2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习三(含答案详解)

这是一份2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习三(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了每台仪器各项费用如表等内容，欢迎下载使用。
各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=3，S3=39.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列{cn}的前n项和Tn.
某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为eq \f(3,4)：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为eq \f(4,5).每台仪器各项费用如表：
(1)求每台仪器能出厂的概率；
(2)求生产一台仪器所获得的利润为1 600元的概率(注：利润=出厂价－生产成本－检验费－调试费)；
(3)假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．
如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，点M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面△ADM⊥平面ABCM.
（1）求证：AD⊥平面BMD；
（2）求二面角M一BD﹣C的余弦值.
已知椭圆的左，右焦点分别为，．过原点的直线与椭圆交于，两点，点是椭圆上的点，若，，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆在点处的切线记为直线，点、、在上的射影分别为、、，过作的垂线交轴于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
已知函数f(x)=2ex－(x－a)2＋3，a∈R.
(1)若函数f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行，求a的值；
(2)若x≥0，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
\s 0 参考答案
解：
解：(1)记每台仪器不能出厂为事件A，则P(A)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))=eq \f(1,20)，
所以每台仪器能出厂的概率P(eq \x\t(A))=1－eq \f(1,20)=eq \f(19,20).
(2)生产一台仪器利润为1 600的概率P=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \f(4,5)=eq \f(1,5).
(3)X可取3 800,3 500,3 200,500,200，－2 800.
P(X=3 800)=eq \f(3,4)×eq \f(3,4)=eq \f(9,16)，P(X=3 500)=Ceq \\al(1,2)×eq \f(1,5)×eq \f(3,4)=eq \f(3,10)，P(X=3 200)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up10(2)=eq \f(1,25)，
P(X=500)=Ceq \\al(1,2)×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)×\f(1,5)))=eq \f(3,40)，P(X=200)=Ceq \\al(1,2)×eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)×\f(1,5)))=eq \f(1,50)，P(X=－2 800)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)×\f(1,5)))eq \s\up10(2)=eq \f(1,400).
X的分布列为：
E(X)=3 800×eq \f(9,16)＋3 500×eq \f(3,10)＋3 200×eq \f(1,25)＋500×eq \f(3,40)＋200×eq \f(1,50)＋(－2 800)×eq \f(1,400)=3 350.
解：
解：（1）设，则，∴，设，
由，，，
将，代入，整体消元得：
，∴，
由，且，∴，
由椭圆的对称性知，
有，则，
∵，综合①②③可得：，，
∴椭圆的方程为：．
（2）由（1）知，，直线的方程为：，
即：，
所以，，
∴．
∵，∴的方程为，
令，可得，∴，
则，
又点到直线的距离为，
∴．∴．
当直线平行于轴时，易知，结论显然成立．
综上，．
解：(1)f′(x)=2(ex－x＋a)，
∵函数f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行，即在x=0处的切线的斜率为0，
∴f′(0)=2(a＋1)=0，∴a=－1.
(2)由(1)知f′(x)=2(ex－x＋a)，令h(x)=2(ex－x＋a)(x≥0)，
则h′(x)=2(ex－1)≥0，∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增，
且h(0)=2(a＋1).
①当a≥－1时，f′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，
即函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min=f(0)=5－a2≥0，解得－eq \r(5)≤a≤eq \r(5)，
又a≥－1，∴－1≤a≤eq \r(5).
②当a＜－1时，则存在x0＞0，使h(x0)=0
且当x∈[0，x0)时，h(x)＜0，即f′(x)＜0，
则f(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，h(x)＞0，
则f′(x)＞0，即f(x)单调递增，∴f(x)min=f(x0)=2ex0－(x0－a)2＋3≥0，
又h(x0)=2(ex0－x0＋a)=0，∴2ex0－(ex0)2＋3≥0，解得0＜x0≤ln3.
由ex0=x0－a⇒a=x0－ex0，令M(x)=x－ex,0＜x≤ln3，则M′(x)=1－ex＜0，
∴M(x)在(0，ln3]上单调递减，
则M(x)≥M(ln3)=ln3－3，M(x)＜M(0)=－1，∴ln3－3≤a＜－1.
综上，ln3－3≤a≤eq \r(5).
故a的取值范围是[ln3－3，eq \r(5)].