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山西省晋中市太谷县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版 含答案）
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这是一份山西省晋中市太谷县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山西省晋中市太谷县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．y+x2﹣1＝0 B．x2+3＝0 C．x﹣3y+5＝0 D．2x﹣6＝
2．关于反比例函数，下列各点在此双曲线上的是（ ）
A．（3，1） B．（，﹣3）
C．（﹣1，﹣） D．（3，﹣1）
3．已知2是一元二次方程x2﹣c＝0的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
4．在中，，如果的正弦值是，那么下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．一个圆柱体钢块，正中央被挖去了一个长方体孔，其俯视图如图所示．则此圆柱体钢块的主视图可能是下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
6．箱子内装有除颜色外均相同的28个白球及2个红球，小芬打算从箱子内摸球，以每次摸到一球后记下颜色将球再放回的方式摸28次球．若箱子内每个球被摸到的机会相等，且前27次中摸到白球26次及红球1次，则第28次摸球时，小芬摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．对抛物线：y＝x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是（1，﹣2）
C．与x轴有两个交点 D．与y轴的交点是（0，3）
8．如图，与关于原点O位似，相似比为，已知，，则点E的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则b的值为（ ）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
10．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元
D．8月份该厂利润达到200万元
二、填空题
11．如图，某河提进水坡AB的坡比 = 1：，堤高BC = 5 m，则坡面AB的长是 _________m．
12．如图，将一个装有水的杯子斜放在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，水面宽度BE＝12厘米，此时杯子的倾斜角α等于_____度．
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
0
﹣2
﹣5
﹣6
﹣5
…
则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是_____．
14．若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是___________．
15．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若正方形的边长为2，则OE的长为__________．
三、解答题
16．（1）计算：tan30°－ sin230°－sin45°；
（2）解方程：x2﹣6x+3＝0；
17．如图，直线y＝x﹣3与反比例函数y＝相交于点 A（﹣2，m）、B（n，3）．
（1）连接OA、OB，求反比例函数关系式及△AOB的面积；
（2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式的解集．
18．某商场，为了吸引顾客，在“白色情人节”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：一是直接获得20元的礼金券，二是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色（如表）决定送礼金券的多少．
球
两红
一红一白
两白
礼金券（元）
18
24
18
（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．
（2）如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．
19．智能手机如果安装了一款测量软件后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准雕像底部按键，再对准雕像顶部按键，即可测量出雕像的高度．测量者AB所用数学原理如图②所示，测量者AB与雕像CD都垂直于地面BE，若手机显示AC＝20m，AD＝32m，∠CAD＝37°，求此时雕像CD的高．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
20．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
正方形网格是认识数和形的绝好途径．在网格中构造几何图形具有直观性和可操作性，网格中的数学问题具有显著的数形结合和转化的特征．下面网格图中每个小正方形的边长都为1．
如图1，点A、B、C、D都是格点，连接AC，BD交于点O，则AC，BD互相平分．
如图2，点A、B、C、D都是格点，连接AC，BD交于点M，则点M是线段AC的四等分点．
任务一：请你观察图1，连接AD、DC、CB、AB，则AC，BD互相平分，其理由是 ．
任务二：请你观察图2，说明点M是AC的四等分点的理由．
任务三：在下面网格图中按要求作图．要求：①仅用无刻度直尺；②保留必要的思考痕迹．
在图3中的线段BC上做两点M、N，使得△ABM与△ABN都为等腰三角形．
21．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足如图所示的线段表示的函数关系．
（1）求商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
22．综合实践
自主探究：
在课堂上，老师指导大家做以下活动：如图1，将已知矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点D落在线段BC上，得到矩形AEFG，连接DG交AE于点H，在猜想线段HD与HG的关系时，大家一致认为HD=HG，并且有两个小组给出如下的证明思路：
