还剩16页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
江苏省盐城市阜宁县2020-2021学年高一上学期期末数学试卷 （解析版）
展开
这是一份江苏省盐城市阜宁县2020-2021学年高一上学期期末数学试卷 （解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．函数f（x）＝sin2x的最小正周期是（ ）
A． B．π C．2π D．4π
2．设集合U＝{0，1，3，5，6，8}，A＝{1，5，8}，B＝{2}，则（∁UA）∪B＝（ ）
A．{0，2，3，6} B．{0，3，6} C．{1，2，5，8} D．∅
3．命题“∀x∈R，2x＞2x+1”的否定为（ ）
A．∀x∈R，2x＜2x+1 B．∀x∈R，2x≤2x+1
C．∃x∈R，2x＞2x+1 D．∃x∈R，2x≤2x+1
4．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，则f（1）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
5．sin（﹣）＝（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的特征，如函数y＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知x＞0，y＞0，x+2y＝1，则的最小值是（ ）
A．2 B．3+2 C．6 D．8
8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小．其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从100提升至900，则C大约增加了（ ）（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．28% B．38% C．48% D．68%
二、多项选择题（共4小题）.
9．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＞0 D．a+b+c＞0
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知方程ex＝8﹣x的解在（k，k+1）（k∈Z）内，则k＝1
B．函数f（x）＝x2﹣2x﹣3的零点是（﹣1，0），（3，0）
C．函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称
D．用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内的近似解的过程中得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（1.25，1.5）上
11．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点（4，2），则下列命题正确的有（ ）
A．该函数在定义域上是偶函数
B．对定义域上任意实数x1，x2，且x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0
C．对定义域上任意实数x1，x2，且x1≠x2，都有
D．对定义域上任意实数x1，x2，都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）
12．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若把f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
C．若把函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数是奇函数
D．，若恒成立，则a的范围为
三、填空题（共4小题）.
13．函数f（x）＝+lg（1+2x）的定义域为 ．
14．若命题P：∀x∈R，x2+2x+a﹣1≥0是真命题，则实数a的取值范围是 ．
15．已知函数，对任意x∈R恒有，则函数f（x）在上单调增区间 ．
16．若函数（a＞0且a≠1），满足对任意的x1，x2，当x1＜x2≤a时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（共6小题）.
17．已知，且α是第二象限角．
（1）求cosα，tanα的值；
（2）求的值．
18．在①A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，②A＝{x|＜1}，③A＝{x|y＝}这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题．
设全集U＝R，____，B＝[a﹣1，a+6]．
（1）当a＝1时，求A∩B，（∁UA）∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+2，x∈[0，4]．
（1）当a＝1时，求f（x）的最值；
（2）若不等式f（x）≥2a+1对任意x∈[0，4]恒成立，求实数a的取值范围．
20．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：
时刻
2：00
5：00
8：00
11：00
14：00
17：00
20：00
23：00
水深/米
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B来描述．
（1）根据以上数据，求出函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B的表达式；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内（0：00～24：00）何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？
21．已知f（x）+g（x）＝log2（2﹣x），其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在其定义域上的单调性；
（3）解关于t不等式f（t﹣1）+f（2t+1）﹣3t＞0．
22．已知函数，其中m∈R．
（1）当函数f（x）为偶函数时，求m的值；
