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江苏省镇江市2020-2021学年高一上学期期末数学试卷 （解析版）
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这是一份江苏省镇江市2020-2021学年高一上学期期末数学试卷 （解析版），共19页。试卷主要包含了单选题.，多项选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷
一、单选题（共8小题）.
1．集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{0，1}，则集合A∩B中元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数y＝tan（2x﹣）的周期为（ ）
A．2π B．π C． D．
3．方程的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．对于全集U，命题甲“所有集合A都满足A∪∁UA＝U”，命题乙为命题甲的否定，则命题甲、乙真假判断正确的是（ ）
A．甲、乙都是真命题
B．甲、乙都不是真命题
C．甲为真命题，乙为假命题
D．甲为假命题，乙为真命题
5．如图，有一个“鼓形”烧水壶正在接水．水壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起．已知单位时间内注水量不变，壶中水面始终为圆形，当注水t＝t0时，壶中水面高度h达到最高h0．在以下图中，最能近似的表示壶中水面高度h与注水时间t的关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数f（x）＝log3（x+2）+x﹣1的零点所在的一个区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
7．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质．已知函数的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．为了提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为了新时代的要求．假设某地2020年全年用于垃圾分类的资金为500万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元的年份是（ ）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年
二、多项选择题（共4小题）.
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd
B．若a＞b，则ka＞kb
C．若a＜b，则|a|＜|b|
D．若a＞b＞0，则
10．已知点P（1，t）在角θ的终边上，下列关于θ的论述正确的是（ ）
A．如果，
B．如果，则t＝2
C．如果t＝3，则sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝2
D．如果sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1），则
11．若2x＝3，3y＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．xy＝2 B． C． D．x＞y
12．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面3米．已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，经过t秒后，水车旋转到P点，则下列说法正确的是（ ）
A．在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为30秒
B．当t＝[0，15]时，点P距水面的最大距离为6米
C．当t＝10秒时，PP0＝6
D．若P第二次到达最高点大约需要时间为80秒
三、填空题（共4小题）.
13．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（2）的值为 ．
14．函数在上的值域为 ．
15．若正数a，b满足a+b＝2，则ab的最大值为 ；的最小值为 ．
16．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成．两岸连接点间距离为米．其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为 米．
四、解答题
17．求下列各式的值．
（1）（e为自然对数的底数）；
（2）．
18．已知函数定义域为A，集B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}．
（1）求集合A，B；
（2）若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19．设函数．
（1）解不等式．
（2）若x∈[1，9]，求函数f（x）的最大值．
20．已知函数满足下列三个条件中的两个条件：①该函数的最大值为2；②该函数的图象可由函数的图象平移得到；③该函数图象相邻两对称轴之间的距离为．
（1）请写出满足条件的一个函数表达式：并用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象；
（2）由题目条件确定的所有函数中，选择两个不同的函数，分别记为f（x）和g（x）．是否存在α∈[0，π]，使得f（α）＝g（α）？若存在，求出α的所有的值；若不存在，请说明理由
21．已知函数f（x）＝x3﹣3x．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明函数f（x）在[0，1]上为减函数；
（3）已知x∈[0，2π]，且f（sinx）＝f（cosx），求x的值．
22．已知函数（a为常数，且a≠0，a∈R）．
请在下面四个函数：
①g1（x）＝2x，②g2（x）＝log2x，③，④
中选择一个函数作为g（x），使得f（x）具有奇偶性．
（1）请写出g（x）表达式，并求a的值；
（2）当f（x）为奇函数时，若对任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，求实数m的取值范围；
（3）当f（x）为偶函数时，请讨论关于x的方程f（2x）＝mf（x）解的个数．
参考答案
一、单选题（共8小题）.
