪(0,1),故选D.
【答案】D
1.(2017安徽合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( ).
【解析】前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A、C选项的图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.
【答案】A
2.(2017福建三明调研)函数y=ax2+bx与函数y=xa+b(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为( ).
【解析】y=ax2+bx=ax+b2a2-b24a,对于A,由二次函数图象可知,a<0,-b2a<0,所以b<0,函数y=xa+b不符合要求,同理B不符合要求;对于C,D,由二次函数图象可知,a<0,-b2a>0,所以b>0,比较选项C,D可知C符合要求.
【答案】C
3.(2018届河北省保定市涞水中学第一次检测)函数y=e-|x-1|的图象大致形状是( ).
【解析】∵y=e-|x-1|=e1-x,x≥1,ex-1,x<1,∴函数y=e-|x-1|的图象大致形状是B选项.
【答案】B
4.(2017云南蒙自一中临门一脚模拟卷)函数f(x)=eln |x|+1x的图象大致为( ).
【解析】∵f(x)=eln |x|+1x,∴f(-x)=eln |x|-1x,∴函数f(x)为非奇非偶函数,其图象既不关于原点对称,也不关于y轴对称,可排除A,D.当x=-1时,f(x)=0,故选C.
【答案】C
5.(2017届高三适应性考试试卷)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( ).
A.|cos3x|x
B.1+cos2x2x
C.(4x2-π2)(4x2-9π2)x5
D.|sin2x|x
【解析】由图象可得当x>0时,f(x)≥0,当π2
【答案】B
6.(2017山西太原五中模拟卷)函数f(x)=xln|x|的图象大致是( ).
【解析】∵函数f(x)=xln|x|,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除C,D.
当x>0时,f(x)=xln x,
∵f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0得x>1e,得出函数f(x)在1e,+∞上是增函数,故选A.
【答案】A
7.(2017北京东城区二模)动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是( ).
【解析】由题意可知,当点P位于A,B图形时,函数变化有部分为直线关系,不可能全部是曲线,由此可排除A、B.对于D,其图象变化不会是对称的,由此排除D.故选C.
【答案】C
8.(2017彭泽县模拟)如图,在△DEF中,已知DE=DF,点M在直线EF上从左到右运动(点M不与E,F重合),对于点M的每一个位置(x,0),记△DEM的外接圆面积与△DMF的外接圆面积的比值为f(x),则函数y=f(x)的大致图象为( ).
【解析】设△DEM的外接圆半径为R1,△DMF的外接圆半径为R2,由题意,πR12πR22=f(x),点M在直线EF上从左到右运动(点M不与点E,F重合).对于点M的每一个位置,由正弦定理可得,R1=12·DEsin∠DME,R2=12·DFsin∠DMF,又DE=DF,sin∠DME=sin∠DMF,所以R1=R2,可得f(x)=1,故选C.
【答案】C
9.(2017南昌八校联考)如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为 .
【解析】当-1≤x≤0时,设解析式为y=kx+b,
则-k+b=0,b=1,得k=1,b=1,∴y=x+1.
当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1,
∵图象过点(4,0),∴0=a(4-2)2-1,得a=14.
∴y=14(x-2)2-1.
【答案】f(x)=x+1,-1≤x≤0,14(x-2)2-1,x>0
10.(2017广东珠海模拟)若直线y=a与曲线y=x2-|x|有四个交点,则a的取值范围是 .
【解析】
∵曲线f(x)=x2-|x|,f-12=f12=-14,∴根据图象可得,直线y=a与曲线y=x2-|x|有四个交点,则a的取值范围为-14
11.(2017山东青州市高考热身卷)若当x∈R时,函数f(x)=a|x|(a>0且a≠1)始终满足f(x)≥1,则函数y=loga|x|x3的图象大致是( ).
【解析】当x∈R时,函数f(x)=a|x|(a>0且a≠0)始终满足f(x)≥1,可得a>1,由函数y=loga|x|x3是奇函数,排除B;
当0
【答案】C
12.(2017广西玉林市陆川中学模拟)函数f(x)=ln|x|+|sin x|(-π≤x≤π且x≠0)的图象大致是( ).
【解析】由函数f(x)=ln |x|+|sin x|(-π≤x≤π且x≠0)是偶函数,排除A.
