2021年高考艺术生数学基础复习 考点14 等比数列（教师版含解析）

这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点14 等比数列（教师版含解析），共26页。教案主要包含了等比数列的前n项和性质，历史中的数列等内容，欢迎下载使用。
考点14 等比数列
知识理解

一．等比数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.
二．等比数列的有关公式
1.通项公式：an＝a1qn－1an＝am·qn－m.
　　　　　　
2.前n项和公式：

三． 等比数列的性质
1.等比中项
(1)如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项
⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
2.前n项和的性质

（2） {an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列
(3)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.
考向分析
考向一 等比数列基本运算
【例1】(1)(2020·重庆九龙坡区·渝西中学高三月考)设等比数列{an}的前n项和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，则S6＝
(2)(2021·全国高三专题练习)等比数列中，．记为的前项和.若，=________．
(3)(2020·江西高三其他模拟)已知数列是正项等比数列，且，又，，成等差数列，则的通项公式为
【答案】(1)﹣63(2)6(3)
【解析】(1)设公比为，则，即，解得，所以，
所以，故选:A.
(2)设的公比，由可得，
当时，所以，即，此时方程没有正整数解；
当时，所以，即，解得.故答案为：6.
A． B． C． D．
(3)由题意，设数列的公比为，
因为，所以，解得(负值舍去)；
又，，成等差数列，
所以，即，
则，解得， .
【方法总结】
（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.



【举一反三】
1．(2020·济南旅游学校)设等比数列满足，，则公比______．
【答案】
【解析】由于数列是等比数列，故由，可得，
，两式作比可得：，解得，即.故答案为：
2．(2020·河南高三月考)已知等比数列满足且，则________.
【答案】
【解析】因为，所以.故由等比数列的通项公式得.故答案为：
3．(2020·河南高三其他模拟)已知在等比数列中，，，则数列的通项公式为_______.
【答案】或
【解析】设等比数列的公比为q，因为，所以，解得，
所以，解得或.
当时， ，所以， 即有；
当时， ，所以， 即有．
故答案为：或.
4．(2020·上海市三林中学高三期中)数列中，数列前项和为，若，，则________.
【答案】1023
【解析】因为，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.故答案为：.
考向二 等比数列中项性质
【例2】(1)(2020·浙江高三开学考试)已知等比数列，，，则( )
A． B． C． D．1
(2)(2020·防城港市防城中学高三月考)等比数列中，，，则与的等比中项是( )
A． B．4 C． D．
(3)(2020·广西高三其他模拟)已知各项不为0的等差数列{an}满足，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】(1)D(2)A(3)D
【解析】(1)由题意得：，由，得，故，
故选：D.
(2)∵，，∴.又.∴与的等比中项是.
故选：A.
(3)因为{an}是各项不为0的等差数列，由可得：．解得，所以，所以，关系存在D
【举一反三】
1．(2020·广西北海市·高三一模)若数列是等比数列，且，则( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】因为数列是等比数列，由，得，所以，因此.
故选：C.
2．(2020·河南郑州市·高三月考)正项等比数列满足，则( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】根据题意，等比数列满足，则有，即，
又由数列为正项等比数列，故．故选：C．
3．(2020·河南高三期中)公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则( )
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【解析】等差数列中,,故原式等价于解得或
各项不为0的等差数列,故得到，数列是等比数列，故=16.故选：D.
4．(2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三期中)等比数列的各项均为正数，且.则( )
A．3 B．505 C．1010 D．2020
【答案】C
【解析】由，
所以.故选：C
5．(2020·石嘴山市第三中学高三期中)在正项等比数列中，，则的值是( )
A．10 B．1000 C．100 D．10000
【答案】D
【解析】正项等比数列中，因为，所以，即，，故，.故选：D.
6.(2020·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三月考)在等比数列中，是方程的根，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意：，，故，，
故，则.故选：A.
7．(2020·扬州市新华中学高三月考)已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是( )
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】在等差数列中，由，得，，
在等比数列中，由，得，，，
则．故选：D．
考向三 等比数列的前n项和性质
【例3】(1)(2020·安徽和县)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则t＝( )
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣9
(2)(2020·广东佛山市·高三月考)等比数列的前n项和为，若，则为( )
A．18 B．30 C．54 D．14
(3)(2020·全国高三专题练习)在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．135 B．100
C．95 D．80
(4)(2021·山西太原市)已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则( ).
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】(1)C(2)B(3)A(4)B
【解析】(1)因为等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则a1＝S1＝33+3t＝27+3t，
a2＝S2﹣S1＝(34+3t)﹣(33+3t)＝54，a3＝S3﹣S2＝(35+3t)﹣(34+3t)＝162，
则有(27+3t)×162＝542，解得t＝﹣3，故选：C.
(2)是等比数列，则也成等比数列，
，，，则，，则.故选：B.
(3)由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，
其首项为40，公比为，所以a7＋a8＝.故选：A
(4)由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴，
设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即，
∴，∵,∴解得，
又前3项之积，解得，∴.故选:B.
【举一反三】
1．(2021·四川眉山)已知等比数列的前项和为，若，则( )
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【解析】，所以，解得.故选：
2．(2020·静宁县第一中学高三月考)设等比数列的前项和为，若，，则( )
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】C
【解析】因为为等比数列的前项和，所以，，成等比数列，
所以，即，解得.故选：C
3．(2020·江苏高三专题练习)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=
A．40 B．60
C．32 D．50
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可知，数列S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9是等比数列，即数列4,8，S9−S6，S12−S9是等比数列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，选B．
4．(2021安徽池州市)已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，设，则，
所以，，故，故选D.
5．(2020·陕西铜川市·高三二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6：S3=1：2，则S9：S3=(　　)
A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：3
【答案】C
【解析】∵{an}为等比数列则S3，S6-S3，S9-S6也成等比数列
由S6：S3=1：2令S3=x，则S6=x, ,则S3：S6-S3=S6-S3：S9-S6=-1：2
则S9-S6=x则S9=则S9：S3=：x=3：4故选C．
6．(2020·全国高三专题练习)设，.若是与的等比中项，则的最小值为( )
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】∵是与的等比中项，∴，∴.
∵，.∴，
当且仅当时取等号.∴的最小值为.故选：D.
7．(2020·江西南昌二中高三月考)已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，对任意的，，
由等比中项的性质可得，可得，则.
由等差中项的性质可得.故选：A.
8．(2020·全国高三专题练习)已知各项为正数的等比数列满足﹐则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知各项为正数的等比数列满足，由等比中项的性质可得，，
由对数的运算性质可得.故选：D.
考向四 等比数列的定义运用
【例4】(2020·江苏南京市第二十九中学高三期中节选)已知等差数列的前项和为，，，数列满足，.证明：数列是等比数列，并求数列与数列通项公式；
【答案】证明见解析；；，
【解析】，
所以数列是首项为，公比等比数列，
所以，即，；
由，解得，，所以
【方法总结】
等比数列的判定方法
定义法
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法
若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列


