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2021年高考艺术生数学基础复习 考点37 利用导数求单调性(教师版含解析)
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这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点37 利用导数求单调性(教师版含解析),共21页。教案主要包含了已知单调性求参数,单调性的应用,图像问题等内容,欢迎下载使用。
考点37 利用导数求单调性一.函数的单调性与导数的关系函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,(1)若f′(x)>0,则f(x)在区间(a,b)内是单调递增函数;(2)若f′(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内是单调递减函数;(3)若恒有f′(x)=0,则f(x)在区间(a,b)内是常数函数.注意:讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则二.已知函数单调性求参数范围(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增,则在区间D上f′(x)≥0恒成立;(2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减,则在区间D上f′(x)≤0恒成立;(3)已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间,则f′(x)>0在区间D上有解;(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间,则f′(x)<0在区间D上有解.考向一 求单调区间(无参)【例1-1】(2020·江苏)函数的单调增区间是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由得,由得,解得,因此函数的单调增区间是.故选:C. 【例1-2】(2021·湖北高二开学考试)函数的单调递减区间为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】当时,解得,则函数的单调递减区间为.故选:C.【举一反三】1.函数y=4x2+的单调增区间为( )A.(0,+∞) B.C.(-∞,-1) D.【答案】B【解析】由y=4x2+,得y′=8x-,令y′>0,即8x->0,解得x>,∴函数y=4x2+的单调增区间为.故选B.2.(2021·全国课时练习)函数的单调递增区间为( )A. B.C.和 D.和【答案】B【解析】函数的定义域为,且.由,可得,解得.所以,函数的单调递增区间为.故选:B.3.(2021·江苏常州市·)设函数,若函数的图象在点(1,)处的切线方程为y=x,则函数的增区间为( )A.(0,1) B.(0,) C.(,) D.(,1)【答案】C【解析】的定义域为,∵函数的图象在点(1,)处的切线方程为y=x,∴解得:∴欲求的增区间只需,解得:即函数的增区间为(,)故选:C考向二 已知单调性求参数【例2-1】(2020·河南新乡市·高三一模(理))已知函数,若在区间上单调递增,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】因为的定义域为,,由,得,解得,所以的递增区间为.由于在区间上单调递增,则,所以,解得.因此,实数的取值范围是.故选:A.【例2-2】(2021·陕西西安市·长安一中)若函数在上为减函数,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得,在上恒成立,所以在上恒成立,因为在的最大值为,所以.故选:A.【例2-3】.(2020·江西省修水县英才高级中学高三月考(文))若函数存在单调递减区间,则实数b的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由,可得,由题意可得存在,使得,即存在,使得,等价于,由对勾函数性质易得,故选B.【举一反三】1.(2020·安徽高三月考(文))设函数在上单调递减,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】函数在上单调递减,当时,,在时恒成立,即,,又在单调递减,故,故.故选:B.2.(2020·安徽高三月考(文))若函数在上是减函数,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】∵在上是减函数,所以在上恒成立,即,即,∵,∴,故选:A.3.(2021·山东高三专题练习)函数是上的单调函数,则的范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】函数是上的单调函数,即或(舍)在上恒成立,解得故选:D4.(2021·南昌市新建一中高二期末(理))已知函数,若函数在上单调递减,则a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】,因为函数在上单调递减,所以,即,令,由于在都是增函数,所以在单调递增,所以,所以,又,解得.故选:D.考向三 单调性的应用【例3-1】(2021·河南高三期末(文))已知函数,则不等式的解集为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】,是偶函数,,设,则,所以是增函数,时,,即时,,所以在上,是增函数.又是偶函数,所以不等式化为,所以,解得或.故选:A.【例3-2】(2021·湖北开学考试)已知且,且,,则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】设,则,令,解得,令,解得,即函数在上单调递增,在上单调递减,因为,所以,即,因为,所以,因为,,所以,,,结合函数的单调性易知,即,因为,所以,,故选:A.【举一反三】1.(2021·江苏启东市·高三期末)已知,,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】令,,时,,则在上递减,时,,则在上递增,由可得,化为∴,则,同理,;,,因为,所以,可得,因为在上递减,,∴,故选:C. 考向四 图像问题【例4】(2021·广西百色市=)的导函数的图象如下图所示,则函数的图象最有可能是图中的( )
