北京市房山区2021高三一模数学试题（word版 含答案）

北京市房山区2021高三一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合，集合，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．下列函数中，值域为且为偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

3．已知，，且，则下列各式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

4．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为（    ）

A． B． C． D．

5．“十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人均收入持续增长.下面散点图反映了2016-2020年我国居民人均可支配收入(单位：元)情况.根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（    ）

A．2016-2020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元

B．2017-2020年，全国居民人均可支配收入均逐年增加

C．根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元

D．根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入一定大于30000元

6．已知双曲线的离心率为，则点到双曲线的渐近线的距离为（    ）

A． B． C． D．

7．“”是“直线与平行”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．在矩形中，与相交于点，是线段的中点，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

9．已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（    ）

A． B．

C． D．与均为的最小值

10．祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为的平面截该几何体，则截面面积为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．已知为虚数单位，计算__________．

12．的展开式的常数项是_____（用数字作答）．

13．设，，则使得命题“若，则”为假命题的一组的值是___________.

14．设函数的定义域为，若对于任意，存在，使(为常数)成立，则称函数在上的“半差值”为.下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为的函数是___________(填上所有满足条件的函数序号).①；②；③；④.

三、双空题

15．抛物线的焦点为，则点的坐标为___________，若抛物线上一点到轴的距离为，则___________.

四、解答题

16．如图，在直三棱柱中，已知，，，为上一点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

17．在中，，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

（1）的值；

（2）的面积.

条件①：边上的高为；条件②：；条件③：.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18．单板滑雪型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度､完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩.现有运动员甲､乙二人在2021赛季单板滑雪型池世界杯分站比赛成绩如下表：

假设甲､乙二人每次比赛成绩相互独立.

（1）从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；

（2）从上表5站中任意选取2站，用表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求的分布列和数学期望；

（3）假如从甲､乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由.

(注：方差，其中为，，…，的平均数)

19．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若，求证：；

（3）设，是否存在唯一的自然数，使得与的图象在区间上有两个不同的公共点？若存在，试求出的值，若不存在，请说明理由.

20．已知椭圆过点，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点为椭圆的上顶点，、是椭圆上两个不同的动点（不在轴上），直线、的斜率分别为、，且，求证：直线过定点.

21．对于数列，记，其中表示这个数中最大的数，并称数列是的“控制数列”，如数列的“控制数列”是.

（1）若各项均为正整数的数列的“控制数列”为，写出所有的；

（2）设.

（i）当时，证明：存在正整数，使得是等差数列；

（ii）当时，求的值(结果可含).

参考答案

1．A

【分析】

根据集合并集的定义进行求解即可.

【详解】

因为集合，集合，

所以，

故选：A

2．C

【分析】

根据偶函数的定义，结合具体函数的值域进行判断即可.

【详解】

A：因为函数的值域为，所以本选项不符合题意；

B：设，因为，所以该函数不是偶函数，因此不符合题意；

C：设，显然，因为，所以该函数是偶函数，故符合题意；

D：设，因为，所以该函数是奇函数，故不符合题意,

故选：C

3．B

【分析】

利用特殊值判断A、C、D，根据幂函数的性质判断B；

【详解】

解：因为，，且，

对于A：若，，显然，故A错误；

对于B：因为函数在定义域上单调递增，所以，故B正确；

对于C：若，则，故C错误；

对于D：若，，则，故D错误；

故选：B

4．C

【分析】

直接利用关系式的平移变换求出的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得．

【详解】

解：将函数的图象向左平移个单位，得到

令，解得

当时，

故选：C

5．D

【分析】

根据散点图逐一分析判断即可.

【详解】

A：由散点图可知：2016-2020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元，所以本判断正确；

B：由散点图可知：2017-2020年，全国居民人均可支配收入均逐年增加，所以本判断正确；

C：根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元，所以本判断正确；

D：根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入有可能大于30000元，不是一定大于30000元，所以本判断不正确，

故选：D

6．B

【分析】

根据题意，由双曲线的离心率可得，由双曲线的几何性质可得，由此求解双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式计算可得．

【详解】

解：根据题意，双曲线的离心率为，

其焦点在轴上，其渐近线方程为，

又由其离心率，则，

则，即，

则其渐近线方程；

则点到双曲线的渐近线的距离

故选：．

7．B

【分析】

首先根基两直线平行求出的值，再根据小范围推大范围选出答案.

【详解】

因为直线与平行，

所以 且两直线的斜率相等即解得；

而当时直线为，同时为，两直线重合不满足题意；当时，与平行，满足题意；

故，

根据小范围推大范围可得：是的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】

(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．

(3)两直线平行时要注意验证，排除掉两直线重合的情况.

8．A

【分析】

根据平面向量的线性运算法则，结合矩形的性质进行求解即可

【详解】

因为，

所以，

故选：A

9．C

【分析】

根据推导出，，，结合等差数列的单调性与求和公式判断可得出合适的选项.

【详解】

对于A选项，由可得，A选项正确；

对于C选项，由可得，，C选项错误；

对于D选项，由可得，且，，，

所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；

对于B选项，，，当时，，

所以，，B选项正确.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：在等差数列中，求的最小（大）值的方法：

（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点到该项的各项和为最大（小）；

（2）借助二次函数的图象及性质求最值.

10．D

【分析】

由三视图还原几何体如图所示，截面为环形，进而可得结果.

【详解】

由题意可知，该几何体为底面半径为2，高为2的圆柱，从上面挖去一个半径为2，高为2的圆锥，所剩下的部分，如图所示：

所以截面为环形，外圆的半径为2，内圆的半径为h，所以面积为：

故选：D

11．

【详解】

分析：根据复数除法法则求解.