【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)已知数列满足，，证明：是等比数列；
【答案】见解析；
【解析】由题意，数列满足，所以
又因为，所以，即，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列．
2．(2020·江苏省镇江中学高三开学考试)在数列中，，，求证数列为等比数列，并求关于的通项公式；
【答案】证明见解析；
【解析】，
∴为等比数列且首项为，公比为2，
∴，.
3．(2020·安徽高三月考)已知正项数列满足：，，，判断数列是否是等比数列，并说明理由；
【答案】答案不唯一，具体见解析；
【解析】∵，
又是正项数列，可得，∴，
∴当时，数列不是等比数列；
当时，易知，故，
所以数列是等比数列，首项为，公比为2.
4．(2020·安徽高三月考)已知数列满足：=1，.求证：数列是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】设，则，
∴
∵，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列是等比数列

考向五 历史中的数列
【例5】(2020·江阴市华士高级中学)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯( )
A．3盏 B．9盏 C．27盏 D．81盏
【答案】C
【解析】根据题意，设塔的底层共有盏灯，则每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，
则有，解可得：，所以中间一层共有灯盏.故选：C
【举一反三】
1．(2020·宁夏吴忠市·吴忠中学)明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为( )

A．3 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【解析】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，则有，解得，中间层灯盏数，故选：C.
2．(2020·安徽高三开学考试)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题(意为)：“有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”那么，此人第天和第天共走路程是( )
A．里 B．里 C．里 D．里
【答案】A
【解析】设这个人第天所走的路程为里，可知是公比的等比数列，
由，得，解得，
.所以此人第天和第天共走了里.故选：A.
3．(2020·贵州贵阳一中高三月考)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】设该女子第一天织布尺，则5天共织布，解得尺，在情境模拟下，设需要天织布总尺数达到165尺，则有整理得，解得.故选：D．
强化练习