当0
作出y=1x与y=-cos x的图象如图,可知两个函数图象有一个交点,即函数有一个极值点,排除B.f(π)=ln π>1,排除C.
【答案】D
13.(2017山东模拟)已知函数f(x)的图象如图,则f(x)的解析式为( ).
A.f(x)=eln |x+1|
B.f(x)=eln |x-1|
C.f(x)=e|ln(x+1)|
D.f(x)=e|ln(x-1)|
【解析】由图象可知函数的定义域为(-1,+∞),值域为[1,+∞).选项A的定义域为{x|x≠-1},选项B的定义域为{x|x≠1},选项C的定义域为(-1,+∞),选项D的定义域为(1,+∞),故排除选项A,B,D.当-1
14.(2017上海市青浦区一模)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若点P处有一棵树与两边墙的距离分别是4 m和a m(0
【解析】设AD长为x m,则CD长为(16-x)m.
∵要将点P围在矩形ABCD内,∴a≤x≤12.
则矩形ABCD的面积为x(16-x),
当0
15.(2017江苏连云港、徐州市三模)如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>1)的图象上,则实数a的值为 .
【解析】设B(x,2logax),∵BC平行于x轴,∴C(x',2logax),即logax'=2logax,∴x'=x2,∴正方形ABCD的边长为|BC|=x2-x=2,解得x=2.
∵AB垂直于x轴,∴A(x,3logax),且正方形ABCD的边长为|AB|=3logax-2logax=logax=2,即loga2=2,∴a=2.
【答案】2
16.(2017江苏淮安市一模)若函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则函数的单调递增区间为 .
【解析】由函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<
π2的部分图象,可得A=2,T4=14·2πω=2+2,得ω=π8,再根据五点作图法可得π8·2+φ=π2,∴φ=π4,∴f(x)=2sinπ8x+π4.
令2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2,得16k-6≤x≤16k+2,
故函数的单调递增区间为[16k-6,16k+2],k∈Z.
【答案】[16k-6,16k+2],k∈Z
§4.2 函数与方程
一
函数的零点
1.函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使 的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.
2.几个等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与 有交点⇔函数y=f(x)有 .
3.函数零点的判定(零点存在性定理)
一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不间断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f(x)在区间 内有零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个 就是方程f(x)=0的根.
二
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
三
二分法
定义:对于在区间[a,b]上连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ,使区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( )
(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( )
(4)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( )
2 函数f(x)=ex+3x的零点个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
3 函数f(x)=12ln x+x-1x-2的零点所在的区间是( ).
A.1e,1 B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3)
4 函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,求实数a的取值范围.
知识清单
一、1.f(x)=0 2.x轴 零点
3.f(a)·f(b)<0 (a,b) f(c)=0 c
二、2 1 0
三、1.f(a)·f(b)<0 一分为二 零点
基础训练
1.【解析】(1)错误,函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标.
(2)错误,f(a)·f(b)也可能大于零.
(3)正确,当b2-4ac<0时,二次函数图象与x轴无交点,即没有零点.
(4)正确.
【答案】(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.【解析】画出y=ex与y=-3x的图象(图略)可知,零点只有1个.
【答案】B
3.【解析】由零点存在性定理可知f(2)=12ln 2+2-12-2<0,f(e)=12+e-1e-2>0,故选C.
【答案】C
4.【解析】由已知得f(-1)·f(1)<0,即(-a+1-2a)(a+1-2a)<0,解得13
题型一
判断零点个数
【例1】(1)函数f(x)=x2-2,x≤0,2x-6+lnx,x>0的零点个数是 .
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是( ).
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】(1)当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-2(x=2舍去),所以在(-∞,0]上有一个零点;当x>0时,f'(x)=2+1x>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.又因为f(2)=-2+ln 2<0,f(3)=ln 3>0,所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.综上可得,函数f(x)的零点个数为2.
(2)由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.
在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象(如图),
观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.
【答案】(1)2 (2)B
判断函数零点个数的方法:①解方程法;②零点存在性定理,结合函数的性质;③数形结合法,转化为两个函数图象的交点个数.
