北京市西城区2021届高三一模数学试题（word版 含答案）

这是一份北京市西城区2021届高三一模数学试题（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市西城区2021届高三一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．i
3．在的展开式中，常数项为（ ）
A．15 B． C．30 D．
4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）

A．12 B． C．16 D．
5．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，点P是的中点，则（ ）
A． B．4 C． D．6
7．在中，，则（ ）
A． B． C．6 D．5
8．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为，则两条反射光线和之间的距离为（ ）

A． B． C． D．
9．在无穷等差数列中，记，则“存在，使得”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记．下列命题中正确的是（ ）
A．已知，，且，则
B．已知，，则存在实数a，使得
C．已知，若，则对任意，都有
D．已知，，则对任意的实数a，总存在实数b，使得

二、填空题
11．函数的定义域为________.
12．已知函数，若对任意都有（c为常数），则常数m的一个取值为_________．
13．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②；③；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．

三、双空题
14．已知双曲线，则C的渐近线方程是__________；过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则的面积是_________．
15．在等比数列中，，则公比_______；若，则n的最大值为_________．

四、解答题
16．如图，在正方体中，E为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（1）确定的解析式；
（2）若图象的对称轴只有一条落在区间上，求a的取值范围．
条件①：的最小值为；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③；的图象经过点．
18．天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中．
星名
天狼星
老人星
南门二
大角星
织女一
五车二
参宿七
南河三
水委一
参宿四
视星等




0.03
0.08
0.12
0.38
0.46
a
绝时星等
1.42

4.4

0.6
0.1

2.67


赤纬










（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；
（2）已知北京的纬度是北纬，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为颗，求的分布列和数学期望；
（3）记时10颗恒星的视星等的方差为，记时10颗恒星的视星等的方差为，判断与之间的大小关系．（结论不需要证明）
19．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：函数存在极小值；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围．
20．已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F．
（1）求椭圆C的离心率和的面积；
（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
21．已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
（1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，井写出的值；
（2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；
（3）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数．


参考答案
1．A
【分析】
直接根据交集的定义计算可得；
【详解】
解：因为，
所以
故选：A
2．A
【分析】
设，根据，求得，即可求得复数的虚部，得到答案.
【详解】
设，
因为，可得，
则，可得，所以复数的虚部是.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.
3．A
【分析】
根据二项展开式的通项公式直接求解.
【详解】
，
令，得，
所以常数项是.
故选：A
4．D
【分析】
首先把三视图得到直观图，进一步求出几何体的表面积．
【详解】
解：根据几何体的三视图得到直观图，如下图所示四棱锥：则，所以

所以表面积为
．
故选：．
5．D
【分析】
求导分析单调性，根据即可解不等式．
【详解】
的定义域为，由
所以在上递减，又，
所以不等式的解集是．
故选：D
6．C
【分析】
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算计算可得；
【详解】
解：如图建立平面直角坐标系，则，，，
所以，，所以
故选：C