（2）若m＝0，函数﹣1，x∈[﹣2，0]，是否存在实数k，使得g（x）的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（3）设函数h（x）＝，g（x）＝，若对每一个不小于3的实数x1，都有小于3的实数x2，使得g（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．函数f（x）＝sin2x的最小正周期是（ ）
A． B．π C．2π D．4π
【分析】利用y＝Asin（ωx+φ）+b的最小正周期为，的出结论．
解：函数f（x）＝sin2x的最小正周期为T＝＝＝π，
故选：B．
2．设集合U＝{0，1，3，5，6，8}，A＝{1，5，8}，B＝{2}，则（∁UA）∪B＝（ ）
A．{0，2，3，6} B．{0，3，6} C．{1，2，5，8} D．∅
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
解：∵U＝{0，1，3，5，6，8}，A＝{1，5，8}，B＝{2}，
∴（∁UA）∪B＝{0，3，6}∪{2}＝{1，0，2，3，6}，
故选：A．
3．命题“∀x∈R，2x＞2x+1”的否定为（ ）
A．∀x∈R，2x＜2x+1 B．∀x∈R，2x≤2x+1
C．∃x∈R，2x＞2x+1 D．∃x∈R，2x≤2x+1
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，2x＞2x+1”的否定为：∃x∈R，2x≤2x+1．
故选：D．
4．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，则f（1）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】要计算f（1）的值，根据f（x）是定义在R上的奇函数，我们可以先计算f（﹣1）的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，代入即可得到答案．
解：∵当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，
∴f（﹣1）＝2（﹣1）2﹣（﹣1）＝3，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣3
故选：A．
5．sin（﹣）＝（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】利用诱导公式化简即可求值得解．
解：sin（﹣）＝﹣sin＝﹣sin＝﹣．
故选：B．
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的特征，如函数y＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先利用奇偶性，f（﹣x）＝﹣f（x），可知是奇函数，排除C，D，利用特殊值x＝1，即可判断出图象．
解：函数f（x）＝，
则f（﹣x）＝﹣f（x），可知是奇函数，排除C，D，
当x＝1时，可得f（1）＝2＞0，图象在x轴的上方，排除B，
故选：A．
7．已知x＞0，y＞0，x+2y＝1，则的最小值是（ ）
A．2 B．3+2 C．6 D．8
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝1，
则+＝（+）（x+2y）＝3+，
当且仅当且x+2y＝1即y＝＝，x＝时取等号，
故选：B．
8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小．其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从100提升至900，则C大约增加了（ ）（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．28% B．38% C．48% D．68%
【分析】由题意可得C的增加值为，再由对数的运算性质求解．
解：将信噪比从100提升至900时，
C大约增加了
＝≈＝
≈0.4771≈48%．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＞0 D．a+b+c＞0
【分析】根据一元二次不等式与对应的二次函数和方程的关系，对选项中的命题判断正误即可．
解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣，2），
所以相应的二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象开口向下，即a＜0，所以A正确．
由2和﹣是方程ax2+bx+c＝0的两个根，则有 ＝﹣1＜0，﹣＝＞0；
又a＜0，所以b＞0，c＞0，所以B错误．
由二次函数的图象可知f（1）＝a+b+c＞0，f（﹣1）＝a﹣b+c＜0，所以D正确、C错误．
故选：AD．
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知方程ex＝8﹣x的解在（k，k+1）（k∈Z）内，则k＝1
B．函数f（x）＝x2﹣2x﹣3的零点是（﹣1，0），（3，0）
C．函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称
D．用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内的近似解的过程中得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（1.25，1.5）上
【分析】将方程的根转化为函数的零点，由函数的零点存在性定理求出k的值，即可判断选项A；函数的零点即为方程的根，从而判断选项B；由反函数图象关于y＝x对称，即可判断选项C；由零点存在性定理即可判断选项D．
解：对于A，令f（x）＝ex+x﹣8，则方程ex＝8﹣x的解是函数f（x）的零点，
因为f（x）＝ex+x﹣8是R上的增函数，且f（1）＝e+1﹣8＝e﹣7＜0，f（2）＝e2+2﹣8＝e2﹣6＞0，
所以由函数的零点的存在性定理可得，函数的零点在区间（1，2）上，
所以k＝1，故A正确；
对于B，令f（x）＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，
所以函数f（x）＝x2﹣2x﹣3的零点是﹣1和3，故B错误；
对于C，函数y＝3x，y＝log3x互为反函数，又反函数图象关于y＝x对称，故C正确；