【变式训练1】(1)函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
(2)已知函数f(x)=2-|x|,x≤2,(x-2)2,x>2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】(1)当x=0时,f(x)=0.因为x∈[0,4],所以0≤x2≤16.又因为5π<16<11π2,所以函数y=cos x2在x2取π2,3π2,5π2,7π2,9π2时为0,此时f(x)=0.
所以f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为6.
(2)由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=|x-2|+1,x≥0,3-x2,x<0,函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数,在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.
由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2.故选A.
【答案】(1)C (2)A
题型二
函数零点所在区间的判断
【例2】已知函数f(x)=ln x-12x-2的零点为x0,则x0所在的区间是( ).
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
【解析】∵f(x)=ln x-12x-2在(0,+∞)上为增函数,又f(1)=ln 1-12-1=-2<0,f(2)=ln 2-120<0,f(3)=ln 3-121>0,∴x0∈(2,3),故选C.
【答案】C
确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法,若用数形结合法画图必须要准确.
【变式训练2】函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n= .
【解析】因为f(2)=-1+ln 2,ln 2
【答案】2
题型三
函数零点的应用
【例3】(2017昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x),且在区间[0,2]上f(x)=x,若关于x的方程f(x)=logax有三个不同的实根,求a的取值范围.
【解析】
由f(x-4)=f(x)知,函数的周期为4.因为函数为偶函数,所以f(x-4)=f(x)=f(4-x),所以函数图象关于直线x=2对称,且f(2)=f(6)=f(10)=2.要使方程f(x)=logax有三个不同的根,如图,则满足a>1,f(6)<2,f(10)>2,即a>1,loga6<2,loga10>2,解得6
先根据已知条件或将所给解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,再利用数形结合求解.
【变式训练3】已知函数f(x)=2x-1,x>0,-x2-2x,x≤0,若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是 .
【解析】
画出f(x)=2x-1,x>0,-x2-2x,x≤0的图象如图.由于函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得0
方法一
化归转化思想
化归转化思想在函数与方程中的应用十分广泛,如方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题,已知方程有解求参数取值范围问题可转化为函数值域问题,等等.
【突破训练1】(1)若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
(2)若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根,则实数a的取值范围为 .
【解析】(1)函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,即方程ax-x-a=0有两个根,故函数y=ax与函数y=x+a的图象有两个交点.
当0
∴实数a的取值范围为(1,+∞).
(2)由方程解得a=-22x+12x+1,设t=2x(t>0),
则a=-t2+1t+1=-t+2t+1-1=2-(t+1)+2t+1,其中t+1>1.
由基本不等式,得(t+1)+2t+1≥22,当且仅当t=2-1时取等号,故a≤2-22.
【答案】(1)(1,+∞) (2)(-∞,2-22]
方法二
一元二次函数零点分布万能解题方法
当一元二次函数ax2+bx+c=0的根x1,x2呈现某种分布k1
2.确定对称轴x=-b2a与k1,k2的关系.
3.确定Δ与0的关系,即f(x)=0有实根的条件.
4.确定f(k1),f(k2)与0的关系.
备注:对于步骤2和步骤4,因为我们知道,对于对称轴x=-b2a,我们有x1≤-b2a≤x2,所以对k1
【突破训练2】当m取何值时,方程x2-mx-m+3=0分别满足下列条件:
(1)一个根大于1,一个根小于1;
(2)一个根小于0,一个根大于2;
(3)一个根在(0,1)之间,一个根在(1,2)之间;
(4)仅有一个根在(0,2)之间;
(5)两个根都在(-4,0)之间.
【解析】f(x)=x2-mx-m+3,方程f(x)=0的判别式Δ=m2-4(-m+3)=(m-2)(m+6).
(1)如图①,由f(1)=4-2m<0,解得m>2,
故m的取值范围是(2,+∞).
(2)根据已知画出简图(如图②),
由图知f(0)=3-m<0,f(2)=7-3m<0,解得m>3,故m的取值范围是(3,+∞).
(3)根据已知画出简图(如图③),
由图知f(0)=3-m>0,f(1)=4-2m<0,f(2)=7-3m>0,解得2
(4)根据已知画出简图(如图④),
由图知f(0)·f(2)<0,解得73
(5)根据已知画出简图(如图⑤),
由图知Δ≥0,-4
解得-193
1.(2017山西模拟)已知函数f(x),g(x):
x
0
1
2
3
f(x)
2
0
3
1
x
0
1
2
3
g(x)
2
1
0
3
则函数y=f(g(x))的零点是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】由f(g(x))=0得g(x)=1,根据表格g(x)=1对应的自变量是x=1,故选B.
