小学数学人教版六年级下册2 正比例和反比例综合与测试教案及反思

练习课（正比例和反比例）

教学内容

完成教科书P50~52“练习九”中第7、9、12、13、14、15、16题。

教学目标

1.在练习中，进一步理解正、反比例的意义，弄清它们的联系和区别，能正确、熟练地判断正、反比例关系。

2.提高观察、分析、比较、抽象概括和判断推理的能力。

3.提高学生综合运用知识解决实际问题的能力，培养学生自主探究、合作交流的学习能力。

教学重点

进一步掌握正、反比例关系的意义。

教学难点

正确应用正、反比例知识解答基本的正、反比例应用题。

教学准备

课件。

教学过程

一、比较正、反比例的意义，加深理解

1.回顾旧知识，对比感知。

师：我们已经初步学习了判断两种量是不是成正比例或反比例的关系的方法，你能判断下面两种量成什么比例吗？（出示课件）

【学情预设】预设1：路程和时间是两种相关联的量，因为速度一定，路程÷时间=速度，所以路程和时间成正比例关系。

预设2：速度和时间是两种相关联的量，因为路程一定，速度×时间=路程，所以速度和时间成反比例关系。

预设3：路程和速度是两种相关联的量，因为时间一定，路程

教学笔记

÷速度=时间，所以路程和速度成正比例关系。

师：同样都是速度、时间、路程，为什么有的成正比例关系，有的成反比例关系？

【学情预设】引导学生说出要看两种相关联的量的变化规律，还要看比值一定还是乘积一定。(教师可以让学生具体说一说成正比例关系的两种量的变化规律、成反比例关系的两种量的变化规律。)

师：你还能举出类似的例子吗？

【学情预设】预设1：单价、数量、总价之间也有这样的关系。总价一定，单价×数量=总价，单价和数量成反比例关系；单价一定，总价÷数量=单价，总价和数量成正比例关系；数量一定，总价÷单价=数量，总价和单价成正比例关系。

预设2：工作总量、工作时间、工作效率之间也有这样的关系。工作总量一定，工作效率×工作时间=工作总量，工作效率和工作时间成反比例关系；工作效率一定，工作总量÷工作时间=工作效率，工作总量和工作时间成正比例关系；工作时间一定，工作总量÷工作效率=工作时间，工作总量和工作效率成正比例关系。

……

(教师对学生的发言及时鼓励、评价。)

2.总结对比正比例和反比例的异同点。

师：你能总结一下正比例和反比例有什么相同点和不同点吗？

课件出示表格，根据学生的回答填写表格。

教学笔记

【教学提示】

通过判断速度、时间、路程之间的正、反比例关系，让学生更深入地思考正、反比例的异同点。注意学生表达的完整性，在辨析的过程中加深对正、反比例的意义的理解，巩固判断正、反比例的方法。

师：我们已经了解了正比例和反比例的异同，今天我们就应用正、反比例的知识来解决一些问题。

二、基础练习，巩固意义

1.课件出示教科书P50“练习九”第7题。

学生独立完成后交流。

【学情预设】指导学生用正比例图象解决问题，让学生看到该图象符合正比例关系图象的定义。买7支铅笔需要的钱数可以直接在图象中找到。第(3)小题学生可能在表达上出现困难，可以提示因为总价与支数成正比例关系，所以小丽买的铅笔支数与小明买的铅笔支数之间的倍数关系与总价之间的倍数关系相等。

2.课件出示教科书P51“练习九”第9、12题。

师：请同学们独立完成这两道题，然后在小组内交流、订正。

小组交流后进行汇报。

【学情预设】第9题：判断时发现每瓶醋的容量与所装瓶数相关联，且每瓶醋的容量×所装瓶数=醋的总量(一定)，发现乘积不变，所以每瓶醋的容量和所装瓶数成反比例关系。

第12题：第（1）题，通过指导学生先通过两个量的具体对应值，发现“每天组装的数量”和“所用天数”的变化规律，再用字母表示出两种量之间的关系，得到组装的手机总数=pt。第（2）题，通过计算可以得到p和t的乘积一定，所以p和t成反比例关系。第（3）题，可以用算式500×24÷8=1500(部)来解决。

三、综合应用，提升能力

1.课件出示教科书P52“练习九”第13、14题。

师：在刚才的练习中，大家表现得很不错。你敢挑战下面这两个问题吗？

学生独立完成后，再集体交流。

【学情预设】第13题：第(1)题，根据速度×时间=路程的数量关系来解答，因为路程一定，指导学生明确用任何一组对应的速度和时间都能求出京沪高铁的总长度。第(2)题，学生会答出t和v成