因为f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，由零点存在性定理，可得方程的根落在区间（1.25，1.5）上，故D正确．
故选：ACD．
11．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点（4，2），则下列命题正确的有（ ）
A．该函数在定义域上是偶函数
B．对定义域上任意实数x1，x2，且x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0
C．对定义域上任意实数x1，x2，且x1≠x2，都有
D．对定义域上任意实数x1，x2，都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）
【分析】求出函数f（x）＝，可求得定义域不关于原点对称，从而可判断选项A；由函数f（x）＝为增函数，即可判断选项B；由函数f（x）＝为凸函数即可判断选项C；计算f（x1•x2）与f（x1）+f（x2），即可判断选项D．
解：因为幂函数f（x）＝xa的图象经过点（4，2），
所以4a＝2，所以a＝，
所以f（x）＝，定义域为[0，+∞），f（x）为非奇非偶函数，故A错误；
由幂函数的性质可知f（x）＝在[0，+∞）上为增函数，
所以对任意实数x1，x2∈[0，+∞），不妨设0≤x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），
所以x1﹣x2＜0，f（x1）﹣f（x2）＜0，所以[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，故B正确；
因为函数f（x）＝是凸函数（或根据图象），所以对定义域上任意的x1，x2，都有成立，故C正确．
f（x1•x2）＝，f（x1）+f（x2）＝+，
所以f（x1•x2）与f（x1）+f（x2）不一定相等，故D错误．
故选：BC．
12．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若把f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
C．若把函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数是奇函数
D．，若恒成立，则a的范围为
【分析】由函数图象可求其周期，利用周期公式可求ω的值，由f（2π）＝2，可得φ＝2kπ﹣（k∈Z），结合范围|φ|＜π，可求φ＝﹣，可得函数解析式，进而根据正弦函数的图象和性质以及函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求解．
解：如图所示：T＝﹣2π＝，
∴T＝6π，
∴ω＝＝，
∵f（2π）＝2，
∴f（2π）＝2sin（+φ）＝2，即sin（+φ）＝1，
∴+φ＝2kπ+（k∈Z），
∴φ＝2kπ﹣，（k∈Z），
∵|φ|＜π，
∴φ＝﹣，
∴f（x）＝2sin（x﹣），故A错误；
把y＝f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数y＝2sin（x﹣），
∵x∈，
∴﹣≤x﹣≤，
∴y＝2sin（x﹣）在上单调递增，故B正确；
把y＝f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数y＝2sin[（x﹣+）]＝2sin，是奇函数，故C正确；
由f（3x）+a≥f（）可得a≥f（）﹣f（3x），∀x∈[﹣，]恒成立，令g（x）＝f（）﹣f（3x），∀x∈[﹣，]，则g（x）＝﹣2sin（x﹣），
∵﹣≤x≤，
∴﹣≤x﹣≤，
∴﹣1≤g（x）≤+2，
∴a≥+2，
∴则a的范围为，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数f（x）＝+lg（1+2x）的定义域为 [1，+∞） ．
【分析】直接利用函数定义域的定义，即使得解析式有意义的自变量的取值集合，列出不等式组求解即可．
解：因为函数f（x）＝+lg（1+2x），
所以，解得x≥1，
故函数的定义域为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
14．若命题P：∀x∈R，x2+2x+a﹣1≥0是真命题，则实数a的取值范围是 （3，+∞） ．
【分析】将命题为真命题转化为不等式恒成立，利用判别式小于等于0求解即可．
解：因为命题P：∀x∈R，x2+2x+a﹣1≥0是真命题，
所以x2+2x+a﹣1≥0对∀x∈R恒成立，
则有，解得a≥3，
故实数a的取值范围是（3，+∞）．
故答案为：（3，+∞）．
15．已知函数，对任意x∈R恒有，则函数f（x）在上单调增区间 [0，] ．
【分析】根据条件求出周期，结合最值求出φ，结合函数的单调性进行求解即可解．
解：∵，
∴＝，即T＝π，
又＝π，得ω＝2，
则f（x）＝sin（2x+φ），
∵对任意x∈R恒有，
∴当x＝时，函数取得最大值，
即2×+φ＝2kπ+，k∈Z，
得φ＝2kπ+﹣＝2kπ﹣，
∵﹣＜φ＜0，
∴当k＝0时，φ＝﹣，
则f（x）＝sin（2x﹣），
当0≤x＜时，
0≤2x＜π，﹣≤2x﹣＜，
要使函数为增函数，
则﹣≤2x﹣≤，
得0≤2x≤，即0≤x≤，
即函数f（x）的单调递增区间为[0，]，
故答案为：[0，]．
16．若函数（a＞0且a≠1），满足对任意的x1，x2，当x1＜x2≤a时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则实数a的取值范围为 ． ．
【分析】令g（x）＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2﹣a2+3，利用二次函数的性质得到g（x）的单调性，再利用复合函数的单调性可得f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，再将x2﹣2ax+3＞0恒成立，转化为二次函数求最值，求解即可．
解：令g（x）＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2﹣a2+3，
所以g（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
因为对任意的x1，x2，当x1＜x2≤a时，f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，则a＞1，