【答案】B
2.(2017湖南衡阳八中、长郡中学等十三校一模)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=ln x-2x的零点,则g(x0)等于( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】∵f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3-23>0,∴x0∈(2,3),∴g(x0)=[x0]=2.
【答案】B
3.(2017天津红桥区高三期中)函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的大致区间是( ).
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)
【解析】∵f(1)=ln(1+1)-2=ln 2-2<0,而f(2)=ln 3-1>ln e-1=0,
∴f(1)·f(2)<0,∴函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在区间是(1,2).
【答案】B
4.(2017河南模拟)若f(x)为奇函数,且x0是函数y=f(x)-ex的一个零点,在下列函数中,-x0一定是其零点的函数是( ).
A.y=f(-x)·e-x-1 B.y=f(x)·e-x+1
C.y=f(x)·e-x-1 D.y=f(x)·ex+1
【解析】∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x).又x0是函数y=f(x)-ex的一个零点,∴f(x0)-ex0=0,∴f(x0)=ex0.把-x0分别代入下面四个选项,
y=f(x0)ex0-1=ex0ex0-1≠0,故A错误;
y=f(-x0)ex0+1=-ex0ex0+1≠0,故B错误;
y=ex0f(-x0)-1=-ex0ex0-1≠0,故C错误;
y=e-x0f(-x0)+1=-ex0e-x0+1=0,故D正确.
【答案】D
5.(2017山东德州高三期中)已知函数f(x)=12x-1-log2x,若x0是方程f(x)=0的根,则x0∈( ).
A.0,12 B.12,1 C.1,32 D.32,2
【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),且函数在定义域内为减函数.
∵f(1)=-12<0,f12=22>0,
∴函数f(x)在12,1内存在唯一的一个零点x0,∴x0∈12,1.
【答案】B
6.(2017湖北宜昌一中高三月考)f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2018x+log2018x,则函数f(x)的零点的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】当x>0时,令f(x)=0,得2018x=-log2018x,
在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=2018x,y=-log2018x的图象,如图,可知两个函数图象只有一个交点,即方程f(x)=0只有一个实根.
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴当x<0时,方程f(x)=0也有一个实根.
又∵f(0)=0,
∴方程f(x)=0的实根的个数为3.
【答案】C
7.(2017山东潍坊临朐质检)已知函数f(x)=2|x-3|,x≠3,a,x=3,若函数y=f(x)-4有3个零点,则实数a的值为( ).
A.-2 B.0 C.2 D.4
【解析】由f(x)=2|x-3|,x≠3,a,x=3,得f(x)-4=2|x-3|-4,x≠3,a-4,x=3.
当x≠3时,由2|x-3|-4=0,得x=52或x=72;当x=3时,由a-4=0,得a=4.
所以a=4满足函数y=f(x)-4有3个零点,故选D.
【答案】D
8.(2017天津市南开区期末)已知函数f(x)=x2+2x,x≤0,|lgx|,x>0,则函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】由f(x)=x2+2x,x≤0,|lgx|,x>0,得f(1-x)=x2-4x+3,x≥1,|lg(1-x)|,x<1.
要求函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数,就是求y=f(1-x)与y=1图象的交点个数.
如图,可知两个函数的图象有3个交点,即函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数为3.
【答案】C
9.(2017北京海淀区高三期末改编)已知函数f(x)=e-|x|+cos πx,给出下列命题:
①f(x)的最大值为2;
②f(x)在(-10,10)内的零点之和为0.
其中,所有正确命题的序号是 .
【解析】因为函数f(x)=e-|x|+cos πx满足f(-x)=f(x),所以函数为偶函数.其零点关于原点对称,所以f(x)在(-10,10)内的零点之和为0,故②正确.因为e-|x|的最大值为1,所以当x=0时,f(x)的最大值为2,故①正确.
【答案】①②
10.(2017兰州模拟)已知函数f(x)=12x+34,x≥2,log2x,0
画出函数f(x)的图象,如图.