奋进组：要想证明HD=HG，已经知道线段HG是直角三角形GAH的斜边，所以可以构造一个以HD为斜边的直角三角形，然后证明这两个三角形全等；
勤奋组：要想证明HD=HG，可构造一个三角形，使得H、A分别在此三角形的两条边上，再证明HA是这个三角形的中位线；
操作思考：
（1）请你在图1中分别作出符合“奋进组”和“勤奋组”思路需要的辅助线，并将辅助线的做法写在下面的横线上．
奋进组： ．
勤奋组： ．
（2）请你根据“奋进组”和“勤奋组”提出的思路和作出的辅助线对下面问题做出选择（ ）
A．“奋进组”的思路正确，“勤奋组”的思路不正确
B．“勤奋组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确
C．“奋进组”和“勤奋组”的思路都正确
D．“奋进组”和“勤奋组”的思路都不正确
变式证明：
将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点D落在线段CB的延长线上点E处，得到矩形AEFG，连接DG交EA的延长线于点H，如图2，那么线段HD与HG还相等吗？说明理由．
拓展延伸：
将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点C落在线段CB的延长线上点F处，得到矩形AEFG，连接DG交EA的延长线于点H，且点C、A、G在同一直线上．如图3．问：线段HD与HG还相等吗？如果相等请直接写出的值；如果不相等，请说明理由．
23．综合探究
如图，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A、B，与X轴的另一交点为C．已知动点M在直线AB上方的抛物线上，动点P在线段AB上．
（1）求抛物线的解析式
（2）连接AM、BM，求△MAB的面积最大时点M的坐标．
（3）连接MP、MB，请直接写出当△BMP为等腰直角三角形时点P的坐标．
参考答案
1．B
【分析】
根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数，由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件为正确答案．
【详解】
A、是二元二次方程，故A错误；
B、是一元二次方程，故B正确；
C、是二元一次方程，故C错误；
D、是分式方程，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．D
【分析】
根据反比例函数图象上k=xy=-3解答即可．
【详解】
解：∵k=xy=-3，四个选项中只有D符合．
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
3．B
【分析】
先把x＝2代入方程x2﹣c＝0可求出c＝4，然后利用直接开平方法解方程得到该方程的另一个根．
【详解】
解：把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，解得c＝4，
方程为x2﹣4＝0，
所以x2＝4，
解得x1＝2，x2＝﹣2，
即该方程的另一个根是﹣2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或的一元二次方程可采取直接开平方的方法解一元二次方程．
4．A
【分析】
根据锐角的正弦三角函数的定义，即可得到答案.
【详解】
∵在中，，的正弦值是，
∴sinA==，
∴，
故选A.
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角的正弦三角函数的定义，是解题的关键.
5．C
【分析】
主视图是从物体正面看所得到的图形．几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．
【详解】
解：此圆柱体钢块的主视图可能是：
故选：C．
【点睛】
本题考查简单组合体的三视图，画三视图时注意“长对正，宽相等，高平齐”，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．
6．C
【分析】
直接利用概率公式计算．
【详解】
解：因为每次摸到一球后记下颜色将球再放回，所以箱子内总装有除颜色外均相同的28个白球及2个红球，
所以第28次摸球时，小芬摸到红球的概率＝＝．
故选：C．
【点睛】
本题考查概率公式的应用，对于放回试验，每次摸到红球的概率是相等的.
7．C
【分析】
根据△的符号，可判断图象与x轴的交点情况；根据二次项系数可判断开口方向；令函数式中x＝0，可求图象与y轴的交点坐标；利用配方法可求图象的顶点坐标．
【详解】
解：A、∵二次项系数1＞0，抛物线开口向上，故本选不符合题意；
B、∵y＝x2＋2x−3＝（x＋1）2−4，∴抛物线顶点坐标为（−1，−4），故本选项不符合题意；
C、∵△＝22−4×1×（−3）＝16＞0，抛物线与x轴有两个交点，故本选项符合题意；
D、当x＝0时，y＝−3，抛物线与y轴交点坐标为（0，−3），故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系．
8．C
【分析】
根据位似变换的性质计算．
【详解】
解：如图，∵点E（−4，2），与关于原点O位似，相似比为，
∴点E的对应点E′的横纵坐标分别是−4×（−）＝2，2×（−）＝－1，即（2，−1），
故选：C．
【点睛】
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
9．C
【分析】
作BM⊥x轴于M．只要证明△DAO≌△ABM，推出OA＝BM，AM＝OD，由A（﹣3，0），B（2，b），推出OA＝3，可得b＝．
【详解】
解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴BM＝OA，
∵A（，0），B（2，b），
∴BM＝OA＝3，
∴b＝．
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
10．D
【分析】
直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【详解】
解：A、设反比例函数的解析式为y=，
把（1，200）代入得，k=200，
∴反比例函数的解析式为：y=，
当x=4时，y=50，
∴4月份的利润为50万元，故此选项正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；
