2021年高考艺术生数学基础复习 考点20 超几何分布与二项分布（教师版含解析）

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考点20 超几何分布与二项分布
知识理解

一． 分布列
1．离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：
①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
二．两点分布
如果随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中0 三．超几何分布
1.概念：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)．即
X
0
1
…
m
P


…


其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
2.特征
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数
(2)考察对象分两类
(3)已知各类对象的个数
(4)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型
四．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数．设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．
五．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)>0)．
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.
(2)条件概率具有的性质
①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
考向分析
考向一 离散型随机变量的分布列的性质
【例1】(1)(2020·全国高三专题练习)随机变量的分布列如表：








若，则( )
A． B． C． D．
(2)(2021·浙江高三)已知随机变量的分布列是








则( )
A． B． C． D．
【答案】(1)A(2)C
【解析】(1)由分布列的性质以及期望公式可得，解得.
.故选：A.
(2)由分布列的性质可得，得，所以，，
因此，.故选：C.
【方法总结】
1．随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2.离散型随机变量分布列的求解步骤

三．若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；
(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；
(6)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为：E(X)＝μ，D(X)＝σ2.




【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)随机变量X的分布列如下，的值为( )

A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
【答案】C
【解析】随机变量X的分布列知：，
．故选：C．
2．(2020·全国高三专题练习)随机变量的分布列如表所示，若，则( )

-1
0
1





A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】根据题意，可知：，则，
，即：，解得：，，
，
则，.故选：B.
3．(2020·全国高三专题练习)若随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
0.2
a

则a的值为( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】B
【解析】由题意可得，，解得.故选：B.
4．(2020·浙江高三其他模拟)随机变量X的分布列如下表，已知，则当b在内增大时( )
X
1
2
3
P
a
b
c
A．递减，递减 B．递增，递减
C．递减，递增 D．递增，递增
【答案】B
【解析】因为，所以，，
所以，所以当b在内增大时，递增；
所以，
所以当b在内增大时，递减.故选：B.
考向二 超几何分布
【例2】(2020·全国高三)“花开疫散，山河无恙，心怀感恩，学子归来，行而不缀，未来可期”，为感谢全国人民对武汉的支持，今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募名和名志愿者参与网络云直播.将这名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：厘米).若身高在及其以上定义为“高个子”，否则定义为“非高个子”，且只有文学院的“高个子”才能担任兼职主持人.

(1)根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数.
(2)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取人，则从这人中选人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少；
(3)若从所有“高个子”中选名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“兼职主持人”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.
【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析，.
【解析】(1)根据志愿者的身高茎叶图知文学院志愿者身高为：，
其升高的中位数为：；
(2)由茎叶图可知，“高个子”有人，“非高个子”有人，
∴按照分层抽样抽取的人中“高个子”为人，“非高个子”为人，
则从这人中选人，至少有人为高个子的概率；
(3)由题可知：文学院的高个子只有人，则的可能取值为、、、，
故，，
，，
即的分布列为：










所以.
【举一反三】
1．(2021·全国高三专题练习)为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:

(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；
(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X，求随机变量X的分布列及均值E(X);
(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间的方差的大小.(只需写出结论)
【答案】(1)240人；(2)分布列见解析，2；(3).
【解析】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.
故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×=240.
(2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4，
故X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
由题意可得
P(X=0)=，
P(X=1)=，
P(X=2)=，
P(X=3)=，
P(X=4)=.
X
0
1
2
3
4
P





所以随机变量X的分布列为
∴均值E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.
(3)由折线图可得.
2．(2020·全国高三专题练习)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对名五年级学生进行了问卷调查得到如下列联表(平均每天喝以上为常喝，体重超过为肥胖)：

常喝
不常喝
总计
肥胖



不肥胖



总计



已知在全部人中随机抽取人，抽到肥胖的学生的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)是否在犯错误概率不超过的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由；
(3)若常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取人参加电视节目，设正好抽到的女生为名，求随机变量的分布列与期望.
参考数据：
















(参考公式：，其中)
【答案】(1)答案见解析；(2)在犯错误概率不超过的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；理由见解析；(3)答案见解析.
【解析】(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有人，则，解得，
填表如下：