要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同的交点,由图易知k∈34,1.
【答案】34,1
11.(2017郑州模拟)已知函数f(x)=2x-a,x≤0,2x-1,x>0(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是( ).
A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]
C.[-1,0) D.(0,1]
【解析】当x>0时,f(x)=2x-1,由f(x)=0得x=12.
要使f(x)在R上有两个零点,则必须2x-a=0在(-∞,0]上有唯一实数解.又当x∈(-∞,0]时,2x∈(0,1],且y=2x在(-∞,0]上单调递增,故a的取值范围是(0,1].
【答案】D
12.(2017山东青岛市黄岛一中月考)已知定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,当-1≤x<0时,f(x)=-log12(-x),则方程f(x)-12=0在(0,6)内的零点之和为( ).
A.8 B.10 C.12 D.16
【解析】∵定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴f(x)=f(2-x)=-f(-x),即f(x)=-f(x+2)=f(x+4),
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
∵当-1≤x<0时,f(x)=-log12(-x),
∴f(x)在(0,6)内的图象如图所示.
∴结合图象得,方程f(x)-12=0在(0,6)内的零点之和为x1+x2+x3+x4=2+10=12.
【答案】C
13.(2017江西七校联考)已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x),当-1
C.0,15∪[5,+∞) D.15,1∪(1,5]
【解析】依题意知,函数f(x)的周期为2,在同一平面直角坐标系内画出函数y=f(x)与函数y=loga|x|的图象,如图.
结合图象可知,要使函数g(x)=f(x)-loga|x|至少有5个零点,则有loga5≤1或loga5>-1,解得a≥5或0
14.(2017江西樟树中学、宜春一中、高安二中等联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+4)=16,当x∈(0,4]时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在[-4,2016]上的零点个数是( ).
A.504 B.505 C.1008 D.1009
【解析】当x∈(-4,0]时,x+4∈(0,4],f(x)=16-f(x+4)=16-[(x+4)2-2x+4].
∵f(x)+f(x+4)=16,∴f(x+4)+f(x+8)=16,
∴f(x)=f(x+8),
∴函数f(x)是R上周期为8的函数.
当x∈(-4,4]时,f(2)=f(4)=0,
则f(2)=f(10)=f(18)=…=f(8×251+2),f(-4)=f(4)=…=f(8×251+4),
故函数f(x)在[-4,2016]上的零点个数是251+1+251+2=505.
【答案】B
15.(2017辽宁沈阳市大东区一模)已知函数f(x)=16x+2,x>a,x2+3x+2,x≤a,函数g(x)=f(x)-ax恰有三个不同的零点,则a的取值范围是( ).
A.16,3-22 B.16,32
C.(-∞,3-22) D.(3-22,+∞)
【解析】
函数g(x)=f(x)-ax恰有三个不同的零点,即函数y=f(x)与y=ax有3个交点,也就是函数y=ax与f(x)=x2+3x+2(x≤a)的图象有2个交点,与f(x)=16x+2(x>a)的图象有1个交点.
画出函数f(x)与y=ax的图象如图,
函数y=ax看作斜率为a的直线,由图象可知a>16.
由a要小于直线与抛物线相切时的斜率,
可得y=ax,y=x2+3x+2,即x2+(3-a)x+2=0,由Δ=(3-a)2-8=0,解得a=3-22.
综上可得,a∈16,3-22.
【答案】A
16.(2017福建模拟)函数f(x)=x+1,x≤0,log2x,x>0,则函数y=f(f(x))+1的所有零点所构成的集合为 .
【解析】由题意知f(f(x))=-1,由f(x)=-1得x=-2或x=12,则函数y=f(f(x))+1的所有零点就是使f(x)=-2或f(x)=12的x的值.
由f(x)=-2得x=-3或x=14,由f(x)=12得x=-12或x=2.
从而函数y=f(f(x))+1的所有零点所构成的集合为-3,-12,14,2.
【答案】-3,-12,14,2
§4.3 函数模型及其应用
一
常见的几种函数模型
1.一次函数模型:y= .
2.反比例函数模型:y=kx+b(k,b为常数且k≠0).
3.二次函数模型:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
4.指数函数模型:y=a·bx+c(a,b,c为常数,b>0,b≠1,a≠0).
