2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习五(含答案详解)

这是一份2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习五(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了997 3，所以△PCE是正三角形等内容，欢迎下载使用。
2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习五1.已知等差数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．        2.某市级教研室对辖区内高三年级10 000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N(120,25),该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析,得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估算该校高三年级数学的平均成绩;(2)从所抽取的50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人,该3人在全市前13名的人数记为X,求X的期望.附:若X～N(μ,σ2),则P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 3.       3.已知平行四边形ABCD(如图(1))中,AB=4,BC=5,对角线AC=3,将△ACD沿AC所在直线折起至△ACP的位置(如图(2)),使二面角PACB为60°,G,H分别是PA,PC的中点.(1)求证:PC⊥平面BGH;(2)求平面PAB与平面BGH夹角的余弦值.       4.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由．        5.已知函数f(x)=x2-x．（1）设g(x)=lnx-f(x)f’(x)，求f(x)的最大值及相应的x值；（2）对任意正数x恒有，求m的取值范围．      
0.参考答案1.解：（1）由题意得：，解得，故的通项公式为，．（2）由（1）得：，，······①，······②①－②得：，故． 2.解:(1)由频率分布直方图可知[125,135)的频率为：1-10× (0.010+0.024+0.030+0.016+0.008)=0.12,该校高三年级数学的平均成绩为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08= 112(分).(2)由于=0.001 3,由正态分布得P(120-3×5<X<120+3×5)= 0.997 3,故P(X≥135)==0.001 35,即0.001 35×10 000≈14,所以前13名的成绩全部在135分以上,由频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×0.08=4人,而在[125, 145)的学生有50×(0.12+0.08)=10人,所以X的取值为0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,X的分布列为数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=1.2.3. (1)证明:如图,过点C作CE∥AB,且CE=AB,连接BE,PE.因为AC2+AB2=BC2,所以AC⊥AB,所以四边形ABEC是矩形,AC⊥CE.又因为PC⊥AC,PC∩CE=C,所以AC⊥平面PEC,所以∠PCE=60°,因为PC=CE=4.所以△PCE是正三角形.因为BE∥AC,所以BE⊥平面PEC.所以BE⊥PE,所以PB==5=BC.而H是PC的中点,所以BH⊥PC.因为GH是△PAC的中位线,所以GH∥AC,所以GH⊥PC.因为GH∩BH=H,所以PC⊥平面BGH.(2)解:以CE的中点O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (3,-2,0),B(3,2,0),P(0,0,2),C(0,-2,0),=(-3,2,2),=(0,4,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则即令x=2,则平面PAB的一个法向量为n=(2,0,3).由(1)知平面BGH的法向量为=(0,-2,-2).设平面PAB与平面BGH的夹角为θ,则cos θ=|cos<n,>|==. 4.解：（1）由题意，，，，∵的周长为6，∴，∴，，∴椭圆的标准方程为．（2）假设存在常数满足条件．①当过点的直线的斜率不存在时，，，∴，∴当时，；②当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立，化简得，∴，．∴，∴，解得，即时，；综上所述，当时，． 5.解：（1）∵，∴，∴，则，∵的定义域为，∴，①当时，；②当时，；③当时，，因此在上是增函数，在上是减函数，故当时，取得最大值．（2）由（1）可知，，不等式可化为①因为，所以（当且仅当取等号），设，则把①式可化为，即（对恒成立），令，此函数在上是增函数，所以的最小值为，于是，即．