C、当y=100时，则100=，
解得：x=2，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项正确，不符合题意．
D、设一次函数解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：y=30x-70，
故y=200时，200=30x-70，
解得：x=9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项不正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
11．10
【分析】
由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．
【详解】
解：∵= 1：，
∴tanA= 1：=，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=10m，
故答案为:10．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握坡比的意义是解答本题的关键．
12．30．
【分析】
先由平行线的性质得∠α=∠ABE，再由矩形的性质得∠C=90°，AB∥CD，则∠BEC=∠ABE，求出∠BEC=30°，即可得出答案．
【详解】
由题意得：BE∥桌面，
∴∠α=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AB∥CD，
∴∠BEC=∠ABE，
∵BC=6，BE=12，
∴BC=BE，
∴∠BEC=30°，
∴∠α=∠ABE=∠BEC=30°，
故答案为：30．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，利用含30度角的直角三角形的性质求出∠BEC=30°是解题的关键．
13．x1＝0，x2＝﹣4
【分析】
从表格看，函数的对称轴为x＝−2，根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2，即可求解．
【详解】
解：从表格看，函数二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝−2，
根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2．
故一元二次方程ax2＋bx＋c＝−2的根x＝0或−4．
故答案为：x1＝0，x2＝−4．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，确定函数的对称轴是解题的关键．
14．
【分析】
画树状图得出所有的结果有3种，再找出最后一只摘到B的结果数为2，由概率公式即可得出答案．
【详解】
解：依题意，画树状图如图：
共有3个等可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，
∴最后一只摘到B的概率为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．画出树状图是解题的关键．
15．．
【分析】
过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，然后判断出四边形OMEN是正方形，由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=1，再利用勾股定理列式求出CE，由正方形的性质可得DN=，进一步可得结论．
【详解】
解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，
在△COM和△DON中，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM=ON，
∴四边形OMEN是正方形，
∴ME=NE，
∵∠CED=90°，∠DCE=30°，
∴DE=CD=1，CE=，
∵NE=ME，
∴1+DN=-CM，
∴DN=
∴NE=DN+DE=+1=
∵OE=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
16．（1）；（2），
【分析】
（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）方程利用公式法求解即可．
【详解】
解：（1）tan30°－ sin230°－sin45°
（2）x2﹣6x+3＝0
∵ a＝1，b＝-6，c＝3，
∴△＝（-6）2－4×1×3＝36-12＝24＞0，
∴，
解得：，
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的公式法，特殊角的三角函数值的应用，能运用所学知识点进行计算是解此题的关键．
17．，9；（2）或．
【分析】
（1）将点（﹣2，m）、（n，3）的坐标代入，求解可得得点、的坐标分别为、；根据点、也在反比例函数上，可得反比例函数的表达式为，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，设直线交轴于点，由的面积即可求解；
（2）观察函数图象即可求解．
【详解】
解：（1）将点（﹣2，m）、（n，3）的坐标代入得 ，解得，
故点、的坐标分别为、；
∵点、也在反比例函数上，
即有
故反比例函数的表达式为，
分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，设直线交 轴于点，
对于，令，则，则点 ，
则的面积；
（2）观察函数图象知，不等式的解集为或．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟悉相关性质是解题的关键．
18．(1)见解析 （2）选择摇奖
【详解】
解：（1）树状图为：
∴一共有12种情况，摇出一红一白的情况共有8种，
∴摇出一红一白的概率=；
（2）∵两红的概率P=，两白的概率P=，一红一白的概率P=，
∴摇奖的平均收益是：×18+×24+×18=22，
∵22＞20，
∴选择摇奖．
【点睛】
主要考查的是概率的计算，画树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．雕像CD的高为20m
【分析】
过点C作CF⊥AD，解Rt△ACF得出CF=12m，AF=16m，从而得出DF=16m，进一步证明△ACD是等腰三角形，从而可得答案．
【详解】
解：过点C作CF⊥AD，垂足为F，如图，
在Rt△ACF中，AC=20m，∠CAD=37°
∴sin∠CAD=，cos∠CAD=，