5.对数函数模型:y=mlogax+n(m,n,a为常数,a>0,a≠1,m≠0).
6.幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0).
二
三种函数模型之间增长速度的比较(其中a>1,n>0)
函数
性质
y=ax
y=logax
y=xn
在(0,+∞)上的增减性
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与 平行
随x的增大逐渐表现为与 平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.( )
(2)幂函数增长比直线增长更快.( )
(3)不存在x0,使得ax0
2 已知函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,则下列选项正确的是( ).
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
3 已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,则第8年这种动物有多少只?
知识清单
一、1.kx+b(k≠0)
二、单调递增 单调递增 单调递增 y轴 x轴
基础训练
1.【解析】(1)错误,如x=2时,y=2x与y=x2的值相同.
(2)错误,如幂函数y=x12增长比直线y=2x增长慢.
(3)错误,画图可知(图略),存在x0,使得ax0
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√
2.【解析】因为f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,
所以f'(x)=2x,g'(x)=2xln 2,h'(x)=1xln2.
当x>4时,g'(x)>f'(x)>h'(x),所以这三个函数的增长速度为g(x)>f(x)>h(x).
【答案】B
3.【解析】由已知当x=2时,y=100,代入y=alog3(x+1),解得a=100,故当x=8时,y=100log3(8+1)=200.
故第8年这种动物有200只.
题型一
二次函数模型
【例1】为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y=12x2-200x+80000,且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元,则该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,那么国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?
【解析】设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-12x2-200x+80000=-12x2+300x-80000=-12(x-300)2-35000.
因为400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40000.
故该单位不获利,国家每月至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损.
构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系,将文字语言转化成数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.
【变式训练1】某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K万元是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-120Q2,则总利润L(Q)的最大值是 万元.
【解析】L(Q)=40Q-120Q2-10Q-2000=-120Q2+30Q-2000=-120(Q-300)2+2500.
当Q=300时,L(Q)的最大值为2500万元.
【答案】2500
题型二
分段函数模型
【例2】某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10000x-1450,每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,
该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
【解析】(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1000x万元,
依题意得,当0
所以L(x)=-13x2+40x-250(0
当x≥80时,L(x)=1200-x+1000x≤1200-2x·10000x=1200-200=1000,
当且仅当x=10000x,即x=100时,L(x)取得最大值为1000万元.
因为950<1000,所以当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.
分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点值.
【变式训练2】国庆节期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数.
(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
【解析】(1)设旅游团人数为x,由题得0
则S=900x-15000,0
所以当x=30时,S取得最大利润12000,
又S=-10(x-60)2+21000在区间(30,75]上先增后减,所以当x=60时,S取得最大利润21000.
故每团人数为60时,旅行社可获得最大利润.
题型三
指数、对数函数模型
【例3】候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3Q10(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a,b的值.
(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?
【解析】(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,故有a+blog33010=0,即a+b=0.当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,故a+blog39010=1,整理得a+2b=1.由a+b=0,a+2b=1,得a=-1,b=1.
(2)由(1)知,v=-1+log3Q10,所以要使飞行速度不低于2 m/s,则有v≥2,即-1+log3 Q10≥2,即log3Q10≥3,解得Q≥270.
所以其耗氧量至少要270个单位.
求解所给函数模型解决实际问题的关注点:
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知条件,利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
【变式训练3】将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有a4 L,则m的值为( ).
A.5 B.8 C.9 D.10
【解析】∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等,∴函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=12a,可得n=15ln 12,∴f(t)=a·12t5.
∴当k min后甲桶中的水只有a4 L时,f(k)=a·12k5=14a,即12k5=14,
∴k=10,由题可知m=k-5=5,故选A.
【答案】A
方法
解函数应用题的一般步骤
第一步:(审题)弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;
第二步:(建模)将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型;
第三步:(解模)求解数学模型,得到数学结论;
第四步:(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义;
第五步:(反思)对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
【突破训练】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4
【解析】(1)由题意得,当0
所以v=-18x+52,
故函数v=2,0
依题意并由(1)可得f(x)=2x,0
因为8<12.5,所以当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米.
