2020-2021学年河南省信阳高级中学高一下学期4月月考数学（理）试卷

这是一份2020-2021学年河南省信阳高级中学高一下学期4月月考数学（理）试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，是不同的直线，，，是三个不同的平面，有以下四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①若，，，则；
②若，，，则；
③若，，则.
④若，，，则；
A．①③B．②③C．①④D．③④
3．直线不过第二象限，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B． 或
C． D．以上都不正确
5．如图，正方体中，分别是的中点，是正方形的中心，则空间四边形在该正方体各面上的正投影不可能是 ( )
A．B．
C．D．
6．为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）成正比（）；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前( )分钟进行消毒工作
A．30B．40C．60D．90
7．函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点在第二象限，则的一个变化区间是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方图得到的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为，则（ ）
A．B．C．D．
10．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值（ ）
A．B．C．6D．3
11．单调增函数对任意满足，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点、、分别是半径、及扇形弧上的三个动点（不同于、、三点），则关于的周长说法正确的是（ ）
A．有最大值，有最小值B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．若幂函数在上为增函数则_____．
14．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点p（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 ．
说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动．沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动．
15．图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为________.
16．已知函数，若，则的取值范围是____________.
三、解答题
17．（1）已知方程，的值．
（2）已知是关于的方程的两个实根，且，求的值．
18．已知集合，集合．
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
19．已知三棱柱在底面ABC上的射影恰为的中点，.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
20．一研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某大豆种子发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了4月1日至4月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到如下数据：
该学习组所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天的数据的概率；
（2）若选取的是4月1日与4月5日这2组数据做检验，请根据4月2日至4月4日这3组数据求出关于的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）所得的线性回归方程是否可靠？
参考公式和数据：，；，
21．已知圆的方程为：．
（1）求的取值范围;
（2）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
22．若函数与对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间D上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间D上的“阶自伴函数”.
（1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由；
（2）若函数为区间（）上的“阶自伴函数”，求的最小值；
（3）若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数a的取值范围.
日期
4月1日
4月2日
4月3日
4月4日
4月5日
温差摄氏度
8
12
13
11
10
发芽数颗
18
26
30
25
20
高一 测数学（理）参考答案
1．C 2．C 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．C 9． B 10．C 11. B 12．C
13．3 14． 15．. 16．
17．（1）；（2）
解：（1）；
（2），是关于的方程的两个实根，
，
解得：，
又，
，
，
即，
解得：，
，
.
18．（1）；（2）.
【详解】
解：（1）由，得，
解可得，
∴．
（2），
由得, ，
∵得，
所以或，
所以的范围为．
19．
【解析】
分析：（1）由条件可证得平面平面，进而平面，于是得，再根据线面垂直的判定可得结论．（2）设与的交点为，则平面．
过点作于，连，则．故为二面角的平面角，在中可得所求．
详解：(1)由题意知平面，且，
又平面
平面平面．
又
平面，
又平面
，
又，且，
平面．
(2)设与的交点为，则由(1)得平面．
过点作于，连，
则，
故为二面角的平面角．
平面
又平面，
．
由为中点，得，
则．
又在中，得．
在中，，
得，
即二面角的余弦值为．
20．【详解】
（1）设抽到相邻两组数据为事件，
因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况
每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种
所以.
（2），
，
，
故所求线性回归方程为.
（3）由（2）知，
当时，，，
当时，，，
与检验数据的误差都不超过2颗，故认为得到的线性回归方程是可靠的.
21．
【详解】
（1）由题知：，解得
（2）假设存在得以为直径的圆过原点，设，，
，
，解得，又因为，所以.
，.
.
因为以为直径的圆过原点，则，
即，整理可得，
即，解得.
所以存在得以为直径的圆过原点.
22．
【详解】
（1）假设是否为区间上的“阶自伴函数”，
则函数与对任意，总存在唯一的，使成立，
所以，即，
由函数在上为单调递增函数，
所以
当时，，
所以函数不是上的“2阶自伴函数”.
（2）由函数为区间（）上的“阶自伴函数”，
所以，可得，且，
因为函数为单调递增函数，函数为单调递减函数，
又由，可得，即，可得，
又因为，所以
则，
设，则且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
（3）由函数在区间的值域为，
因为是在区间上的“阶伴随函数”，
则对任意的，总存在唯一的时，使得成，
所以，
即在为单调函数，且，
又由函数，
可得表示开口向上，且对称轴为的抛物线，
①当时，函数在单调递增，
所以，解得；
②当时，函数在单调递减，
所以，解得.
综上可得，实数a的取值范围.