∴CF=12m，AF=16m，
∵AD=32m，
∴DF=AD-AF=32-16=16m
∴点F是AD的中点，
又CF是AD边上的高，且CF为AD边上的中线
∴△ACD是等腰三角形，
∴CD=AC=20m．
∴雕像CD的高为20m．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，本题关键是熟悉三角函数，求出AF的长．
20．任务一：矩形的对角线互相平分；任务二：见解析；任务三：见解析
【分析】
任务一：根据矩形的性质即可得到答案；
任务二：连接AD，BC，证明，依据相似三角形的性质求解即可；
任务三：分两种情况：取点D，E，连接DE，交BC于点M，连接MA，则△MBA是等腰三角形；取点F，连接AF，AF与BC交于点N，△ABN是等腰三角形．
【详解】
解：任务一：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC，BD互相平分，
故答案为：矩形的对角线互相平分；
任务二：如图，连接AD，BC
∵
∴
∴
∴
∴是AC的四等分点；
任务三：如图，取点D，E，连接DE，交BC于点M，连接MA，则△MBA是等腰三角形，如图：
理由是：∵
即DE是AB的垂直平分线，
∴MA=MB
∴△MBA是等腰三角形；
取点F，连接AF，AF与BC交于点N，△ABN是等腰三角形，如图：
理由是：AB=4，AC=3，
由勾股定理得，BC=
又CF=1，CF//AB
∴，即
∴AB=NB=4
∴△ABN是等腰三角形．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，能证明是解答此题的关键．
21．（1）y=-3x²+252x-4860(30≤x≤54)；（2）不能，理由见解析．
【分析】
(1)此题可以先利用“函数过(30，72)，(54，0)”求出m=-3x+162(54≥x≥30)，再按等量关系“每天的销售利润=(销售价-进价)×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围；
(2)根据(1)所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．
【详解】
解：(1)设商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x的关系式为m=kx+b，
根据函数过(30，72)，(54，0)代入m=kx+b，则
，解得，
∴关系式为：m=-3x²+162(54≥x≥30)，
则每件商品的销售利润为(x-30)元，那么m件的销售利润为y=m(x-30)，
又m=162-3x，
∴y=(x-30(162-3x) (54≥x≥30)．
即y=-3x2+252x-4860 (54≥x≥30)．
∵x-30≥0
∴x≥30，
又∵m≥0，
∴162-3x≥0，即x≤54，
∴30≤x≤54，
∴所求关系式为y=-3x2+252x-4860(30≤x≤54)．
(2)由(1)得y=-3x²+252x-4860)=-3(x-42)²+432，
所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元,
∵500＞432,
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=(销售价-进价)×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．
22．（1）奋进组：过点D作DM⊥AE交AE于点M．勤奋组：延长线段FG和DA，相交于点N．（2）C；变式证明：成立；拓展延伸：HD=HG成立，．
【分析】
（1）由题意得：奋进组要构建全等三角形，HD为斜边，故作DM⊥AE于点M；勤奋组要通过平行线分线段对应成比例，利用中位线解决问题，故延长FG,DA相交于点N．
（2）奋进组用全等证明相等，勤奋组用相似证明相等，均可得到答案，即可得到答案．
变式证明：过点D作DP⊥AH，交AH与点P
变式证明：先证得到，再证，得到，即可得到答案．
拓展延伸：过点D作DQ⊥AH，交AH的延长线于点Q点，过点G作GR⊥FH，先证，再证，即可得到，那么通过 得到 则：，故HD=HG成立，．
【详解】
（1）由题意得：奋进组要构建全等三角形，HD为斜边，故作DM⊥AE于点M，如图所示即可实现：
勤奋组要通过平行线分线段对应成比例，利用中位线解决问题，故延长FG,DA相交于点N，如图所示，即可实现：
故，奋进组：过点D作DM⊥AE交AE于点M．
勤奋组：延长线段FG和DA，相交于点N．
（2）奋进组用全等证明相等，勤奋组用相似证明相等，均可得到答案．
故答案选C．
变式证明：过点D作DP⊥AH，交AH与点P
∵
∴
∴
∵,
∴
∴
在与中，
∴
∴
故成立．
拓展延伸：过点D作DQ⊥AH，交AH的延长线于点Q点，过点G作GR⊥FH，交FH于点R
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∵（三角形之间转换实现）
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
故HD=HG成立，．
【点睛】
本题考查了相似三角形、全等三角形的性质及判定，以及旋转图形的性质，综合性较大，难度较大，能正确画出辅助线是解决此题的关键．
23．（1）；（2）点M的坐标为（-2，3）；（3）点P的坐标为或．
【分析】
（1）由直线解析式先求出c的值和点B的坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）过M点作MQ⊥x轴于点Q，交直线AB于点N，设点M的坐标为（x，），则点N的坐标为（x，x+2），求出MN的长，再根据三角形面积公式即可求解；
（3）分和两种情况求解即可．
【详解】
解：（1）把A（-4，0）代入y=x+c得c=2，
∴B（0，2）
∵抛物线经过点A、B，
∴
解得，
所以，抛物线的解析式为：
（2）过M点作MQ⊥x轴于点Q，交直线AB于点N，如图，
设点M的坐标为（x，），则点N的坐标为（x，x+2）
∴
∴
=
∴当时，△MAB的面积最大，此时点M的坐标为（-2，3）
（3）当时，如图（1），过点作轴于点E
过点M作轴，交直线EP于点M，则∠MFP=∠BEP=90︒
又∠MPB=90︒
∴∠MPF+∠BPE=90︒
∵∠BPE+∠PBE=90︒
∴∠MPF=∠PBE
∵MP=BP
∴
∴
设，则，
∴
∴，
∴
将代入得，
解得，（不符合题意，舍去）
∴；
②当时，过点M作MG⊥y轴于点G，过点P作PH//y轴交直线CM于点H，如图（2）
同时①可证，
∴
设，则，
∴，
∴
把代入得，