常喝
不常喝
总计
肥胖



不肥胖



总计



(2)由已知数据可求得：，
因此在犯错误概率不超过的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；
(3)依题意，常喝碳酸饮料的肥胖者男生有名，女生有名，
随机变量的取值分别为、、，
∴，
，
，
则随机变量的分布列为：








因此随机变量的期望.
3．(2020·全国高三)巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行．某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关，从全校学生中随机抽取名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男生
女生
合计
收看



不收看



合计



已知在这名同学中随机抽取人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是．
(1)请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关？
(2)若从这名同学中的男同学中随机抽取人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”人数为，求的分布列和均值．
附：参考公式：，．








【答案】(1)填表见解析；没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；(2)分布列见解析；均值为．
【解析】(1)设“通过电视收看世界杯”的女生为人，则，解得，

男生
女生
合计
收看



不收看



合计



由已知数据得：，
∴没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；
(2)可能取值为、、，
则：，
，
，
∴的分布列为：








的均值为：．
考向三 条件概率
【例3】(2020·四川省新津中学高三开学考试)长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，可知，
利用条件概率的计算公式，可得，故选B.
【方法总结】
条件概率的3种求法
定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简


【举一反三】
1．(2020·江苏省溧阳中学高三开学考试)甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】事件：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为，
事件B：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为，
.故选：B
(2)(2020·四川眉山市·仁寿一中高三月考)现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得,，
则，故选：A
3．(2020·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三开学考试)2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P(A|B)＝( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，，
∴．故选：A．
4．(2020·黑龙江牡丹江市·牡丹江一中高三开学考试)一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球，如果不放回的依次取出2个球.在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】第一次取出黑球后，剩余4个球，其中2个白球，所以第二次取出的是白球的概率是.故选：A.
考向四 二项分布
【例4】(2020·全国高三专题练习)某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：

(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．
【答案】(1)甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大，乙同学做解答题相对稳定些；(2)分布列见解析，.
【解析】(1) (7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， (7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，
[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.
甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．
(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P1＝，P2＝，
两人失分均超过15分的概率为P1P2＝，
X的所有可能取值为0，1，2.依题意， ，

则X的分布列为
X
0
1
2
P



X的均值E(X)＝.
【方法总结】
二项分布问题的解题策略
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：
其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；
其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．


【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100的有40人，不超过100的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100的有20人，不超过100的有25人.
(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；
(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列.
【答案】(1)；(2)分布列答案见解析.
【解析】(1)平均车速不超过100的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为，所以所求的概率.
(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过且为男性驾驶员的概率为，故.
所以，
，
，

所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




2．(2020·全国高三专题练习)某学校用“分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

(1)若教学满意度不低于分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这人中随机选取人，至少有人是“极满意”的概率；
(2)以这人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选人，记表示抽到“极满意”的人数，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，.
【解析】(1)人中满意的有人，不满意的有人，
设表示所抽取的人中有个人是“极满意”，至少有人是“极满意”记为事件，
则抽出的人都不满意的概率为，
所以，
(2)的所有可能取值为
人中满意的有人，不满意的有人，随机抽取一人极满意的概率为，
所以，
所以，
，
，
.
所以的分布列为





P




所以.

3．(2020·凯里市第三中学高三月考)北京是历史悠久的千年古都，现在是中国的政治、经济、文化等多领域的中心，历史文化积淀深厚，自然人文景观丰富，科学技术发达，教育资源众多，成为当代绝大多数人的理想向往之地．凯里市为了将来更好的推进“研学游学”项目来丰富中学生的课余生活，帮助中学生树立崇高理想，更好地实现人生价值．为了更好了解学生的喜好情况，某组织负责人把项目分为历史人文游、科技体验游、自然风光游三种类型，并在全市中学中随机抽取10所学校学生意向选择喜好类型，统计如下：
类型
历史人文游
科技体验游
自然风光游
学校数
4
4
2
在这10所中小学中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游学意向类型的概率(假设每所学校在选择研学游学类型时仅能选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．
(1)若这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游，求这两种都有学校选择的概率；
(2)设这3所学校中选择科技体验游学校的随机数，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，．
【解析】(1)由题设学校选择历史人文游、科技体验游、自然风光游的概率分别为、、，则易知，，，
所以这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游的概率为