1．集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{0，1}，则集合A∩B中元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{0，1}，
∴A∩B＝{0，1}，
∴集合A∩B中元素的个数是2．
故选：B．
2．函数y＝tan（2x﹣）的周期为（ ）
A．2π B．π C． D．
解：函数y＝tan（2x﹣），
所以T＝＝．
故选：C．
3．方程的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：因为方程的解的个数即为函数y＝与函数y＝logx的交点个数，
在同一直角坐标系中，画出草图可得：
交点个数只有一个，
故方程的解的个数为1，
故选：B．
4．对于全集U，命题甲“所有集合A都满足A∪∁UA＝U”，命题乙为命题甲的否定，则命题甲、乙真假判断正确的是（ ）
A．甲、乙都是真命题
B．甲、乙都不是真命题
C．甲为真命题，乙为假命题
D．甲为假命题，乙为真命题
解：因为命题乙为命题甲的否定，所以命题乙“存在集合A都满足A∪∁UA≠U”．
对于A，因为命题与命题的否定只有一个为真，所以A错；
对于B，因为A∪∁UA＝U对任何U的子集都成立，所以B错；
对于C，因为任何集合A，A∪∁UA＝U都成立，但不存在集合A使A∪∁UA≠U，所以C对；
对于D，由C知，D错；
故选：C．
5．如图，有一个“鼓形”烧水壶正在接水．水壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起．已知单位时间内注水量不变，壶中水面始终为圆形，当注水t＝t0时，壶中水面高度h达到最高h0．在以下图中，最能近似的表示壶中水面高度h与注水时间t的关系是（ ）
A． B．
C． D．
解：由于壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起，
则注水过程中，水面逐步增加，
一开始递增速度较慢，超过中间部分后，单位时间内递增速度较快，
则对应的图象为B，
故选：B．
6．函数f（x）＝log3（x+2）+x﹣1的零点所在的一个区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
解：∵f（x）＝log3（x+2）+x﹣1，∴f（0）＝log32﹣1＜0，f（1）＝1，
∴f（0）f（1）＜0，∴f（x）在（0，1）上存在零点．
故选：A．
7．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质．已知函数的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：f（﹣x）＝＝＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，
当0＜x＜1时，f（x）＞0，排除D，
故选：A．
8．为了提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为了新时代的要求．假设某地2020年全年用于垃圾分类的资金为500万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元的年份是（ ）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年
解：设经过n年后的投入资金为y万元，
则y＝500（1+20%）n，
令y≥1600，即500（1+20%）n≥1600，
故，
所以
＝，
所以第7年即2027年市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元．
故选：C．
二、多项选择题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd
B．若a＞b，则ka＞kb
C．若a＜b，则|a|＜|b|
D．若a＞b＞0，则
解：对于A，若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd，故A正确；
对于B，当k≤0时，不等式ka＞kb不成立，故B不正确；
对于C，若a＜b＜0，则|a|＞|b|，故C不正确；
对于D，若a＞b＞0，则显然成立，故D正确．
故选：AD．
10．已知点P（1，t）在角θ的终边上，下列关于θ的论述正确的是（ ）
A．如果，
B．如果，则t＝2
C．如果t＝3，则sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝2
D．如果sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1），则
解：对于A，＜0⇒θ角终边在三、四象限，
又因为点P（1，t）在角θ的终边，所以θ在第四象限，所以A对；
对于B，当t＝﹣2时，也有，所以B错；
对于C，t＝3⇒cosθ＝，sinθ＝⇒sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝＝2，所以C对；
对于D，sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1）⇒sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ＝a2⇒＜0，