1.(2017河南信阳高一上期末数学)拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5·{m}+1)(元)决定,其中m>0,{m}是大于或等于m的最小整数(如:{3}=3,{3.8}=4,{3.1}=4),则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为( ).
A.3.71元 B.3.97元 C.4.24元 D.4.77元
【解析】由{m}是大于或等于m的最小整数可得{5.5}=6,所以f(5.5)=1.06×(0.50×{5.5}+1)=1.06×4=4.24,所以C选项正确.
【答案】C
2.(2017湖北荆州区校级期中)碘-131经常被用于对甲状腺的研究,它的半衰期大约是8天(即经过8天的时间,有一半的碘-131会衰变为其他元素).今年10月1日凌晨,在一容器中放入一定量的碘-131,到10月25日凌晨,测得该容器内还剩有2毫克的碘-131,则10月1日凌晨,放入该容器的碘-131的含量是( ).
A.8毫克 B.16毫克 C.32毫克 D.64毫克
【解析】由题意,设10月1日凌晨,放入该容器的碘-131的含量是x毫克,则x·123=2,∴x=16.
【答案】B
3.(2017浙江绍兴市期末)2017年初,受国际油价大幅上涨的拉动,一些石油替代型企业生产成本出现大幅度上升.近期,由于国际油价回落,石油替代型企业生产成本明显下降,某PVC行业企业的生产成本在8月份、9月份期间每月递增20%,国际油价回落之后,10月份、11月份的生产成本每月递减20%,那么该企业在11月底的生产成本与8月初比较( ).
A.不增不减 B.约增加5%
C.约减少8% D.约减少5%
【解析】设8月初的生产成本为1,则11月底的生产成本为1×1.22×0.82=0.9216,
∴该企业在11月底的生产成本与8月初比较约减少8%,故选C.
【答案】C
4.(2016年福建省高考数学质检试卷)某商场销售A型商品,已知该商品的进价是每件3元,且销售单价与日均销售量的关系如表所示:
销售单价(元)
4
5
6
7
8
9
10
日均销售量(件)
400
360
320
280
240
200
160
请根据以上数据分析,要使该商品的日均销售利润最大,此商品的定价(单位:元/件)应为( ).
A.4 B.5.5 C.8.5 D.10
【解析】由题意,设定价为x元时,利润为y元,由表知日均销量t=-40x+560,
所以y=(x-3)(-40x+560)=40(-x2+17x-42)=-40x-1722+1210.
故当x=172=8.5时,日均销售利润有最大值,故选C.
【答案】C
5.(2017江西省高三(上)第一次联考)某商店将进价为40元的商品按50元一件销售,一个月恰好卖500件,而价格每提高1元,就会少卖10件,商店为使该商品利润最大,应将每件商品定价为( ).
A.50元 B.60元 C.70元 D.100元
【解析】设销售定价为a元,那么就是提高了(a-50)元,则销售件数减少10(a-50),所以一个月能卖出的件数是[500-10(a-50)],每件商品的利润是(a-40)元,
则一个月的利润y=(a-40)[500-10(a-50)]=-10a2+1400a-40000=-10(a-70)2+9000,
故当a=70时,y取得最大值9000,即当定价为70元时,该商品能获得最大的利润为9000元.
【答案】C
6.(2017江西南昌市二模)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈先下降后上升的趋势,下列四个函数中,能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系且满足f(1)=8,f(3)=2的函数为( ).
A.f(x)=20×12x B.f(x)=-6log3x+8
C.f(x)=x2-12x+19 D.f(x)=x2-7x+14
【解析】A不满足,f(x)=20×12x为减函数,不满足先下降后上升的趋势;
B不满足,f(x)=-6log3x+8为减函数,不满足先下降后上升的趋势;
C不满足,f(x)=x2-12x+19满足先下降后上升的趋势,且f(1)=1-12+19=8,f(3)=9-12×3+19=-8,不满足条件f(3)=2;
D满足,f(x)=x2-7x+14满足先下降后上升的趋势,且f(1)=1-7+14=8,f(3)=9-7×3+14=2,满足条件.
故选D.