解得，（舍去）
∴
综上可知点P的坐标为或．
【点睛】
这是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化的数学思想解答．
山西省晋中市太谷县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．y+x2﹣1＝0 B．x2+3＝0 C．x﹣3y+5＝0 D．2x﹣6＝
2．关于反比例函数，下列各点在此双曲线上的是（ ）
A．（3，1） B．（，﹣3）
C．（﹣1，﹣） D．（3，﹣1）
3．已知2是一元二次方程x2﹣c＝0的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
4．在中，，如果的正弦值是，那么下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．一个圆柱体钢块，正中央被挖去了一个长方体孔，其俯视图如图所示．则此圆柱体钢块的主视图可能是下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
6．箱子内装有除颜色外均相同的28个白球及2个红球，小芬打算从箱子内摸球，以每次摸到一球后记下颜色将球再放回的方式摸28次球．若箱子内每个球被摸到的机会相等，且前27次中摸到白球26次及红球1次，则第28次摸球时，小芬摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．对抛物线：y＝x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是（1，﹣2）
C．与x轴有两个交点 D．与y轴的交点是（0，3）
8．如图，与关于原点O位似，相似比为，已知，，则点E的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则b的值为（ ）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
10．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元
D．8月份该厂利润达到200万元
二、填空题
11．如图，某河提进水坡AB的坡比 = 1：，堤高BC = 5 m，则坡面AB的长是 _________m．
12．如图，将一个装有水的杯子斜放在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，水面宽度BE＝12厘米，此时杯子的倾斜角α等于_____度．
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
0
﹣2
﹣5
﹣6
﹣5
…
则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是_____．
14．若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是___________．
15．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若正方形的边长为2，则OE的长为__________．
三、解答题
16．（1）计算：tan30°－ sin230°－sin45°；
（2）解方程：x2﹣6x+3＝0；
17．如图，直线y＝x﹣3与反比例函数y＝相交于点 A（﹣2，m）、B（n，3）．
（1）连接OA、OB，求反比例函数关系式及△AOB的面积；
（2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式的解集．
18．某商场，为了吸引顾客，在“白色情人节”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：一是直接获得20元的礼金券，二是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色（如表）决定送礼金券的多少．
球
两红
一红一白
两白
礼金券（元）
18
24
18
（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．
（2）如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．
19．智能手机如果安装了一款测量软件后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准雕像底部按键，再对准雕像顶部按键，即可测量出雕像的高度．测量者AB所用数学原理如图②所示，测量者AB与雕像CD都垂直于地面BE，若手机显示AC＝20m，AD＝32m，∠CAD＝37°，求此时雕像CD的高．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
20．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
正方形网格是认识数和形的绝好途径．在网格中构造几何图形具有直观性和可操作性，网格中的数学问题具有显著的数形结合和转化的特征．下面网格图中每个小正方形的边长都为1．
如图1，点A、B、C、D都是格点，连接AC，BD交于点O，则AC，BD互相平分．
如图2，点A、B、C、D都是格点，连接AC，BD交于点M，则点M是线段AC的四等分点．
任务一：请你观察图1，连接AD、DC、CB、AB，则AC，BD互相平分，其理由是 ．
任务二：请你观察图2，说明点M是AC的四等分点的理由．
任务三：在下面网格图中按要求作图．要求：①仅用无刻度直尺；②保留必要的思考痕迹．
在图3中的线段BC上做两点M、N，使得△ABM与△ABN都为等腰三角形．
21．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足如图所示的线段表示的函数关系．
（1）求商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
22．综合实践
自主探究：
在课堂上，老师指导大家做以下活动：如图1，将已知矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点D落在线段BC上，得到矩形AEFG，连接DG交AE于点H，在猜想线段HD与HG的关系时，大家一致认为HD=HG，并且有两个小组给出如下的证明思路：
奋进组：要想证明HD=HG，已经知道线段HG是直角三角形GAH的斜边，所以可以构造一个以HD为斜边的直角三角形，然后证明这两个三角形全等；