；
(2)由题知这3所学校中选择科技体验游学校的概率为，
选择非科技体验游学校的概率为，
所以的所有可能值有：0，1，2，3，
则，
，
，
，
所以的分布列如下：

0
1
2
3





所以的数学期望为．
强化练习

1．(2020·全国高三专题练习)已知随机变量X的分布列如下：若随机变量Y满足，则Y的方差( )

0
1
3





A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由分布列的性质，可得，解得，则，
所以，
又因为，所以.故选：D.
2．(2020·全国高三专题练习)随机变量的分布列如下：

-1
0
1





其中，，成等差数列，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，成等差数列，
，

.则的最大值为
3．(2020·全国高三专题练习)已知的分布列为

1
2
3
4
P



m
设，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由分布列的性质可得：，解得
所以
因为，所以故选：C
4．(2020·内蒙古包头市·高三二模)X表示某足球队在2次点球中射进的球数，X的分布列如下表，若，则( )
X
0
1
2
P
a

b
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得①，又由②，由①和②可得，，，所以，故选：D
5．(2020·全国高三专题练习)某射手射击所得环数的分布列如下：已知的数学期望，则的值为( )

7
8
9
10


0.1
0.3

A．0.8 B．0.6
C．0.4 D．0.2
【答案】C
【解析】由表格可知： ， 解得.故选：．
6．(2020·全国高三专题练习)某小组有名男生、名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，；
当时，，
则，
故选：C.
7．(2020·莆田第二十五中学高三期中)2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则：
芯片领域被选的概率为：；不被选的概率为：；而选择芯片领域的人数，
∴服从二项分布，，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为.
故选：A.
8．(2020·全国高三专题练习)一个盒子中装有个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为、、、、、，从中不放回地随机抽取个小球，将其编号之和记为.在已知为偶数的情况下，能被整除的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记“能被整除”为事件，“为偶数”为事件，
事件包括的基本事件有，，，，，共6个.
事件包括的基本事件有、共2个.则，故选:B.
9．(2020·全国高三专题练习)袋中有5个球(3个白球，2个黑球)现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为( )
A．3/5 B．3/4 C．1/2 D．3/10
【答案】C
【解析】记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，
则事件AB为“两次都取到白球”，
依题意知，，
所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是．故选：C.
10．(2020·全国高三专题练习)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件为“恰有2名同学所报项目相同”，事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】事件AB为“4名同学所报项目恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”.
, 所以故选：A
11．(2020·浙江高三专题练习)已知随机变量的分布列如表，且，则__，的取值范围为__.

0
1
2
3






【答案】 ，
【解析】由概率之和等于1可得，
由，可知，
即，解得，
又，故.
又，
，
故答案为：，，
12．(2020·全国高三专题练习)随机变量的分布列如表格所示，，则的最小值为______．

1
0



【答案】9
【解析】根据概率分布得，且，

当且仅当时取等号
即的最小值为9
故答案为：9
13．(2020·全国高三专题练习)小赵､小钱､小孙､小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“个人去的景点不相同”，事件为“小赵独自去一个景点”，则________.
【答案】
【解析】小赵独自去一个景点共有种情况，即，
个人去的景点不同的情况有种，即，
所以.
故答案为：.
14．(2020·全国高三其他模拟)伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则______.
【答案】
【解析】由已知得，，
则.
故答案为：
15．(2020·全国高三专题练习)夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为_________.
【答案】
【解析】解析设事件为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知，，.
故答案为：.
16．(2020·全国高三)一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则是________
【答案】
【解析】由题可知：所以故答案为：
17．(2020·四川省内江市第六中学高三)某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．
【答案】
【解析】设事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B：“学生丙第一个出场”，
对事件A，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一
个给甲，再将余下的4个人全排列有种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4
个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有种，故总的有.
对事件AB，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有种
故.
故答案为：
18．(2020·浙江高三其他模拟)随机变量分布列如下表，则______；______.

0
1
2




【答案】； 1；
【解析】，∴，∴.故答案为：；1.
19．(2020·全国高三专题练习)已知随机变量的分布列如下：

1
2
3




则___，方差___．
【答案】
【解析】由题意可得，解得，
，，，
，
，
综上，，.
故答案为：；.
20．(2020·四川内江市·高三一模)网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.