又⇒sinθ＜0⇒sinθ﹣cosθ＝﹣＝﹣＝﹣，
sin3θ﹣cos3θ＝（sinθ﹣cosθ）•（sin2θ+sinθcosθ+cos2θ）
＝（sinθ﹣cosθ）（1+sinθcosθ）＝﹣[1+]⇒，所以D对．
故选：ACD．
11．若2x＝3，3y＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．xy＝2 B． C． D．x＞y
解：∵2x＝3，3y＝4，
∴x＝log23，y＝log34，
∴xy＝log23•log34＝2，故A正确；
x＝log23＞＝，故B错误；
x+y＝log23+log34＞＝2，故C正确；
x﹣y＝log23﹣log34＝﹣＝
＞＞＝0，即x＞y，故D正确．
故选：ACD．
12．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面3米．已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，经过t秒后，水车旋转到P点，则下列说法正确的是（ ）
A．在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为30秒
B．当t＝[0，15]时，点P距水面的最大距离为6米
C．当t＝10秒时，PP0＝6
D．若P第二次到达最高点大约需要时间为80秒
解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O为坐标原点，以平行于水面的直线为x轴建立平面直角坐标系，
点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+B．
则，解A＝6，B＝3，
又水轮每分钟转动一周，则，
∴f（t）＝6sin（φ）+3，
由f（0）＝6sinφ+3＝0，得sinφ＝，∴φ＝，
则f（t）＝6sin（）+3．
对于A，由f（t）＝6sin（）+3＞3，得0π，
解得5＜t＜35，则在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为35﹣5＝30秒，故A正确；
对于B，f（15）＝6sin（）+3＝＞6米，故B错误；
对于C，当t＝10时，，
又OP＝6，∴，故C正确；
对于D，由6sin（）+3＝9，得，即t＝20，
则P第二次到达最高点大约需要时间为60+20＝80秒，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（2）的值为 ．
解：设幂函数为：y＝xa，
∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），
∴2＝4a，
∴a＝，
∴f（2）＝．
故答案为：
14．函数在上的值域为 ．
解：对于函数，当x∈时，2x﹣∈[﹣，π]，
故当2x﹣＝时，y取得最大值为2，
当2x﹣＝﹣ 时，y取得最小值为﹣，
∴函数在上的值域为[﹣，2]，
故答案为：[﹣，2]．
15．若正数a，b满足a+b＝2，则ab的最大值为 1 ；的最小值为 ．
解：∵正数a，b满足a+b＝2，∴2≥2，解得ab≤1，
当且仅当a＝b＝1时取等号，∴ab有最大值为1．
＝（+）（a+b）＝（5++）（5+2）＝，当且仅当b＝2a＝时取等号．
∴的最小值为，
故答案为：1，．
16．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成．两岸连接点间距离为米．其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为 （40+30）π 米．
解：由题意，如图所示，可得QT＝60米，PQ＝60米，
连接PO，可得PO⊥QT，
因为sin∠QPO＝，
所以∠QPO＝，∠QPT＝，
所以绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为L＝2π×（）+60×＝（40+30）π米．
故答案为：（40+30）π．
四、解答题
17．求下列各式的值．
（1）（e为自然对数的底数）；
（2）．
解：（1）
＝
＝．
（2）
＝
＝
＝．
18．已知函数定义域为A，集B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}．
（1）求集合A，B；
（2）若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解：（1）由题意知：，
解得x＞3或x＜1，
∴集合A＝（﹣∞，1]∪（3，+∞），
对于集合B满足：x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）≤0，
其中m﹣2＜m+2，∴B＝[m﹣2，m+2]；
（2）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则集合B是A的真子集，
由（1）知，只需满足m+2＜1或m﹣2＞3即可，
此时解得m＜﹣1或m＞5，
综述，满足题意的m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．
