江苏省无锡市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷

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2021．1
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝，全集为R，则＝
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，∴，，∴
2．已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则该扇形的弧长为
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【解析】由题意，设扇形所在圆的半径为，则扇形的弧长为，所以，解得，所以扇形的弧长为，故选C.
3．函数的图像大致是

【答案】B
【解析】由题意，为偶函数，定义域为，排除A，C，D，故选B.
4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼以1.5m/s的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为
A．2500 B．2600 C．2700 D．2800
【答案】B
【解析】由，当时，则，即，解得，
所以.当时，则，即，解得,所以
∴多出的单位数为，故选：B
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【答案】A
【解析】，∴a＜b＜c
6．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数图象的对称中心为
A．(﹣1，2) B．(﹣1，﹣2) C．(1，2) D．(1，﹣2)
【答案】A
【解析】，设，则，
，是奇函数，∴的图象关于点对称，∴故选：A．
7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100毫升血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上人定为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】经过t小时后，体内的酒精含量为： mg/ml，只需即可驾驶机动车..取整数为时，满足题意.故答案为：4.
8．已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是
A．(﹣2，0)(0，16) B．(2，16)
C．[2，16) D．(﹣2，0)(0，)
【答案】C
【解析】，∴或，与及x轴共有6个交点，由图像可知与x轴共有3个交点，则与有3个交点，则，
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列说法正确的是
A．若a＞b且，则ab＞0 B．若a＞b＞0且c＜0，则
C．若a＞b＞c＞0，则 D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd
【答案】BD
【解析】A选项，，∵a＞b，∴，∴，错误
B选项，，∵a＞b＞0且c＜0，∴，∴，正确
C选项，，∵a＞b＞c＞0，∴，∴，错误
D选项，∵a＞b＞0，c＜d＜0，∴∴，∴，正确
10．已知函数，则下列说法正确的是
A．的图象关于直线x＝kπ＋(kZ)对称
B．的图象关于点(kπ，0)(kZ)对称
C．的值域为[，1]
D．在[π，2π]上单调递增
【答案】AC
【解析】图像如图所示：以为单位区间进行讨论
A选项，的图象关于直线(kZ)对称，正确
B选项，的图象无对称中心，只有对称点，错误
C选项，的值域为，正确
D选项，，为单调递减函数，，为单调递增函数，，为单调递减函数，，为单调递增函数，正确
11．对于定义在R上的函数，下列说法正确的是
A．若，则在R上不是减函数
B．若为奇函数，且满足对，，则在R上是增函数
C．若，则函数是偶函数
D．若函数是奇函数，则一定成立
【答案】AB
【解析】A选项，在R上是减函数，则，而实际上，∴在R上一定不是减函数，正确
B选项,为奇函数,则,满足对,即
∴，∴由单调性定义可知在R上是增函数，正确
C选项，例：，定义域不关于y轴对称，∴不为偶函数，错误
D选项，例：，可知是奇函数，但，错误
12．已知定义在R上的奇函数满足，且时，，则关于的结论正确的是
A．是周期为4的周期函数 B．所有零点的集合为
C．时， D．的图像关于直线x＝1对称
【答案】ABD
【解析】奇函数满足，关于x=1对称，由周期性可知，选项A，D正确，由图像可得所有零点的集合为，选项B正确，奇函数满足，时，∴，∴，∴当，，，选项C错误
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．函数(x＞1)的最小值为 ．
【答案】
【解析】根据题意，＝2(x﹣1)++2，又由x＞1，即x﹣1＞0，
则f（x）≥2＝，当且仅当，即时，取等号.
所以函数f（x）的最小值为；故答案为：．
14．已知幂函数为偶函数，则m＝ ，若，则的值域为 ．（本题第一空2分，第二空3分）
【答案】
【解析】为幂函数 ，解得：或,当时，为奇函数，不合题意；当时，为偶函数,综上所述：,,，为单调递减函数，则，即故答案为：
15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的简车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式，，且t＝0时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为 米．
【答案】 0.25
【解析】由题意知，盛水筒M与水面距离为2.25米，∴，又∵∴，∴，
16．已知实数a，b满足，，则a＋3b＝ ．
【答案】
【解析】可化为∴∴，为单调递增函数，有且仅有一个解，∴，所以
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知角是第二象限角，且．
（1）求的值；（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）4分
（2）由题意，6分
10分
18．（本小题满分12分）已知集合A＝，集合B＝，集合C＝．
（1）求AC的子集的个数；（2）若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1）8个；（2）．
【解析】（1）由解得，所以2分
又因为C＝．，所以的子集的个数为8个4分
（2）因为命题“，都有”是真命题，所以，即 6分
当，，解得8分
当，，解得10分
得综上所述：12分
19．（本小题满分12分）已知．
（1）求在区间[，]上的最小值；
（2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，求满足的x的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）
2分
4分
因为，所以，当时，的最小值6分
（2）8分
由可得，可得
所以，即对应的取值的集合是12分
20．（本小题满分12分）经调查，某产品在过去两周内的日销售量（单位：千克）与日销售单价（单位：元）均为时间t（天）的函数．其中日销售量为时间t的一次函数，且t＝1时，日销售量为34千克，t＝10时，日销售量为25千克．日销售单价满足函数．
（1）写出该商品日销售额y关于时间t的函数（日销售额＝日销售量×销售单价）；
（2）求过去两周内该商品日销售额的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设日销售量(千克)关于时间t（天）的函数为，则
解得，，2分
所以4分
（2）当时，，当且仅当日销售量，即时，取等号.6分
当时，，当或，8分
因为，所以时，
所以10分
答：第5天的销售额最大，最大日销售额为625元12分
21．（本小题满分12分）已知函数(a，bR)．
（1）若a＝﹣4，b＝﹣8，解关于x的不等式；
（2）已知为定义在R上的奇函数．①当x(，0]时，求的值域；②若对任意xR成立，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当a＝﹣4，b＝﹣8时，由，可得，令，得，解得，即，所以4分
（2）①因为为R上的奇函数，所以，即，即
所以，根据为R上的奇函数可得，所以，即为对任意上恒成立，所以6分
，令，则，所以原函数的值域转化为的值域，
又因为在上单调递增，所以的值域为8分
②，设任意，且，则
，则所以在R上单调递增10分
又因为对任意成立，且为上的奇函数，
所以对任意成立，对任意成立.
当时，满足题意；
当时，满足题意解得；综上所述，12分
22．（本小题满分12分）已知函数(aR)的最小值为，函数(mR)．
（1）求a的值；（2）已知时，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）令，，则函数的最小值为，
当即，，不合题意；2分
当，即，，
解得或，所以；4分
当即，，(舍去)
综上，6分
（2）当时，恒成立，又由（1），即，
，，则，则，所以，则
对任意恒成立8分
记，，，，，因为在上单调递增，，又因为，当且仅当时，取等号，所以
综上所述，12分