勤奋组：要想证明HD=HG，可构造一个三角形，使得H、A分别在此三角形的两条边上，再证明HA是这个三角形的中位线；
操作思考：
（1）请你在图1中分别作出符合“奋进组”和“勤奋组”思路需要的辅助线，并将辅助线的做法写在下面的横线上．
奋进组： ．
勤奋组： ．
（2）请你根据“奋进组”和“勤奋组”提出的思路和作出的辅助线对下面问题做出选择（ ）
A．“奋进组”的思路正确，“勤奋组”的思路不正确
B．“勤奋组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确
C．“奋进组”和“勤奋组”的思路都正确
D．“奋进组”和“勤奋组”的思路都不正确
变式证明：
将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点D落在线段CB的延长线上点E处，得到矩形AEFG，连接DG交EA的延长线于点H，如图2，那么线段HD与HG还相等吗？说明理由．
拓展延伸：
将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点C落在线段CB的延长线上点F处，得到矩形AEFG，连接DG交EA的延长线于点H，且点C、A、G在同一直线上．如图3．问：线段HD与HG还相等吗？如果相等请直接写出的值；如果不相等，请说明理由．
23．综合探究
如图，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A、B，与X轴的另一交点为C．已知动点M在直线AB上方的抛物线上，动点P在线段AB上．
（1）求抛物线的解析式
（2）连接AM、BM，求△MAB的面积最大时点M的坐标．
（3）连接MP、MB，请直接写出当△BMP为等腰直角三角形时点P的坐标．
参考答案
1．B
【分析】
根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数，由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件为正确答案．
【详解】
A、是二元二次方程，故A错误；
B、是一元二次方程，故B正确；
C、是二元一次方程，故C错误；
D、是分式方程，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．D
【分析】
根据反比例函数图象上k=xy=-3解答即可．
【详解】
解：∵k=xy=-3，四个选项中只有D符合．
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
3．B
【分析】
先把x＝2代入方程x2﹣c＝0可求出c＝4，然后利用直接开平方法解方程得到该方程的另一个根．
【详解】
解：把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，解得c＝4，
方程为x2﹣4＝0，
所以x2＝4，
解得x1＝2，x2＝﹣2，
即该方程的另一个根是﹣2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或的一元二次方程可采取直接开平方的方法解一元二次方程．
4．A
【分析】
根据锐角的正弦三角函数的定义，即可得到答案.
【详解】
∵在中，，的正弦值是，
∴sinA==，
∴，
故选A.
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角的正弦三角函数的定义，是解题的关键.
5．C
【分析】
主视图是从物体正面看所得到的图形．几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．
【详解】
解：此圆柱体钢块的主视图可能是：
故选：C．
【点睛】
本题考查简单组合体的三视图，画三视图时注意“长对正，宽相等，高平齐”，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．
6．C
【分析】
直接利用概率公式计算．
【详解】
解：因为每次摸到一球后记下颜色将球再放回，所以箱子内总装有除颜色外均相同的28个白球及2个红球，
所以第28次摸球时，小芬摸到红球的概率＝＝．
故选：C．
【点睛】
本题考查概率公式的应用，对于放回试验，每次摸到红球的概率是相等的.
7．C
【分析】
根据△的符号，可判断图象与x轴的交点情况；根据二次项系数可判断开口方向；令函数式中x＝0，可求图象与y轴的交点坐标；利用配方法可求图象的顶点坐标．
【详解】
解：A、∵二次项系数1＞0，抛物线开口向上，故本选不符合题意；
B、∵y＝x2＋2x−3＝（x＋1）2−4，∴抛物线顶点坐标为（−1，−4），故本选项不符合题意；
C、∵△＝22−4×1×（−3）＝16＞0，抛物线与x轴有两个交点，故本选项符合题意；
D、当x＝0时，y＝−3，抛物线与y轴交点坐标为（0，−3），故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系．
8．C
【分析】
根据位似变换的性质计算．
【详解】
解：如图，∵点E（−4，2），与关于原点O位似，相似比为，
∴点E的对应点E′的横纵坐标分别是−4×（−）＝2，2×（−）＝－1，即（2，−1），
故选：C．
【点睛】
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
9．C
【分析】
作BM⊥x轴于M．只要证明△DAO≌△ABM，推出OA＝BM，AM＝OD，由A（﹣3，0），B（2，b），推出OA＝3，可得b＝．
【详解】
解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴BM＝OA，
∵A（，0），B（2，b），
∴BM＝OA＝3，
∴b＝．
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
10．D
【分析】
直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【详解】
解：A、设反比例函数的解析式为y=，
把（1，200）代入得，k=200，
∴反比例函数的解析式为：y=，
当x=4时，y=50，
∴4月份的利润为50万元，故此选项正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；
C、当y=100时，则100=，
解得：x=2，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项正确，不符合题意．
D、设一次函数解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：y=30x-70，