19．设函数．
（1）解不等式．
（2）若x∈[1，9]，求函数f（x）的最大值．
解：（1）令，则原式变为，
而t2﹣t+2＞0恒成立，
∴，即，
所以2t＞t2﹣t+2，即t2﹣3t+2＜0，
解得t∈（1，2），
∴，解得x∈（3，9）；
（2）当x∈[1，9]时，由（1）中换元知t∈[0，2]．
当t＝0时，f（t）＝0；
当t＝（0，2]时，∵，当且仅当时取等，
∴f（x）的最大值为，经检验满足题意，
综上所述，f（x）的最大值为．
20．已知函数满足下列三个条件中的两个条件：①该函数的最大值为2；②该函数的图象可由函数的图象平移得到；③该函数图象相邻两对称轴之间的距离为．
（1）请写出满足条件的一个函数表达式：并用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象；
（2）由题目条件确定的所有函数中，选择两个不同的函数，分别记为f（x）和g（x）．是否存在α∈[0，π]，使得f（α）＝g（α）？若存在，求出α的所有的值；若不存在，请说明理由
解：（1）条件①：函数的最大值为2，可得A＝2，
条件③：函数图象相邻两对称轴之间的距离为，
则函数的周期为，
所以，
故，
故满足条件的一个函数表达式为．
“五点法“列表如下：
作出函数f（x）的图象如图所示：
（2）符合条件①和②的一个函数，
令，，
因为α∈[0，π]，
所以，
故存在，使得f（α）＝g（α）．
21．已知函数f（x）＝x3﹣3x．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明函数f（x）在[0，1]上为减函数；
（3）已知x∈[0，2π]，且f（sinx）＝f（cosx），求x的值．
【解答】解．（1）奇函数；证明：
函数f（x）＝x3﹣3x，定义域x∈Rf（﹣x）＝（﹣x）3﹣3（﹣x）＝﹣（x3﹣3x）＝﹣f（x）
故f（x）为奇函数
（2）任取0≤x1＜x2≤1，＝，
因为，，0≤x1x2＜1
所以
则f（x1）﹣f（x2）＞0⇒f（x1）＞f（x2）
所以f（x）在[0，1]上为减函数．
（3）x∈[0，2π]，﹣1≤sin≤1，﹣﹣1≤cosx≤1f（x）在R上为奇函数且f（x）在[0，1]为减函数，
则有f（x）在[﹣1，1]也是减函数，又f（sinx）＝f（cosx）⇒sinx＝cosx，
又x∈[0，2π]，则或．
22．已知函数（a为常数，且a≠0，a∈R）．
请在下面四个函数：
①g1（x）＝2x，②g2（x）＝log2x，③，④
中选择一个函数作为g（x），使得f（x）具有奇偶性．
（1）请写出g（x）表达式，并求a的值；
（2）当f（x）为奇函数时，若对任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，求实数m的取值范围；
（3）当f（x）为偶函数时，请讨论关于x的方程f（2x）＝mf（x）解的个数．
解：（1）若选①g1（x）＝2x，则f（x）＝，定义域为R，
当f（x）为奇函数，f（0）＝≠0，不满足条件．奇函数的性质；
当f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），
即f（﹣x）＝＝＝，
整理得2a＝不是常数，不满足条件．
若选②g2（x）＝log2x，则函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．
若选③，则f（x）＝．定义域为R，
当f（x）为奇函数，f（0）＝≠0，不满足条件．奇函数的性质；
当f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），即＝＝＝，
整理得a＝＝﹣＝﹣不是常数，不满足条件．
若选④g（x）＝8x，，，
当f（x）为奇函数，f（x）＝﹣f（﹣x）⇒a＝﹣1；
当f（x）为偶函数，f（x）＝f（﹣x）⇒a＝1．
（2）当f（x）为奇函数时，f（x）＝2x﹣2﹣x，x∈[1，2]，2x∈[2，4]，，
若对于任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，
，
所以m的取值范围是．
（3）当f（x）为偶函数时，f（x）＝2x+2﹣x，f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2，
令t＝2x+2﹣x≥2，则t2﹣2＝mt（t≥2），，
又在[2，+∞）单调递增，所以h（t）≥1，
1．当m＜1，此时方程无解；
2．当m≥1，存在唯一解t0∈[2，+∞），
又因为f（x）＝2x+2﹣x为偶函数，不防设0≤x1＜x2，
，
所以f（x）在[0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0]单调递减，
①当m＝1时，t0＝2，此时方程有唯一解x0＝0；
②当m＞1时，t0＞2，此时方程有两个解，
下证必要性：
令h（x）＝2x+2﹣x﹣t0，h（x）为偶函数，h（x）在[0，+∞）单调递增，h（0）＝2﹣t0＜0，
所以h（x）在有一个零点，
又因为函数时偶函数，则在也有一个零点，
所以当m＞1，t0＞2时一共有2两个零点．
2020-2021学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷
一、单选题（共8小题）.