【答案】D
7.(2017南昌市八一、洪都等六校期中联考)某工厂2015年生产某产品2万件,计划从2016年开始每年比上一年增产20%,则这家工厂生产这种产品的年产量开始超过6万件的年份为( ).(lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771)
A.2019年 B.2020年 C.2021年 D.2022年
【解析】设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件,根据题意,得2(1+20%)n>6,即1.2n>3,两边取对数,得nlg 1.2>lg 3,∴n>lg3lg1.2≈6.0,∴n=7,即2015+7=2022,故从2022年开始,这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.
【答案】D
8.(2017四川模拟)如图,在一次自行车越野赛中,甲,乙两名选手所走的路程y(千米)随时间x(分)变化的图象(全程)分别用实线(O→A→B→C)与虚线(OD)表示,那么在本次比赛过程中,乙领先甲时的x的取值范围是 .
【解析】由图可知,直到最后,甲发力,追上乙,且领先到达终点.直线OD的方程为y=14x,直线BC的方程为y=12x-192,∴两条直线交点的横坐标为38,∴0
9.(2017临汾二模)近来鸡蛋价格起伏较大,假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤.家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同:家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋,家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋,则购买方式更实惠(两次平均价格低视为实惠)的是 .(在横线上填“甲”或“乙”即可)
【解析】甲购买鸡蛋的平均单价为3a+3b6=a+b2,
乙购买鸡蛋的平均单价为2010a+10b=2aba+b.
∵a+b2-2aba+b=(a-b)22(a+b)≥0,且两次购买的单价不同,
∴a≠b,
∴a+b2-2aba+b>0,∴乙的购买方式更实惠.
【答案】乙
10.(2017河南模拟)某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励.奖励公式为f(n)=k(n)(n-10),n>10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该学科省平均分之差,f(n)的单位为元),而k(n)=0(n≤10),100(10
A.600元 B.900元 C.1600元 D.1700元
【解析】∵k(18)=200(元),∴f(18)=200×(18-10)=1600(元).
又∵k(21)=300(元),∴f(21)=300×(21-10)=3300(元),
∴f(21)-f(18)=3300-1600=1700(元).
【答案】D
11.(2017江西南昌市七校期末联考)某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.若在距离车站10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,现在要使两项费用之和最小,则仓库应建在离车站( )处.
A.5 km B.4 km C.3 km D.2 km
【解析】设仓库与车站距离为x km,土地费用为y1万元,运输费用为y2万元,于是y1=k1x,y2=k2x,∴2=k110,8=10k2,解得k1=20,k2=45.设总费用为y万元,则y=20x+4x5≥220x·4x5=8,当且仅当20x=4x5,即x=5时取等号.故选A.
【答案】A
12.(2017江西师大附中期末)某工厂产生的废气需要过滤后排放,在过滤过程中废气的污染物数量P mg/L与时间t小时之间的关系为P=P0e-kt.若在前5个小时消除了10%的污染物,则污染物减少50%所需要的时间约为( )小时.(已知ln 0.5≈-0.693,ln 0.9≈-0.105)
A.26 B.33 C.36 D.42
【解析】由题意,前5个小时消除了10%的污染物,∵P=P0e-kt,∴(1-10%)P0=P0e-5k,∴k=-15ln 0.9,∴P=P0et5ln0.9.
当P=50%P0时,有50%P0=P0et5ln0.9,
∴t5ln 0.9=ln 0.5,∴t=5ln0.5ln0.9≈33,即污染物减少50%需要花33小时.
【答案】B
13.(2017合肥八校联考)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.运营几个月发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=3-2t+1函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是 万元.
【解析】由题知t=23-x-1(0
【答案】37.5
14.(2017河南省鹤壁市期末)学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:分)之间的关系满足如图所示的图象,当x∈(0,12]时,图象是二次函数图象的一部分,其顶点A(10,80),且过点B(12,78);当x∈[12,40]时,图象是线段BC,其中C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.
(1)试求y=f(x)的函数关系式.
(2)教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.
【解析】(1)当x∈(0,12]时,设f(x)=a(x-10)2+80,
将点(12,78)代入,得a=-12,则f(x)=-12(x-10)2+80.
当x∈[12,40]时,设y=kx+b,
将点B(12,78),C(40,50)代入,得k=-1,b=90,即y=-x+90.
则y=f(x)=-12(x-10)2+80,x∈(0,12],-x+90,x∈(12,40].
(2)由题意得0
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