（新教材）2020-2021学年下学期高一期中备考金卷A卷

这是一份（新教材）2020-2021学年下学期高一期中备考金卷A卷，共22页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知复数z满足，则的最小值为，下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．有下列四个命题：
（1）对于非零向量，，若，则与的夹角为锐角；
（2）若向量与是共线的向量，则点，，，必在同一条直线上；
（3）若，则或；
（4）若，则或．
其中错误结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．已知点为所在平面内一点，若动点满足，则点一定经过的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
4．在中，已知，，若最长边为，则最短边长为（ ）
A．B．C．D．
5．已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
6．如图，已知，分别是半径为2的圆上的两点，且，为劣弧上一个异于，的一点，过点分别作，，垂足分别为，，则的长为（ ）
A．B．C．2D．
7．已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，，
则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．D．，的夹角是钝角
10．下列命题中正确的是（ ）
A．复数的虚部是
B．
C．复数的共轭复数是
D．满足的复数z在复平面上对应点的轨迹是椭圆
11．在中，a，b，c分别为，，的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，则
12．已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．直线必过边的中点
C．D．若，且，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．复数，，则的最大值为_______．
14．在平行四边形中，，，，．
若，则_________．
15．如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度_________．
16．如图，在中，，，为上一点，且满足，________；若的面积为，则的最小值为________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数．
（1）当实数m为何值时，z为实数；
（2）当实数m为何值时，z为纯虚数．
18．（12分）已知i是虚数单位，设复数z满足．
（1）求的最小值与最大值；
（2）若为实数，求z的值．
19．（12分）如图，在菱形ABCD中，，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求；
（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．
20．（12分）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象．
（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）在中，内角的对边分别为，若，，，求的面积．
21．（12分）在中，．
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，求周长的最小值．
22．（12分）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，为某市的一条健康步道，，为线段，是以为直径的半圆，，
，．
（1）求的长度；
（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道（，在两侧），，为线段．若，到健康步道的最短距离为，求到直线距离的取值范围．
（新教材）2020-2021学年下学期高一期中备考金卷
数学（A）答案
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】由题可知：，
所以，故选D．
2．【答案】A
【解析】对于（1）：因为，
又，所以，即，
所以与的夹角为锐角或零角，故（1）错误；
对于（2）：若向量与是共线的向量，则或AB与CD共线，
则点，，，不一定在同一条直线上，故（2）不正确；
对于（3）：若，则，的模相等，而方向是任意的，故（3）不正确；
对于（4）：若，则或或，故（4）不正确，
所以错误结论的个数是4个，故选A．
3．【答案】D
【解析】取的中点，则，
因为，所以，
所以与共线，即直线与直线重合，
所以直线一定过的重心，故选D．
4．【答案】A
【解析】在中，由，得，
又，所以，即，
所以，，
由，得，
因为．
所以，，
故最长边为c，最短边为a，所以，
由正弦定理，所以最短边长为，故选A．
5．【答案】A
【解析】因为，所以，
即z在复平面内表示圆上的点，
又，
所以表示圆O上的动点到定点的距离，
所以为，故选A．
6．【答案】B
【解析】∵，，∴，，，四点在以为直径的圆上．
由题意可知，∴外接圆的直径为2，则由正弦定理可得，故选B．
7．【答案】B
【解析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
由，，
所以，，，，所以，，
所以，故选B．
8．【答案】B
【解析】因为点是的三等分点，，
则，
又由点三点共线，则，
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为，则有，解得或（舍），
故，故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】ABC
【解析】对于A：，故A正确；
对于B：设，，，，
则，即，故B正确；
，
由，得，点在以直径的圆上（可以与重合）．
设中点是，
的最大值为，故C正确；
与同向，由图，与的夹角不可能为钝角，故D错误，
故选ABC．
10．【答案】CD
【解析】对于A，复数，虚部是，故错误；
对于B，，故错误；
对于C，复数的共轭复数是，正确；
对于D，设，
由得，
可看作动点到两个定点，的距离的和为10的点的轨迹，
由于，
根据椭圆的定义可得点的轨迹是椭圆，所以复数z在复平面上对应点的轨迹是椭圆，
故正确，
故选CD．
11．【答案】ACD
【解析】对于A：∵由正弦定理得，而，∴，
∵，∴只能，即为等腰三角形，故A正确；
对于B：∵由正弦定理得，
∴若可化为，即，
∴或，
∴为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C：∵，
∴，，
∴
．
∵，而，，，
∴必有一个小于0，∴为钝角三角形，故C正确；
对于D：∵，
∴由正弦定理得，
即，∴，
∵，∴，故D正确，
故选ACD．
12．【答案】ACD
【解析】如图所示，点O为所在平面内一点，且，
可得，
即，
即，所以，所以A是正确的；
在中，设为的中点，
由，可得，
所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确；
由，可得且，
所以，所以，可得，所以，
所以，所以C正确；
由，可得，
因为，且，
可得，
所以，所以D是正确的，
故选ACD．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】因为，，
所以，
故，
所以当时，有最大值，且最大值为，
故答案为．
14．【答案】21
【解析】，，，
，
故答案为．
15．【答案】
【解析】因为，，所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以，故答案为．
16．【答案】，
【解析】设，
则
，
所以，，解得．
，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立．
所以，的最小值为．
故答案为，．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）若z为实数，则，解得或．
（2）若z为纯虚数，则，解得．
18．【答案】（1）最大值为7，最小值为3；（2）见解析．
【解析】（1）设，根据，所以有，
所以的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆，
所以，
其表示点到的距离，
所以其最大值为圆心到的距离加半径，
最小值为圆心到的距离减半径，
所以最大值为，最小值为．
（2），
因为为实数，所以，
即，所以或，
又因为，所以（舍去）或或或，
所以或或．
19．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）因为，，
所以，所以，，
故．
（2）∵，
∴，
∵ABCD为菱形，∴，
∴，即．
（3）因为，，
所以
，
，∴的取值范围为．
20．【答案】（1），单调递增区间为；（2）或．
【解析】（1），
图象向右平移个单位长度得到的图象，
横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)得到图象，
所以，
令，解得，
所以的单调递增区间为．
（2）由（1）知，，
因为，所以．
又因为，所以，
当时，，，
此时由余弦定理可知，解得，
所以，
当时，，，
此时由勾股定理可得，所以．
21．【答案】（1）；（2）12．
【解析】（1）由题意，，，
由余弦定理可得，，
，的最大值为．
（2），，
又，，
，，周长为，
当且仅当时，周长的最小值为12．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）在中，由余弦定理可得，
．
（2）的轨迹为外接圆的一部分，设外接圆的半径为，
由正弦定理，且满足，
由（1）得，所以为直角，
过作于点，设所求距离为，
①当通过圆心时，达到最大，由几何关系得，四边形为矩形，
所以，此时满足；
②当无限接近时，此时，
综上：所求到直线距离的取值范围为．