故y=200时，200=30x-70，
解得：x=9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项不正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
11．10
【分析】
由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．
【详解】
解：∵= 1：，
∴tanA= 1：=，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=10m，
故答案为:10．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握坡比的意义是解答本题的关键．
12．30．
【分析】
先由平行线的性质得∠α=∠ABE，再由矩形的性质得∠C=90°，AB∥CD，则∠BEC=∠ABE，求出∠BEC=30°，即可得出答案．
【详解】
由题意得：BE∥桌面，
∴∠α=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AB∥CD，
∴∠BEC=∠ABE，
∵BC=6，BE=12，
∴BC=BE，
∴∠BEC=30°，
∴∠α=∠ABE=∠BEC=30°，
故答案为：30．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，利用含30度角的直角三角形的性质求出∠BEC=30°是解题的关键．
13．x1＝0，x2＝﹣4
【分析】
从表格看，函数的对称轴为x＝−2，根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2，即可求解．
【详解】
解：从表格看，函数二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝−2，
根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2．
故一元二次方程ax2＋bx＋c＝−2的根x＝0或−4．
故答案为：x1＝0，x2＝−4．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，确定函数的对称轴是解题的关键．
14．
【分析】
画树状图得出所有的结果有3种，再找出最后一只摘到B的结果数为2，由概率公式即可得出答案．
【详解】
解：依题意，画树状图如图：
共有3个等可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，
∴最后一只摘到B的概率为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．画出树状图是解题的关键．
15．．
【分析】
过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，然后判断出四边形OMEN是正方形，由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=1，再利用勾股定理列式求出CE，由正方形的性质可得DN=，进一步可得结论．
【详解】
解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，
在△COM和△DON中，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM=ON，
∴四边形OMEN是正方形，
∴ME=NE，
∵∠CED=90°，∠DCE=30°，
∴DE=CD=1，CE=，
∵NE=ME，
∴1+DN=-CM，
∴DN=
∴NE=DN+DE=+1=
∵OE=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
16．（1）；（2），
【分析】
（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）方程利用公式法求解即可．
【详解】
解：（1）tan30°－ sin230°－sin45°
（2）x2﹣6x+3＝0
∵ a＝1，b＝-6，c＝3，
∴△＝（-6）2－4×1×3＝36-12＝24＞0，
∴，
解得：，
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的公式法，特殊角的三角函数值的应用，能运用所学知识点进行计算是解此题的关键．
17．，9；（2）或．
【分析】
（1）将点（﹣2，m）、（n，3）的坐标代入，求解可得得点、的坐标分别为、；根据点、也在反比例函数上，可得反比例函数的表达式为，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，设直线交轴于点，由的面积即可求解；
（2）观察函数图象即可求解．
【详解】
解：（1）将点（﹣2，m）、（n，3）的坐标代入得 ，解得，
故点、的坐标分别为、；
∵点、也在反比例函数上，
即有
故反比例函数的表达式为，
分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，设直线交 轴于点，
对于，令，则，则点 ，
则的面积；
（2）观察函数图象知，不等式的解集为或．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟悉相关性质是解题的关键．
18．(1)见解析 （2）选择摇奖
【详解】
解：（1）树状图为：
∴一共有12种情况，摇出一红一白的情况共有8种，
∴摇出一红一白的概率=；
（2）∵两红的概率P=，两白的概率P=，一红一白的概率P=，
∴摇奖的平均收益是：×18+×24+×18=22，
∵22＞20，
∴选择摇奖．
【点睛】
主要考查的是概率的计算，画树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．雕像CD的高为20m
【分析】
过点C作CF⊥AD，解Rt△ACF得出CF=12m，AF=16m，从而得出DF=16m，进一步证明△ACD是等腰三角形，从而可得答案．
【详解】
解：过点C作CF⊥AD，垂足为F，如图，
在Rt△ACF中，AC=20m，∠CAD=37°
∴sin∠CAD=，cos∠CAD=，
∴CF=12m，AF=16m，
∵AD=32m，
∴DF=AD-AF=32-16=16m
∴点F是AD的中点，
又CF是AD边上的高，且CF为AD边上的中线
∴△ACD是等腰三角形，
∴CD=AC=20m．
