2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习四(含答案详解)

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2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习四1.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知acosC+ccosA=a．（1）求证：A=B；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．        2.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.(1)当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)=，D(η)=，求a∶b∶c.              3.如图1,∠ACB=45°,BC=3,过动点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图2所示).(1)当BD的长为多少时,三棱锥ABCD的体积最大;(2)当三棱锥ABCD的体积最大时,设点E,M分别为棱BC,AC的中点,试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求EN与平面BMN所成角的大小.     4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为.过F1的直线l0交C于P，Q两点，且△PQF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)圆＋(y－2)2=与x轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)，过点M任作一条直线与椭圆C相交于A，B两点，连接AN，BN，求证∠ANM=∠BNM.        5.已知，函数在点(1,1-a)处与x轴相切．（1）求a的值，并求f(x)的单调区间；（2）当x>1时，f(x)>m(x-1)lnx，求实数m的取值范围．       
0.参考答案1.解：（1）（方法一）因为，由正弦定理得，即．又因为，所以．又， 所以或（舍去），所以．（方法二）因为，由余弦定理，得，整理得，所以，所以．（2）因为，由（1）知，又的面积为，所以．又，所以，所以．由余弦定理，得，所以，所以的周长为．2.解：(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6，故P(ξ=2)==，P(ξ=3)==，P(ξ=4)==，P(ξ=5)==，P(ξ=6)==.所以ξ的分布列为ξ23456P(2)由题意知η的分布列为η123P所以E(η)=＋＋=，D(η)=2·＋2·＋2·=，化简得解得a=3c，b=2c，故a∶b∶c=3∶2∶1. 3.解:(1)设BD=x(0<x<3),则CD=3-x.由AD⊥BC,∠ACB=45°知,△ADC为等腰直角三角形,所以AD=CD=3-x.由折起前AD⊥BC知,折起后,AD⊥DC,AD⊥BD,且BD∩DC=D,所以AD⊥平面BCD.又∠BDC=90°,所以S△BCD=BD·CD=x(3-x).于是=AD·S△BCD=(3-x)·x(3-x)=·2x(3-x)·(3-x)≤ []3=(当且仅当2x=3-x,即x=1时,等号成立),故当x=1,即BD=1时,三棱锥ABCD的体积最大.(2)以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由(1)知,当三棱锥ABCD的体积最大时,BD=1,AD=CD=2.于是可得D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E(,1,0),所以=(-1,1,1).设N(0,λ,0),则=(-,λ-1,0).因为EN⊥BM,所以·=0,即(-,λ-1,0)·(-1,1,1)=+λ-1=0,故λ=,N(0,,0).所以当DN=(即N是CD上靠近点D的一个四等分点)时,EN⊥BM.设平面BMN的一个法向量为n=(x,y,z),由及=(-1,,0),得取x=1得n=(1,2,-1).设EN与平面BMN所成角的大小为θ,则由=(-,-,0),可得sin θ=|cos<n,>|= ||==,即θ=60°,故EN与平面BMN所成角的大小为60°.4.解：(1)设椭圆C的方程为＋=1(a＞b＞0)．因为离心率为，所以=，解得=，即a2=2b2.又△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|=(|PF1|＋|PF2|)＋(|QF1|＋|QF2|)=2a＋2a=4a，所以4a=8，即a=2，b=2，所以椭圆C的方程为＋=1.(2)证明：把y=0代入＋(y－2)2=，解得x=1或x=4，即点M(1,0)，N(4,0)．①当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM.②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=k(x－1)．联立消去y，得(k2＋2)x2－2k2x＋k2－8=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=.因为y1=k(x1－1)，y2=k(x2－1)，所以kAN＋kBN=＋=＋=.因为(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)=2x1x2－5(x1＋x2)＋8=－＋8==0，所以kAN＋kBN=0，所以∠ANM=∠BNM.综上所述，∠ANM=∠BNM. 5.解：（1）函数在点处与轴相切．，依题意，解得，所以．当时，；当时，．故的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）令，．则，令，则，（ⅰ）若，因为当时，，，所以，所以即在上单调递增．又因为，所以当时，，从而在上单调递增，而，所以，即成立．（ⅱ）若，可得在上单调递增．因为，，所以存在，使得，且当时，，所以即在上单调递减，又因为，所以当时，，从而在上单调递减，而，所以当时，，即不成立．综上所述，的取值范围是．