7．B
【分析】
由正弦定理可得，即可求出，再由余弦定理计算可得；
【详解】
解：因为，由正弦定理可得，又，所以，，
因为
所以，即，解得，
故选：B
8．C
【分析】
由抛物线方程求出焦点坐标，即可求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，消去，求出，同理求出，再根据计算可得；
【详解】
解：由得，，所以，即；消去得，所以，或（舍去），即；
同理即；消去得，所以，或（舍去），即；
所以，即两条反射光线和之间的距离为
故选：C
9．B
【分析】
由，只能判断与的大小关系，无法证得为递增数列，充分性不成立；由递增数列性质知只需即可说明，必要性成立，由此得到结论.
【详解】
若存在，使得，
则，
当为奇数时，只需，即；
当为偶数时，只需，即；
即此时只能判断与的大小关系，无法得到为递增数列，充分性不成立；
当为递增数列时，，
只需，即为奇数，即可满足，必要性成立；
“存在，使得”是“为递增数列”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查充分条件与必要条件的判断，解题关键是能够结合的表达式确定，分析确定与数列单调性之间的关系.
10．D
【分析】
根据的定义，对四个选项一一验证即可.
【详解】
对于A：由，则；，则，解得：，故A错误；
对于B：由，则；
，则，
①当时，在上单减，所以，解得：，又，所以a不存在；
②当时，在上单减，在上单增，且所以，解得：，又，所以a不存在；
③当时，在上单减，在上单增，且所以，解得：，又，所以a不存在；
④当时，在上单增，所以，解得：，又，所以a不存在；
综上所述：不存在实数a，使得.
故B错误；
对于C：∵，而，则M=1,N=-1,但对任意，都有，不一定成立；
对于D：∵，∴，由得，所以则对任意的实数a，总存在实数b，使得，故D成立.
故选：D
【点睛】
通过阅读材料渗透新概念,新运算,新符号,新规定等知识,是近年的又一考题类型.结合已经学过的知识,掌握的技能进行理解,根据新定义进行运算,推理,迁移, 把握"新定义"内涵,是解决此类问题的关键.
11．
【分析】
根据开偶次方被开方数非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可.
【详解】
函数的定义域满足：
解得
所以函数的定义域为
故答案为：
【点睛】
本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，属于基础题．．
12．（答案不唯一，只要是即可）
【分析】
先根据函数的对称性得到，再根据诱导公式求出都可满足条件.
【详解】
函数中心对称点都在x轴上，所以，
所以对任意恒成立，
，
所以，故利用诱导公式得都可满足条件.
故答案为：（答案不唯一，只要是即可）
【点睛】
正弦函数的奇偶性，对称性，周期性，单调性及诱导公式等等是我们必备的基础知识，做题时经常用到.
13．②④
【分析】
需满足四个条件：1.自变量的取值范围为；
2.函数值域为的子集；
3.该函数在上恒有；
4.该函数为上增函数；
逐一对照分析求解即可.
【详解】
① ，该函数在时函数值为，超过了范围，不合题意；
② 为增函数，且
且，则，符合题意；
③ ，当时，不合题意
④ ，当时，，故该函数在上单调递增，又
设

即，
易知在上为减函数
令，则存在，有
当，；当，；
故在递增，在递减.
，
故上
即上
故④符合题意
故答案为：②④
【点睛】
本题考查学生实际运用数学的能力.需要学生具备一定的数学建模思想，将文字语言描述的要求转化为数学表达式，再用数学方法分析求解.
14．
【分析】
直接由双曲线方程求出渐近线方程、焦点坐标，再将代入渐近线方程，求出，最后根据计算可得；
【详解】
解：因为双曲线，所以，，所以，即，所以渐近线方程为，焦点坐标为与，
当时，即，所以
故答案为：，；
15． 3
【分析】
首先求出数列的公比、，即可得到数列的通项公式，再根据通项公式对分奇偶讨论，即可得解；
【详解】
解：因为，所以，所以，即，所以；所以当为偶数时，，当为奇数时，
要使，所以且为奇数即且为奇数，所以或
故答案为：，
16．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接交于点O，连接，即可得到，根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
【详解】
解：（1）连接交于点O，连接，
在正方形中，．
因为E为的中点，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系

则，
所以．
设平面的法向量为，
所以所以即
令，则，
于是．
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
17．选择见解析：（1）；（2）．
【分析】
求出函数的最小正周期，可求得的值.
（1）选择①②，求出的值，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式；
选择①③，求出的值，由已知条件可得出，求出的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式；
选择②③，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式；
（2）由可求得的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期，．此时．
（1）选条件①②；因为，所以．
因为图象的一个对称中心为，所以，
因为，所以，此时，所以；
选条件①③：因为，所以．
因为函数的图象过点，则，即，，
因为，即，，所以，，解得.
所以；
选条件②③：因为函数的一个对称中心为，
所以，所以．
因为，所以，此时，所以．
因为函数的图象过点，所以，即，，即，所以．
所以；
（2）因为，所以，
因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，得，
所以的取值范围为．
【点睛】
思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式；
（2）将看成一个整体；
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
18．（1）；（2）分布列见解析；数学期望为；（3）．
【分析】
（1）由图表数据可知有颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，由古典概型概率公式可计算得到结果；
（2）首先确定所有可能取值，利用超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可得期望；
（3）根据数据的波动程度可得方差大小关系.
【详解】
（1）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件，
由图表可知：颗恒星有颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值．
．
（2）由图表知，有颗恒星的“赤纬”数值大于，有颗恒星的“赤纬”数值小于，则随机变量的所有可能取值为：，，，．
，，，．
随机变量的分布列为：