一、单选题
1．(2020·云南高三其他模拟)已知、、、成等差数列，、、、、成等比数列，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于、、、成等差数列，可得，
设等比数列、、、、的公比为，则，
由等比中项的性质可得，，因此，.故选：D.
2．(2020·威远中学校高三月考)等比数列的各项均为正数，且，则( ).
A． B． C．20 D．40
【答案】B
【解析】设数列的公比为，由得，所以,
由条件可知，故.由得，所以,.故选：B
3．(2020·四川省峨眉第二中学校高三月考)已知正项等比数列中，，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在正项等比数列中，由所以，又，
所以所以故选：D
4．(2020·西藏山南二中高三月考)已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为( )
A．15 B．17 C．19 D．21
【答案】B
【解析】由题意可得，，
由等比数列的通项公式可得，所以，
故选：B.
5．(2020·黑龙江大庆市·大庆中学高三期中)等比数列的前项和为，若，，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在等比数列中，，，则为递增数列，，
由已知条件可得，解得，，，
因此，.故选：A.
6．(2020·四川宜宾市·高三一模)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
所以，即，化简得解得：或(舍)故选：C
7．(2020·四川宜宾市·高三一模)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为( )(结果精确到0.1，参考数据：，)
A．2.2 B．2.4 C．2.6 D．2.8
【答案】C
【解析】设大老鼠每天打洞的进度形成数列，小老鼠每天打洞的进度形成数列，
则由题可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以第天后大老鼠打洞的总进度为，
数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以第天后小老鼠打洞的总进度为，
则由题可得，整理可得，
解得或，即(舍去)或，
.故选：C.
8．(2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中)已知等比数列满足，数列为等差数列，其前项和为，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在等比数列中，，由等比中项的性质可得，解得，，
由等差数列的求和公式可得.故选：D.
9．(2020·河北高三月考)在公比为的正项等比数列中，已知，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由等比数列的性质，可得，因为正项等比数列中，所以，
又由，所以，解得.故选：A.
10．(2020·西藏拉萨市第二高级中学高三期中)等差数列的公差为2，若成等比数列，则( )
A．72 B．90 C．36 D．45
【答案】B
【解析】由题意知：，，又成等比数列，
∴，解之得，
∴，则，∴，故选：B
11．(2020·肇东市第四中学校高三期中)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝( )
A．4 B．5 C．8 D．15
【答案】C
【解析】∵a3a11＝4a7，∴＝4a7，
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝8．故选：C
12．(2020·湖南高三月考)已知是公差为1的等差数列，且是与的等比中项，则( )
A．0 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【解析】是公差为1的等差数列，
又是与的等比中项，，即，解得，故选：C.
13．(2020·全国高三专题练习)已知正项等比数列满足，，又为数列 的前n项和，则( )
A． 或 B．
C．15 D．6
【答案】B
【解析】正项等比数列中，，，解得或(舍去)
又，，解得，，故选：B
14．(2020·广东深圳市·明德学校高三月考)在等比数列中，是数列的前n项和．若，则( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设的公比为q，则．故选：B.
15．(2020·河南高三月考)在数列中，，，则( )
A．32 B．16 C．8 D．4
【答案】C
【解析】因为，所以，所以数列是公比为2的等比数列．
因为，所以．故选：C
16．(2020·陕西西安市·高三月考)已知数列满足且，则的前10项的和等于( )．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，数列满足，即，又由，即，解得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，即的前10项的和为.故选：B.
17．(2020·江西高三期中)已知为等比数列，，，则的值为( )
A． B．9或 C．8 D．9
【答案】D
【解析】为等比数列，所以所以故选：D
18．(2020·安徽六安市·六安一中高三其他模拟)在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是( )
A．25 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】是等比数列，且，.
又，，，当且仅当时取等号.故选：B.
19．(2020·全国高三专题练习)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为( )
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【解析】由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8，由S8-2S4=5，可得S8-S4=S4+5.
又由等比数列的性质知S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.
当且仅当S4=5时等号成立，所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.故选：C.
20．(2020·全国高三专题练习)各项均为正数的等比数列的前项和为，若则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，由题意易知所以，，