(1)根据已知条件完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？

网购迷
非网购迷
合计
年龄不超过40岁



年龄超过40岁



合计



(2)若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数的分布列.
(附：)

0.15
0.10
0.05
0.01

2.072
2.706
3.841
6.635
【答案】(1)列联表答案见解析，可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；(2)分布列答案见解析.
【解析】(1)由题意可得列联表如下：

网购迷
非网购迷
合计
年龄不超过40岁
20
45
65
年龄超过40岁
5
30
35
合计
25
75
100
根据列联表中的数据可得，
所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；
(2)由频率分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40岁的市民人数的所有值为0，1，2，则
，，
∴的分布列为

0
1
2




21．(2020·全国高三专题练习)我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别如下表：
空气污染指数
0～50
51～100
101～150
151～200
201～250
251～300
>300
空气质量
优
良
轻微污
轻度污
中度污
中度重污
重污染
我们把空气污染指数在0～100内的称为A类天，在101～200内的称为B类天，大于200的称为C类天．某市从2014年全年空气污染指数的监测数据中随机抽取了18天的数据制成如下茎叶图(百位为茎)：

(1)从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率；
(2)从这18天中任取3天，记X是达到A类天或B类天的天数，求X的分布列．
【答案】(1)；(2)分布列见解析.
【解析】(1)从这18天中任取3天，取法种数为种不同的取法，
其中3天中至少有2个A类天的取法种数为种，
所以这3天至少有2个A类天的概率为.
(2)的所有可能取值是，
当时，,当时，,
当时，,当时，,
所以的分布列为

3
2
1
0







22．(2020·全国高三专题练习)2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
(1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】(1)；(2)选择第二种方案更合算.
【解析】(1)选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件，则，
所以两位顾客均享受到免单的概率为；
(2)若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.
，，
，.
故的分布列为，










所以(元).
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，
由已知可得，故，
所以(元).
因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
23．(2020·全国高三专题练习)某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．
(1)求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；
(2)考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中女员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记，试比较与的大小．(只需写出结论)
【答案】(1)男员工3人，女员工2人；(2)分布列见解析，；(3).
【解析】(1)抽取的5人中男员工的人数为，
女员工的人数为.
(2)由(1)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人.
所以，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.
根据题意，，
，.
随机变量X的分布列是：
X
0
1
2
P



数学期望.
(3).
24．(2020·辽宁高三月考)江苏实行的“新高考方案：”模式，其中统考科目：“”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“”指首先在在物理、历史门科目中选择一门；“”指再从思想政治、地理、化学、生物门科目中选择门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．
(1)求该校最终选地理的学生概率；
(2)该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量．
①求随机变量的概率；
②求的概率分布列以及数学期望．
【答案】(1)；(2)①；②分布列见解析，.
【解析】(1)该校最终选地理的学生为事件，；
因此，该校最终选地理的学生为；
(2)①由题意可知，，所以，；
②由于，则，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：











．
25．(2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三其他模拟)甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定每一局比赛获胜方记1分，失败方记0分，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛甲获胜的概率都是．
(1)求比赛结束时恰好打了7局的概率；
(2)若现在的比分是3比1甲领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，.
【解析】(1)恰好打了7局甲获胜的概率是，
恰好打了7局乙获胜的概率是，
故比赛结束时恰好打了7局的概率．
(2)的可能取值为，
，，
，，
故的分布列为

2
3
4
5





则的数学期望．
26．(2020·全国高三专题练习)某班有名班干部，其中男生人，女生人，任选人参加学校的义务劳动．
(1)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(2)设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和．
【答案】(1)；(2)，．
【解析】(1)某班从名班干部(男生人、女生人)中任选人参加学校的义务劳动，总的选法有种，
男生甲或女生乙都没有被选中的选法：
则男生甲或女生乙被选中的选法有种，
∴男生甲或女生乙被选中的概率为；
(2)总的选法有种，男生甲被选中的选法有种，∴，
男生甲被选中、女生乙也被选中选法有种，∴，
∴在男生甲被选中的前提下，女生乙也被选中的概率为．