．
（3）结论：．
理由：当时，视星等的平均数为；当时，视星等的平均数为；可知当时，视星等的数值更集中在平均数附近，由此可知其方差更小.
【点睛】
关键点点睛：本题第二问考查了服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解，关键是能够确定随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式计算得到每个取值对应的概率.
19．（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）将代入，求出求，得到，然后利用点斜式写出切线方程；
（2）求导得，令函数，则求导可得，则函数在递减，在上单调递增，再根据，，则可证明出函数在上有一个零点，可证明出函数在递减，在上递增，在处取得极小值；
（3）当时，由（2）可知，即函数恒成立，恒成立，所以函数在上递增，故只需即可，解得；当时，
由（2）可知存在，使得，函数在上递减，，不符合条件，综上可得.
【详解】
解：（1）当时，，
所以．
所以．
曲线在点处的切线方程为．
（2）由，得．
令，则．
当时，，当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以的最小值为．
当时，，．
又在单调递增，
故存在，使得，在区间上，在区间上．
所以，在区间上，在区间上，
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数存在极小值．
（3）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于．
①当时，，由（2）得，所以．
所以在上单调递增，
所以的最小值为．
由，得，满足题意．
②当时，由（2）知，在上单调递减，
所以在上，不满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
【点睛】
本题的难点在于函数极值点的判断、考查导数与不等式恒成立问题的求解，解答时注意以下几点：
（1）利用导数讨论函数极值点的问题时，要注意将问题转化为的根的问题，且必须使在根的两侧异号，当的根无法解出时，可采用零点的存在性定理判断出根的范围；
（2）求解根据不等式恒成立求参问题时，一般采用参变分离法或者利用分类讨论思想，将问题转化为函数最值问题的求解.
20．（1），的面积；（2）存在；．
【分析】
（1）根据点在椭圆上求出，进而求出，最后求出离心率及三角形的面积；（2）先根据两种特殊情况求出定点，从而可以获得，再证明实数时，使得直线经过y轴上定点.
【详解】
解：（1）依题意，，解得．
因为，即，
所以，，
所以离心率，
的面积．
（2）由已知，直线的方程为，
当时，
直线的方程为，交y轴于点；
当时，
直线的方程为，交y轴于点．
若直线经过y轴上定点，则，
即，直线交y轴于点．
下面证明存在实数，使得直线经过y轴上定点．
联立消y整理，得，
设，．
则，．
设点，所以直线的方程：．
令，得
．
因为，
所以．
所以直线过定点．
综上，存在实数，使得直线经过y轴上定点．
【点睛】
求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21．（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）利用列举法写出符合题意的所有的的取值可能，得出的值；
（2）先假设数列为递增的等差数列，公差为，则可知，当时，，则可知的最大值为，最小值为，成立；反之若，因为A是递增数列，所以，可推出，那么，又，且互不相等，则可知，所以，可得数列A是等差数列;
(3)当数列A由这个数组成，则任意两个不同的数作差，差值只可能为和，共个值，又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以，则可得出，再说明可以取得之间的所有整数，得到的值为.
【详解】
解：（1）因为，，，，则的可能情况有：
，，，，，，
所以，．
（2）充分性：若A是等差数列，设公差为d．
因为数列A是递增数列，所以．
则当时，，
所以，．
必要性：若．
因为A是递增数列，所以，
所以，且互不相等，
所以．
又，
所以，且互不相等．
所以，
所以，
所以A为等差数列．
（3）因为数列A由这个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和．
共个不同的值；且对任意的，
m和这两个数中至少有一个在集合T中．
又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以．
综上，，且．
设数列：，此时．
现对数列分别作如下变换：
把一个1移动到2，3之间，得到数列：，
此时，．
把一个1移动到3，4之间，得到数列：，
此时，．
把一个1移动到，n之间得到数列：，
此时，．
把一个1移动到n，之间，得到数列：，
此时，．
再对数列依次作如下变换：
把一个1移为的后一项，得到数列：，
此时，；
再把一个2移为的后一项：得到数列：，
此时，；
依此类推
最后把一个n移为的后一项：得到数列：，
此时，．
综上所述，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为．
【点睛】
本题考查新定义数列问题，难度较大，解答的关键在于根据数列中项的大小及数字特征分析清楚任意两项的所有可能取值，从而得出的值，注意在解答的过程中，项的顺序不同，的值不同.