∴雕像CD的高为20m．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，本题关键是熟悉三角函数，求出AF的长．
20．任务一：矩形的对角线互相平分；任务二：见解析；任务三：见解析
【分析】
任务一：根据矩形的性质即可得到答案；
任务二：连接AD，BC，证明，依据相似三角形的性质求解即可；
任务三：分两种情况：取点D，E，连接DE，交BC于点M，连接MA，则△MBA是等腰三角形；取点F，连接AF，AF与BC交于点N，△ABN是等腰三角形．
【详解】
解：任务一：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC，BD互相平分，
故答案为：矩形的对角线互相平分；
任务二：如图，连接AD，BC
∵
∴
∴
∴
∴是AC的四等分点；
任务三：如图，取点D，E，连接DE，交BC于点M，连接MA，则△MBA是等腰三角形，如图：
理由是：∵
即DE是AB的垂直平分线，
∴MA=MB
∴△MBA是等腰三角形；
取点F，连接AF，AF与BC交于点N，△ABN是等腰三角形，如图：
理由是：AB=4，AC=3，
由勾股定理得，BC=
又CF=1，CF//AB
∴，即
∴AB=NB=4
∴△ABN是等腰三角形．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，能证明是解答此题的关键．
21．（1）y=-3x²+252x-4860(30≤x≤54)；（2）不能，理由见解析．
【分析】
(1)此题可以先利用“函数过(30，72)，(54，0)”求出m=-3x+162(54≥x≥30)，再按等量关系“每天的销售利润=(销售价-进价)×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围；
(2)根据(1)所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．
【详解】
解：(1)设商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x的关系式为m=kx+b，
根据函数过(30，72)，(54，0)代入m=kx+b，则
，解得，
∴关系式为：m=-3x²+162(54≥x≥30)，
则每件商品的销售利润为(x-30)元，那么m件的销售利润为y=m(x-30)，
又m=162-3x，
∴y=(x-30(162-3x) (54≥x≥30)．
即y=-3x2+252x-4860 (54≥x≥30)．
∵x-30≥0
∴x≥30，
又∵m≥0，
∴162-3x≥0，即x≤54，
∴30≤x≤54，
∴所求关系式为y=-3x2+252x-4860(30≤x≤54)．
(2)由(1)得y=-3x²+252x-4860)=-3(x-42)²+432，
所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元,
∵500＞432,
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=(销售价-进价)×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．
22．（1）奋进组：过点D作DM⊥AE交AE于点M．勤奋组：延长线段FG和DA，相交于点N．（2）C；变式证明：成立；拓展延伸：HD=HG成立，．
【分析】
（1）由题意得：奋进组要构建全等三角形，HD为斜边，故作DM⊥AE于点M；勤奋组要通过平行线分线段对应成比例，利用中位线解决问题，故延长FG,DA相交于点N．
（2）奋进组用全等证明相等，勤奋组用相似证明相等，均可得到答案，即可得到答案．
变式证明：过点D作DP⊥AH，交AH与点P
变式证明：先证得到，再证，得到，即可得到答案．
拓展延伸：过点D作DQ⊥AH，交AH的延长线于点Q点，过点G作GR⊥FH，先证，再证，即可得到，那么通过 得到 则：，故HD=HG成立，．
【详解】
（1）由题意得：奋进组要构建全等三角形，HD为斜边，故作DM⊥AE于点M，如图所示即可实现：
勤奋组要通过平行线分线段对应成比例，利用中位线解决问题，故延长FG,DA相交于点N，如图所示，即可实现：
故，奋进组：过点D作DM⊥AE交AE于点M．
勤奋组：延长线段FG和DA，相交于点N．
（2）奋进组用全等证明相等，勤奋组用相似证明相等，均可得到答案．
故答案选C．
变式证明：过点D作DP⊥AH，交AH与点P
∵
∴
∴
∵,
∴
∴
在与中，
∴
∴
故成立．
拓展延伸：过点D作DQ⊥AH，交AH的延长线于点Q点，过点G作GR⊥FH，交FH于点R
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∵（三角形之间转换实现）
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
故HD=HG成立，．
【点睛】
本题考查了相似三角形、全等三角形的性质及判定，以及旋转图形的性质，综合性较大，难度较大，能正确画出辅助线是解决此题的关键．
23．（1）；（2）点M的坐标为（-2，3）；（3）点P的坐标为或．
【分析】
（1）由直线解析式先求出c的值和点B的坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）过M点作MQ⊥x轴于点Q，交直线AB于点N，设点M的坐标为（x，），则点N的坐标为（x，x+2），求出MN的长，再根据三角形面积公式即可求解；
（3）分和两种情况求解即可．
【详解】
解：（1）把A（-4，0）代入y=x+c得c=2，
∴B（0，2）
∵抛物线经过点A、B，
∴
解得，
所以，抛物线的解析式为：
（2）过M点作MQ⊥x轴于点Q，交直线AB于点N，如图，
设点M的坐标为（x，），则点N的坐标为（x，x+2）
∴
∴
=
∴当时，△MAB的面积最大，此时点M的坐标为（-2，3）
（3）当时，如图（1），过点作轴于点E
过点M作轴，交直线EP于点M，则∠MFP=∠BEP=90︒
又∠MPB=90︒
∴∠MPF+∠BPE=90︒
∵∠BPE+∠PBE=90︒
∴∠MPF=∠PBE
∵MP=BP
∴
∴
设，则，
∴
∴，
∴
将代入得，
解得，（不符合题意，舍去）
∴；
②当时，过点M作MG⊥y轴于点G，过点P作PH//y轴交直线CM于点H，如图（2）
同时①可证，
∴
设，则，
∴，
∴
把代入得，
解得，（舍去）
∴
综上可知点P的坐标为或．
【点睛】
这是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化的数学思想解答．
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