两式相除得，化简得，解得，所以,故选B.
21．(2020·东莞市光明中学高三月考)已知等比数列的前n项和为，且，，则( )
A．16 B．19 C．20 D．25
【答案】B
【解析】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.故选：B
22．(2020·陕西宝鸡市·高三月考)已知等比数列中，，，，则( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，
即，因为，所以，
则，即，解得，故选：B.
23．(2020·辽宁大连市·辽师大附中高三月考)已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为( )
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
【解析】根据题意，数列为等比数列，设，
又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，
故；故选：
24．(2020·全国)设等比数列的前项和为，若，则公比( )
A．1或 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】设等比数列的首项为，
由题意可知，当时，，显然成立；
当时，由得，
化简得，所以
解得.综合得.故选：A.
25．(2020·江苏南京市·金陵中学高三月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则S5＝(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正项等比数列{an}的前n项和为Sn，，
∴，解得a1＝1，q＝，∴S5＝＝＝．故选：B．
26．(2020·山东高三专题练习)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为( )
A．180里 B．170里 C．160里 D．150里
【答案】C
【解析】根据题意，设此人每天所走的路程为数列，其首项为，即此人第一天走的路程为，
又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则是以为首项，为公比的等比数列，
又由，即有，解得：；故选：．
27．(2019·山东潍坊市·高二月考)若等比数列的前n项和，则该数列的公比q的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为，故可得.故.故选：C.
28．(多选)(2020·辽宁葫芦岛市·高三月考)已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前项和为，且，则( )
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由，，成等差数列，得.
设的公比为，则，解得或(舍去)，
所以，解得.所以数列的通项公式为，
，故选：AC.
29．(2020·全国高三专题练习(理))已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．则=_________.
【答案】
【解析】设的公差为，由题意：，即，
整理得：，∴(舍去)，，故：，
故答案为：.
30．(2020·海南高三专题练习)数列满足且，则的值是___________
【答案】11
【解析】因为，所以数列是以为公比的等比数列，
由得，所以，即，
故答案为：11.
31．(2020·湖南永州市·高三月考)在等比数列中，若，则＝________.
【答案】
【解析】因为等比数列中，若，所以，所以.故答案为：.
32．(2020·石嘴山市第三中学高三月考)设为等比数列,其中，则___________；
【答案】25
【解析】由等比数列性质可得，所以故答案为25
33．(2020·江西省信丰中学高三月考(文))若等比数列的各项均为正数，且，则等于__________．
【答案】50
【解析】由题意可得，=，填50.
34．(2020·全国高三开学考试)已知在等比数列中，，，则首项______.
【答案】4
【解析】由，得,即， 又，，所以.
故答案为：4
35．(2020·贵州安顺市·高三其他模拟(理))在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】依题意，
依题意存在，使得，
即，即，
所以，
所以.
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
36．(2020·广东肇庆市·高三月考)已知等比数列中，，，则________．
【答案】21
【解析】因为为等比数列，设公比为，
所以①，又②
得，所以，
所以，
故答案为：21
37．(2020·全国高三专题练习)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝________.
【答案】10
【解析】根据等比数列的前n项和的性质，若Sn是等比数列的和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍是等比数列，得到(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，
即.
解得S3＝10或S3＝90(舍)．
故答案为：
38．(2020·全国高三专题练习)设等比数列的前n项和为，若，则为________.
【答案】
【解析】∵等比数列的前项和为,且
∴
由等比数列的性质得,
所以
故答案为:
39．(2020·江苏苏州市·吴江中学高三其他模拟)等比数列的前项和为,则实数_______.
【答案】1
【解析】
最后代回原式进行检验。
40．(2020·黑龙江大庆市·铁人中学高三月考(文))已知数列满足且，证明数列是等比数列；
【答案】证明见解析；
【解析】因为，所以，即，
所以是首项为1公比为3的等比数列
42．(2020·全国高三专题练习)已知数列满足：.证明数列是等比数列，并求数列的通项；
【答案】见证明；
【解析】证明：因为，所以．
因为所以所以．
又，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以．
43．(2020·安徽高三三模)已知数列，满足，且．求证：数列为等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】由，得．而．
故数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
44．(2020·全国高三专题练习)已知数列满足，.求证：数列是等比数列；
【答案】证明见解析；
【解析】，，
因此，数列是等比数列；