1．集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{0，1}，则集合A∩B中元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数y＝tan（2x﹣）的周期为（ ）
A．2π B．π C． D．
3．方程的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．对于全集U，命题甲“所有集合A都满足A∪∁UA＝U”，命题乙为命题甲的否定，则命题甲、乙真假判断正确的是（ ）
A．甲、乙都是真命题
B．甲、乙都不是真命题
C．甲为真命题，乙为假命题
D．甲为假命题，乙为真命题
5．如图，有一个“鼓形”烧水壶正在接水．水壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起．已知单位时间内注水量不变，壶中水面始终为圆形，当注水t＝t0时，壶中水面高度h达到最高h0．在以下图中，最能近似的表示壶中水面高度h与注水时间t的关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数f（x）＝log3（x+2）+x﹣1的零点所在的一个区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
7．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质．已知函数的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．为了提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为了新时代的要求．假设某地2020年全年用于垃圾分类的资金为500万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元的年份是（ ）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年
二、多项选择题（共4小题）.
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd
B．若a＞b，则ka＞kb
C．若a＜b，则|a|＜|b|
D．若a＞b＞0，则
10．已知点P（1，t）在角θ的终边上，下列关于θ的论述正确的是（ ）
A．如果，
B．如果，则t＝2
C．如果t＝3，则sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝2
D．如果sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1），则
11．若2x＝3，3y＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．xy＝2 B． C． D．x＞y
12．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面3米．已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，经过t秒后，水车旋转到P点，则下列说法正确的是（ ）
A．在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为30秒
B．当t＝[0，15]时，点P距水面的最大距离为6米
C．当t＝10秒时，PP0＝6
D．若P第二次到达最高点大约需要时间为80秒
三、填空题（共4小题）.
13．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（2）的值为 ．
14．函数在上的值域为 ．
15．若正数a，b满足a+b＝2，则ab的最大值为 ；的最小值为 ．
16．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成．两岸连接点间距离为米．其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为 米．
四、解答题
17．求下列各式的值．
（1）（e为自然对数的底数）；
（2）．
18．已知函数定义域为A，集B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}．
（1）求集合A，B；
（2）若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19．设函数．
（1）解不等式．
（2）若x∈[1，9]，求函数f（x）的最大值．
20．已知函数满足下列三个条件中的两个条件：①该函数的最大值为2；②该函数的图象可由函数的图象平移得到；③该函数图象相邻两对称轴之间的距离为．
（1）请写出满足条件的一个函数表达式：并用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象；
（2）由题目条件确定的所有函数中，选择两个不同的函数，分别记为f（x）和g（x）．是否存在α∈[0，π]，使得f（α）＝g（α）？若存在，求出α的所有的值；若不存在，请说明理由
21．已知函数f（x）＝x3﹣3x．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明函数f（x）在[0，1]上为减函数；
（3）已知x∈[0，2π]，且f（sinx）＝f（cosx），求x的值．
22．已知函数（a为常数，且a≠0，a∈R）．
请在下面四个函数：
①g1（x）＝2x，②g2（x）＝log2x，③，④
中选择一个函数作为g（x），使得f（x）具有奇偶性．
（1）请写出g（x）表达式，并求a的值；
（2）当f（x）为奇函数时，若对任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，求实数m的取值范围；
（3）当f（x）为偶函数时，请讨论关于x的方程f（2x）＝mf（x）解的个数．
参考答案
一、单选题（共8小题）.