教学笔记

【教学提示】

这两道题是巩固反比例关系的练习，让学生判断时，要紧紧抓住反比例的概念，说出两种量成反比例关系或不成反比例关系的理由。

反比例关系，关系式是tv=1300。第(3)题，列式1300÷325=4(时)。

第14题：这道题对学生有一定的挑战性。在一幅图中同时呈现两种动物奔跑路程与奔跑时间的关系图象，要求学生借助图象的特征直接判断两个量之间的关系并解决问题。学生有了前面的经验，很容易判断这是正比例图象，图中路程与时间成正比例关系。根据图象估计斑马18分钟跑22km，长颈鹿18分钟跑14km。注意答案不是唯一的，只要合理就可以。第(3)题，要指导学生会看图象，可以看相同的时间内谁跑得远，也可以看跑同样远的路程谁的时间短。要教给学生图象中射线的倾斜度越大，表示动物奔跑的速度越快。

2.抽象表示正、反比例关系。

课件出示教科书P52“练习九”第15题。

师：x、y、z是三个相关联的量，并有xy=z。请你根据条件填一填。

【学情预设】当z一定时，x与y成反比例关系；当x一定时，z与y成正比例关系；当y一定时，z与x成正比例关系。

师：你认为x、y、z分别可以表示什么？

【学情预设】学生可能说出：时间、速度与路程，单价、数量与总价，长方形的长、宽和面积，圆柱的底面积、高和体积……

教师适时对学生的表述加以指导。

【设计意图】重视常见的数量关系中量与量之间的关系，沟通知识之间的联系。让学生更深入地理解正、反比例的意义。在这个过程中，引导学生多角度利用图象解决问题，培养学生的图象分析能力。

四、拓展延伸，开放思维

课件出示教科书P52“练习九”第16题。

师生一起分析和解答。引导学生用列表的方法有序列举数据，并试着把长方形长与宽的关系用图象表示出来。

【学情预设】长方形的面积=长×宽，长用x表示，宽用y表示，

教学笔记

【教学提示】

这引导学生用列表的方法有序列举数据，并尝试把长方形长与宽的关系用图象表示出来。

面积是36cm2，由此得出xy=36，y与x的乘积一定，所以y与x成反比例关系。先通过列表利用长方形的面积公式列举出x、y的几组数据，再在图中描点连线。画出图象后，再判断图象是不是直线。最后发现，xy=36的图象不是一条直线，而是一条曲线。

列举数据：

【设计意图】告诉两个变量，一个不变量，能通过反比例关系来解决问题，进一步体会反比例的意义，并在脑海里初步建立反比例图象的模型，感知反比例图象与正比例图象的不同，能利用图象上的点与数对的一一对应的关系来解决问题，初步体会函数的思想和方法。

五、课堂小结

师：今天的数学课，你们有哪些收获呢？

教学反思

正、反比例关系是小学阶段学习的一种比较重要的数量关系。教学中给学生提供常见的数量关系，让学生通过观察、分析，发现两个数量间的变化关系，并将这种抽象的关系延伸到其他的常见的数量关系中，达到脱离具体情境，概括抽象正、反比例关系的一般目的。在此基础上，学生利用字母表达式来刻画两种比例关系就水到渠成了。经过这节课的巩固练习，感觉学生对正、反比例的意义掌握得更好一些，易错、易混的情况少了许多。

教学笔记

作业设计

见“状元成才路”系列丛书《创优作业100分》对应课时作业P30第一、三题。

一、填一填。

1.如果x与y成正比例关系，？处应填（    ）；如果x与y成反比例关系，？处应填（    ）。

2.=c，若a一定，b和c成（    ）比例关系；若b一定，a和c成（    ）比例关系；若c一定，a和b成（    ）比例关系。

三、根据表中的数据解答下面问题。

1.在图中描出表示苹果的总价与相对应质量的点，并把它们按顺序连起来。

2.如果买3.5kg苹果，需要多少钱？

3.小军买苹果花的钱是小洋的3倍，小军买的苹果的质量是小洋的几倍？

参考答案

一、1.22.5  3.6   2.反  正  正

三、1.画图略

2.3.5×7.5=26.25(元)

3.苹果的总价和质量成正比例关系，小军买苹果花的钱是小洋的3倍，所以小军买的苹果的质量是小洋的3倍。

教学笔记

2.0.618被称为黄金数，在建筑、音乐、美术等领域有广泛的应用。人们发现，当人体的下肢与身高的比值是0.618时，人的身材最美。如果菲菲身高162cm，那么她下肢长多少厘米时，身材看起来最美?（结果精确到个位）

参考答案

2.解：设她下肢长x cm时，身材看起来最美。

x∶162=0.618∶1

x≈100

教学笔记