A. B.C. D.【答案】A【解析】由的图象可知:当时,,当时,,所以在和单调递减,在单调递增,可排除B、C、D.故选:A.【举一反三】1.(2021·陕西咸阳市)已知函数的导函数为,若的图象如图所示,则函数的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】由导函数得图象可得:时,,所以在单调递减,排除选项A、B,当时,先正后负,所以在先增后减,因选项C是先减后增再减,故排除选项C,故选:D.2.(2021·江苏南通市)己知函数的图象是下列四个图象之一,且其导函数的图象如下图所示,则的图象是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】函数的图象可知在上,,逐渐变大,故函数单调递增,增加速度越来越快;在上,,逐渐变小,故函数单调递增,增加速度越来越慢;在上,,逐渐变小,函数单调递减,递减速度越来越快;在上,,逐渐变大,函数单调递减,递减速度越来越慢;故选:A.3.(2021·天津河东区)若函数图象如图所示,则图象可能是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】由图象可得:在上,在上,根据原函数图象与导函数图象关系可得:图象在上为增函数,在上为减函数,可排除A、D,且在x=0处,,即在x=0处,的切线的斜率为0,可排除B,故选:C1.(2020·重庆市凤鸣山中学高三月考)函数的一个单调递减区间是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】,该函数的定义域为,,,可得,令,可得,即,解得.所以,函数的单调递减区间为.当时,函数的一个单调递减区间为,,对任意的,,,,故函数的一个单调递减区间为.故选:A.2.(2021·石嘴山市第三中学高三月考(理))若曲线在点处的切线过点,则函数的单调递减区间为( )A. B.,(-1,0)C. D.【答案】D【解析】因为,所以,所以切线的斜率,又曲线在点处的切线过点,所以,所以,解得,所以,,由得且,所以函数的单调递减区间为,.故选:D3.(2020·江苏淮安市·高三期中)若幂函数的图象过点,则函数的递减区间为( )A. B.和C. D.【答案】B【解析】因为为幂函数,且过点,所以设,所以,所以,所以,所以,则,当或时,;当时,,所以的递减区间为和,故选:B.4.(2021·全国课时练习)若函数恰好有三个不同的单调区间,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得,函数恰好有三个不同的单调区间,有两个不同的零点,所以,,解得.因此,实数的取值范围是.故选:D.5.(2020·浙江高三月考)已知函数的单调递增区间是,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可得,则的解集为,即,,可得,∴,故选:C.6.(2020·盂县第三中学校高三月考(理))已知函数在上单调增函数,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由,可得,又因为在上是单调增函数,只需在上恒成立,又在上单调递增,所以故的取值范围为,故选:D7.(2021·全国高二课时练习)已知函数的单调递减区间为,则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题得的解集为,所以不等式的解集为,所以故选:B8.(2021·全国高三开学考试(文))“”是“函数在上单调递增”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若在上单调递增,则对任意的恒成立,∴有对任意的恒成立,即,而当且仅当时等号成立,则.∴“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选:A.9.(2021·江西赣州市)已知函数,若在R上为增函数,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】在R上为增函数,故在R上恒成立,即恒成立,而,故.故选:D.10.(2021·全国课时练习)导函数y=f ′(x)的图象如图所示,则函数y=f (x)的图象可能是( )A.B.
C. D.【答案】D【解析】由图可知当x>0时,f ′(x)>0,当x<0时,f ′(x)<0,所以函数f (x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,对照图象,D选项符合.故选:D.11.(2021·山东滨州市·)若定义在上的函数的图象如图所示,为函数的导函数,则不等式的解集为( ).A. B.C. D.【答案】A【解析】由图像可知:在(-3,-1),(1,+∞)为正,在(-∞,-3),(-1,1)为负.可化为:或解得:-2<x<-1或x>1或x<-3故不等式的解集为:.故选:A12.(2021·陕西西安市·长安一中)已知函数的导函数是,的图象如图所示,下列说法正确的是( )A.函数在上单调递减 B.函数在处取得极大值C.函数在上单调递减 D.函数共有个极值点【答案】C【解析】对于选项,由导函数的图象得函数在上单调递增,故错误;对于选项,由导函数的图象得函数在上单调递增,在上单调递增,所以不是的极值点,故错误;对于选项,由导函数的图象得函数在上单调递减,故正确;对于选项,由导函数的图象得函数共有个极值点,是极小值点,是极大值点,故错误.故选:C.13.(2021·西安市第八十三中学)函数在定义域内可导,其图象如图所示,记的导函数为,则不等式的解集为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可知,求函数的单调减区间,根据图象,解集为,故选:A.14(多选).(2020·江苏盐城市·高三期中)函数单调递增的必要不充分条件有( )A. B. C. D.【答案】AC【解析】由函数在区间单调递增,则在区间恒成立,即在区间恒成立,①当时,,不满足题意;②当时,,又,即,不满足题意;③当时,,又, 在区间恒成立,则,综上:函数单调递增的充要条件为,故选:AC.15.(2021·全国课时练习)若函数的单调递减区间为,则_________.【答案】【解析】由题意,所以的两根为和3,所以,所以,.故答案为:.16.(2020·广西桂林市·逸仙中学)函数在上单调递增,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由在上单调递增可知,即设,则,即,解得综上所述,故答案为:17.(2021·西安市第八十三中学)若函数在区间(-1,1)上存在减区间,则实数的取值范围是________ .【答案】【解析】,则,函数在区间(-1,1)上存在减区间,只需在区间上有解,,记,对称轴,开口向下,只需,所以,解得, 故答案为:18.(2021·全国课时练习)已知函数f (x)的导函数y=f ′(x)的图象如图所示,则函数f (x)的单调递增区间是________.【答案】和【解析】由y=f ′(x)的图象可得当和时,,此时单调递增,所以函数f (x)的单调递增区间是和.故答案为:和.
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