1．集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{0，1}，则集合A∩B中元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{0，1}，
∴A∩B＝{0，1}，
∴集合A∩B中元素的个数是2．
故选：B．
2．函数y＝tan（2x﹣）的周期为（ ）
A．2π B．π C． D．
解：函数y＝tan（2x﹣），
所以T＝＝．
故选：C．
3．方程的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：因为方程的解的个数即为函数y＝与函数y＝logx的交点个数，
在同一直角坐标系中，画出草图可得：
交点个数只有一个，
故方程的解的个数为1，
故选：B．
4．对于全集U，命题甲“所有集合A都满足A∪∁UA＝U”，命题乙为命题甲的否定，则命题甲、乙真假判断正确的是（ ）
A．甲、乙都是真命题
B．甲、乙都不是真命题
C．甲为真命题，乙为假命题
D．甲为假命题，乙为真命题
解：因为命题乙为命题甲的否定，所以命题乙“存在集合A都满足A∪∁UA≠U”．
对于A，因为命题与命题的否定只有一个为真，所以A错；
对于B，因为A∪∁UA＝U对任何U的子集都成立，所以B错；
对于C，因为任何集合A，A∪∁UA＝U都成立，但不存在集合A使A∪∁UA≠U，所以C对；
对于D，由C知，D错；
故选：C．
5．如图，有一个“鼓形”烧水壶正在接水．水壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起．已知单位时间内注水量不变，壶中水面始终为圆形，当注水t＝t0时，壶中水面高度h达到最高h0．在以下图中，最能近似的表示壶中水面高度h与注水时间t的关系是（ ）
A． B．
C． D．
解：由于壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起，
则注水过程中，水面逐步增加，
一开始递增速度较慢，超过中间部分后，单位时间内递增速度较快，
则对应的图象为B，
故选：B．
6．函数f（x）＝log3（x+2）+x﹣1的零点所在的一个区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
解：∵f（x）＝log3（x+2）+x﹣1，∴f（0）＝log32﹣1＜0，f（1）＝1，
∴f（0）f（1）＜0，∴f（x）在（0，1）上存在零点．
故选：A．
7．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质．已知函数的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：f（﹣x）＝＝＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，
当0＜x＜1时，f（x）＞0，排除D，
故选：A．
8．为了提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为了新时代的要求．假设某地2020年全年用于垃圾分类的资金为500万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元的年份是（ ）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年
解：设经过n年后的投入资金为y万元，
则y＝500（1+20%）n，
令y≥1600，即500（1+20%）n≥1600，
故，
所以
＝，
所以第7年即2027年市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元．
故选：C．
二、多项选择题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd
B．若a＞b，则ka＞kb
C．若a＜b，则|a|＜|b|
D．若a＞b＞0，则
解：对于A，若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd，故A正确；
对于B，当k≤0时，不等式ka＞kb不成立，故B不正确；
对于C，若a＜b＜0，则|a|＞|b|，故C不正确；
对于D，若a＞b＞0，则显然成立，故D正确．
故选：AD．
10．已知点P（1，t）在角θ的终边上，下列关于θ的论述正确的是（ ）
A．如果，
B．如果，则t＝2
C．如果t＝3，则sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝2
D．如果sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1），则
解：对于A，＜0⇒θ角终边在三、四象限，
又因为点P（1，t）在角θ的终边，所以θ在第四象限，所以A对；
对于B，当t＝﹣2时，也有，所以B错；
对于C，t＝3⇒cosθ＝，sinθ＝⇒sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝＝2，所以C对；
对于D，sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1）⇒sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ＝a2⇒＜0，