详解：复数．

点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为

12．

【分析】

先写出二项展开式的通项，由赋值法，即可求出结果.

【详解】

因为展开式的第项为，

令，则，

所以展开式的常数项为.

故答案为：.

13．满足且即可

【分析】

由题意存在，，，且，即可得到、的关系式，本题属于开放性题，只需符合题意即可；

【详解】

解：要使命题“若，则”为假命题；

则存在，，，且

所以且，取即可满足条件，本题属于开放性题，只需填写符合且的值即可；

故答案为：满足且即可

14．②③

【分析】

根据定义，结合函数的值域逐一判断即可.

【详解】

①：，当时，，该函数此时单调递增，

当时，，该函数此时单调递减，所以当时，函数有最小值，

若是“半差值”为的函数，因此有，存在，使成立，即，对于，，而，显然，不一定存在，使成立，故本函数不符合题意；

②：因为函数的值域是全体实数集，所以对于任意，存在，使成立，符合题意；

③：因为函数的的值域是全体实数集，所以对于任意，存在，使成立，符合题意；

④：若是实数集上的“半差值”为的函数，因此有，存在，使成立，即，对于，，而，显然恒不成立，故假设不成立，所以本函数不符合题意，

故答案为：②③

【点睛】

关键点睛：理解题中定义，根据函数的值域解题是关键.

15．       

【分析】

根据抛物线方程直接求出焦点的坐标，再根据抛物线的定义求出的值.

【详解】

由抛物线的方程可知：，所以点的坐标为；

因为该抛物线的准线方程为，所以，

故答案为：；4

16．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）解法1：根据直三棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；

解法2：建立空间直角坐标系，利用平面法向量的垂直关系进行证明即可；

（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

（1）证明：

解法1

因为三棱柱为直三棱柱，

所以平面.

又因为平面，

所以.

又因为，

所以，

所以.

因为，平面

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

解法2.三棱柱为直三棱柱，所以平面，

因为平面所以，

又因为，所以，

所以.

以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴

建立如图所示空间直角坐标系，则

，

所以

设平面的法向量为，则，

所以，

令则，.则

由（1）可知，平面的法向量为，

因为，

所以平面平面.

（2）由（1）知，平面的法向量为，

设直线与平面所成角为，则

所以，直线与平面所成角的正弦值为

17．（1）；（2）.

【分析】

选①：（1）在直角中，，再利用即可求得结果；

（2）在直角中，由，得，再利用面积公式即可得解.

选②：（1）直接利用即可求得结果；

（2）由正弦定理，求得，再利用面积公式即可得解；

选③：（1）由，得，再利用即可得结果；

（2）直接利用三角形面积公式得解.

【详解】

选①：边上的高为

（1）设边上高为，在直角中，

，，

（2）在直角中，因为，

选②：

（1），，

又，

（2），

选③：.

，

又，

（2）

【点睛】

方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.

18．（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）答案见解析.

【分析】

（1）先得到甲站和乙站的成绩，再根据该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩，由古典概型求解；

（2）的可能取的值为，然后分别求得其相应的概率，列出分布列，根据分布列中的数据再求期望；

（3）根据甲站和乙站的平均成绩以及方差比较下结论.

【详解】

（1）设“该站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩”为事件；

运动员乙第1站､第2站､第3站､第4站､第5站的成绩分别为：，

运动员甲第1站､第2站､第3站､第4站､第5站的成绩分别为： ，

其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩

，

（2）的可能取的值为，则

所以的分布列为

（3）推荐乙.

甲5站的平均成绩为：

乙5站的平均成绩为：

甲5站成绩方差为：乙5站成绩方差为：说明甲乙二人水平相当，表明乙的发挥比甲的更稳定

所以预测乙的成绩会更好.

【点睛】

方法点睛：(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．

19．（1）；（2）证明见解析；（3）存在，.

【分析】

（1）根据导数的几何意义进行求解即可；

（2）构造函数，利用导数进行证明即可；

（3）把函数的图象的交点问题转化为函数的零点问题，构造新函数，利用导数进行求解即可.

【详解】

解：（1）因为，所以；

因为，

所以切线方程为，即；

（2）设，

即，

令，则或

随变化情况如下表：

故=，

故，

（3）由于，设

，，

随变化情况如下表：

由表可知，，因为，，

，，

所以在，分别有唯一零点，

所以在内有两个零点，在，内无零点，内有唯一零点.

所以存在唯一的自然数，使得与的图象在上有两个不同公共点.

【点睛】

、

方法点睛：把函数图象交点问题转化为函数零点问题是解题的关键.

20．（1）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；

（2）求得点，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，同理可得点的坐标，结合计算得出，由此可证得结论成立.

【详解】

（1）根据题意得：，解得，所以椭圆的方程为；

（2）因为点为椭圆上顶点，所以点的坐标为，

设点、，

设直线，由得，

解得，则，即点，

，

设直线，同理可得，

又因为，所以，所以，

所以，所以直线过定点.

【点睛】

方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

21．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）.

【分析】

（1）根据题中所给定义进行求解即可；

（2）（i）根据二次函数的性质，结合题中所给的定义、等差数列的定义进行证明即可；

（ii）根据二次函数的性质，结合题中所给的定义分类讨论进行求解即可.

【详解】

解析：（1）；

（2）（i）当的对称轴，

故当时单调递增，由于，

故当时有，由于是等差数列，

故存在正整数，使得是等差数列；

（ii）的对称轴，由于；

①当时，此时最大；

由于，故，

故

②当时，，

故

③当时，；

，，

故

④当时，，，故，

⑤当时，开口向上，对称轴，故单调递增，

故，

则

综上所述，.

【点睛】

关键点睛：理解题中所给的定义，结合二次函数的性质进行求解是解题的关键.