又⇒sinθ＜0⇒sinθ﹣cosθ＝﹣＝﹣＝﹣，
sin3θ﹣cos3θ＝（sinθ﹣cosθ）•（sin2θ+sinθcosθ+cos2θ）
＝（sinθ﹣cosθ）（1+sinθcosθ）＝﹣[1+]⇒，所以D对．
故选：ACD．
11．若2x＝3，3y＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．xy＝2 B． C． D．x＞y
解：∵2x＝3，3y＝4，
∴x＝log23，y＝log34，
∴xy＝log23•log34＝2，故A正确；
x＝log23＞＝，故B错误；
x+y＝log23+log34＞＝2，故C正确；
x﹣y＝log23﹣log34＝﹣＝
＞＞＝0，即x＞y，故D正确．
故选：ACD．
12．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面3米．已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，经过t秒后，水车旋转到P点，则下列说法正确的是（ ）
A．在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为30秒
B．当t＝[0，15]时，点P距水面的最大距离为6米
C．当t＝10秒时，PP0＝6
D．若P第二次到达最高点大约需要时间为80秒
解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O为坐标原点，以平行于水面的直线为x轴建立平面直角坐标系，
点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+B．
则，解A＝6，B＝3，
又水轮每分钟转动一周，则，
∴f（t）＝6sin（φ）+3，
由f（0）＝6sinφ+3＝0，得sinφ＝，∴φ＝，
则f（t）＝6sin（）+3．
对于A，由f（t）＝6sin（）+3＞3，得0π，
解得5＜t＜35，则在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为35﹣5＝30秒，故A正确；
对于B，f（15）＝6sin（）+3＝＞6米，故B错误；
对于C，当t＝10时，，
又OP＝6，∴，故C正确；
对于D，由6sin（）+3＝9，得，即t＝20，
则P第二次到达最高点大约需要时间为60+20＝80秒，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（2）的值为 ．
解：设幂函数为：y＝xa，
∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），
∴2＝4a，
∴a＝，
∴f（2）＝．
故答案为：
14．函数在上的值域为 ．
解：对于函数，当x∈时，2x﹣∈[﹣，π]，
故当2x﹣＝时，y取得最大值为2，
当2x﹣＝﹣ 时，y取得最小值为﹣，
∴函数在上的值域为[﹣，2]，
故答案为：[﹣，2]．
15．若正数a，b满足a+b＝2，则ab的最大值为 1 ；的最小值为 ．
解：∵正数a，b满足a+b＝2，∴2≥2，解得ab≤1，
当且仅当a＝b＝1时取等号，∴ab有最大值为1．
＝（+）（a+b）＝（5++）（5+2）＝，当且仅当b＝2a＝时取等号．
∴的最小值为，
故答案为：1，．
16．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成．两岸连接点间距离为米．其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为 （40+30）π 米．
解：由题意，如图所示，可得QT＝60米，PQ＝60米，
连接PO，可得PO⊥QT，
因为sin∠QPO＝，
所以∠QPO＝，∠QPT＝，
所以绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为L＝2π×（）+60×＝（40+30）π米．
故答案为：（40+30）π．
四、解答题
17．求下列各式的值．
（1）（e为自然对数的底数）；
（2）．
解：（1）
＝
＝．
（2）
＝
＝
＝．
18．已知函数定义域为A，集B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}．
（1）求集合A，B；
（2）若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解：（1）由题意知：，
解得x＞3或x＜1，
∴集合A＝（﹣∞，1]∪（3，+∞），
对于集合B满足：x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）≤0，
其中m﹣2＜m+2，∴B＝[m﹣2，m+2]；
（2）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则集合B是A的真子集，
由（1）知，只需满足m+2＜1或m﹣2＞3即可，
此时解得m＜﹣1或m＞5，
综述，满足题意的m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．
19．设函数．
（1）解不等式．
（2）若x∈[1，9]，求函数f（x）的最大值．
解：（1）令，则原式变为，
而t2﹣t+2＞0恒成立，
∴，即，
所以2t＞t2﹣t+2，即t2﹣3t+2＜0，
解得t∈（1，2），
∴，解得x∈（3，9）；
（2）当x∈[1，9]时，由（1）中换元知t∈[0，2]．
当t＝0时，f（t）＝0；
当t＝（0，2]时，∵，当且仅当时取等，
∴f（x）的最大值为，经检验满足题意，
综上所述，f（x）的最大值为．
20．已知函数满足下列三个条件中的两个条件：①该函数的最大值为2；②该函数的图象可由函数的图象平移得到；③该函数图象相邻两对称轴之间的距离为．
（1）请写出满足条件的一个函数表达式：并用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象；
（2）由题目条件确定的所有函数中，选择两个不同的函数，分别记为f（x）和g（x）．是否存在α∈[0，π]，使得f（α）＝g（α）？若存在，求出α的所有的值；若不存在，请说明理由
解：（1）条件①：函数的最大值为2，可得A＝2，
条件③：函数图象相邻两对称轴之间的距离为，
则函数的周期为，
所以，
故，
故满足条件的一个函数表达式为．
“五点法“列表如下：
作出函数f（x）的图象如图所示：
（2）符合条件①和②的一个函数，
令，，
因为α∈[0，π]，
所以，
故存在，使得f（α）＝g（α）．
21．已知函数f（x）＝x3﹣3x．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明函数f（x）在[0，1]上为减函数；
（3）已知x∈[0，2π]，且f（sinx）＝f（cosx），求x的值．
【解答】解．（1）奇函数；证明：
函数f（x）＝x3﹣3x，定义域x∈Rf（﹣x）＝（﹣x）3﹣3（﹣x）＝﹣（x3﹣3x）＝﹣f（x）
故f（x）为奇函数
（2）任取0≤x1＜x2≤1，＝，
因为，，0≤x1x2＜1
所以
则f（x1）﹣f（x2）＞0⇒f（x1）＞f（x2）
所以f（x）在[0，1]上为减函数．
（3）x∈[0，2π]，﹣1≤sin≤1，﹣﹣1≤cosx≤1f（x）在R上为奇函数且f（x）在[0，1]为减函数，
则有f（x）在[﹣1，1]也是减函数，又f（sinx）＝f（cosx）⇒sinx＝cosx，
又x∈[0，2π]，则或．
22．已知函数（a为常数，且a≠0，a∈R）．
请在下面四个函数：
①g1（x）＝2x，②g2（x）＝log2x，③，④
中选择一个函数作为g（x），使得f（x）具有奇偶性．
（1）请写出g（x）表达式，并求a的值；
（2）当f（x）为奇函数时，若对任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，求实数m的取值范围；
（3）当f（x）为偶函数时，请讨论关于x的方程f（2x）＝mf（x）解的个数．
解：（1）若选①g1（x）＝2x，则f（x）＝，定义域为R，
当f（x）为奇函数，f（0）＝≠0，不满足条件．奇函数的性质；
当f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），
即f（﹣x）＝＝＝，
整理得2a＝不是常数，不满足条件．
若选②g2（x）＝log2x，则函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．
若选③，则f（x）＝．定义域为R，
当f（x）为奇函数，f（0）＝≠0，不满足条件．奇函数的性质；
当f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），即＝＝＝，
整理得a＝＝﹣＝﹣不是常数，不满足条件．
若选④g（x）＝8x，，，
当f（x）为奇函数，f（x）＝﹣f（﹣x）⇒a＝﹣1；
当f（x）为偶函数，f（x）＝f（﹣x）⇒a＝1．
（2）当f（x）为奇函数时，f（x）＝2x﹣2﹣x，x∈[1，2]，2x∈[2，4]，，
若对于任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，
，
所以m的取值范围是．
（3）当f（x）为偶函数时，f（x）＝2x+2﹣x，f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2，
令t＝2x+2﹣x≥2，则t2﹣2＝mt（t≥2），，
又在[2，+∞）单调递增，所以h（t）≥1，
1．当m＜1，此时方程无解；
2．当m≥1，存在唯一解t0∈[2，+∞），
又因为f（x）＝2x+2﹣x为偶函数，不防设0≤x1＜x2，
，
所以f（x）在[0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0]单调递减，
①当m＝1时，t0＝2，此时方程有唯一解x0＝0；
②当m＞1时，t0＞2，此时方程有两个解，
下证必要性：
令h（x）＝2x+2﹣x﹣t0，h（x）为偶函数，h（x）在[0，+∞）单调递增，h（0）＝2﹣t0＜0，
所以h（x）在有一个零点，
又因为函数时偶函数，则在也有一个零点，
所以当m＞1，t0＞2时一共有2两个零点．
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