由x2﹣2ax+3＞0恒成立可得，g（x）min＞0，
又，
所以﹣a2+3＞0，解得，
所以，
所以实数a的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知，且α是第二象限角．
（1）求cosα，tanα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据α所在的象限，根据同角三角函数的基本关系，即可求解cosα，tanα的值；
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．
解：（1）∵α为第二象限角，，
∴cosα＝﹣＝﹣＝﹣，tanα＝＝﹣．
（2）＝＝cosα＝﹣．
18．在①A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，②A＝{x|＜1}，③A＝{x|y＝}这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题．
设全集U＝R，____，B＝[a﹣1，a+6]．
（1）当a＝1时，求A∩B，（∁UA）∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）直接利用集合交集、并集、补集的定义求解即可；
（2）利用充分条件和必要条件的定义将问题转化为集合的真子集关系，列出不等式组，求解即可．
解：若选①：
A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
（1）当a＝1时，B＝[0，7]，
所以A∩B＝{x|0≤x＜3}，
（∁UA）∪B＝{x|x≤﹣1或x≥0}；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
则有{x|﹣1＜x＜3}⫋[a﹣1，a+6]，
则有（不能同时取等号），解得﹣3≤a≤0，
故实数a的取值范围为﹣3≤a≤0．
若选②：
A＝{x|＜1}＝{x|}＝{x|（x﹣3）（x+1）＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
（1）当a＝1时，B＝[0，7]，
所以A∩B＝{x|0≤x＜3}，
（∁UA）∪B＝{x|x≤﹣1或x≥0}；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
则有{x|﹣1＜x＜3}⫋[a﹣1，a+6]，
则有（不能同时取等号），解得﹣3≤a≤0，
故实数a的取值范围为﹣3≤a≤0．
若选③：
A＝{x|y＝}＝{x|}＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
（1）当a＝1时，B＝[0，7]，
所以A∩B＝{x|0≤x＜3}，
（∁UA）∪B＝{x|x≤﹣1或x≥0}；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
则有{x|﹣1＜x＜3}⫋[a﹣1，a+6]，
则有（不能同时取等号），解得﹣3≤a≤0，
故实数a的取值范围为﹣3≤a≤0．
19．已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+2，x∈[0，4]．
（1）当a＝1时，求f（x）的最值；
（2）若不等式f（x）≥2a+1对任意x∈[0，4]恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由二次函数的性质即可求得最值；
（2）将不等式恒成立问题转化为f（x）min≥2a+1，对a分类讨论，即可求得a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+2，x∈[0，4]，
开口向上，对称轴为x＝1，
所以当x＝1时，f（x）取得最小值为f（1）＝1，
当x＝4时，f（x）取得最大值为f（4）＝10．
（2）若不等式f（x）≥2a+1对任意x∈[0，4]恒成立，
则f（x）min≥2a+1，
当a≤0时，f（x）min＝f（0）＝2，可得2≥2a+1，解得a≤0，
当0＜a＜4时，f（x）min＝f（a）＝﹣a2+2，可得﹣a2+2≥2a+1，解得0＜a＜﹣1+，
当a≥4时，f（x）min＝f（4）＝18﹣8a，可得18﹣8a≥2a+1，无解．
综上，可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1+）．
20．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：
时刻
2：00
5：00
8：00
11：00
14：00
17：00
20：00
23：00
水深/米
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B来描述．
（1）根据以上数据，求出函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B的表达式；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内（0：00～24：00）何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？
【分析】（1）利用已知的数据求出A和B，再利用周期求出ω，由此能求出函数f（x）的解析式；
（2）利用货船需要的安全水深，构建不等式，然后求解三角不等式，再考虑t的取值范围求解即可．
解：（1）由表格可知，f（t）max＝7，f（t）min＝3，
所以＝2，＝5，
又周期为12，所以，
故，
当t＝2时，有，解得，
又因为，所以，
故+5；
（2）货船需要的安全水深为4+2＝6米，
所以当f（t）≥6时就可以进港，
令，可得，
则有，
解得12k≤t≤4+12k，k∈Z，
又t∈[0，24），
故k＝0时，t∈[0，4]，
当k＝1时，t∈[12，16]，
故货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4个小时左右．
21．已知f（x）+g（x）＝log2（2﹣x），其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在其定义域上的单调性；
（3）解关于t不等式f（t﹣1）+f（2t+1）﹣3t＞0．
【分析】（1）运用函数的奇偶性的定义，将x换为﹣x，联立方程，解方程可得所求解析式；
（2）可由复合函数的单调性，求得f（x）的单调性；
（3）令h（x）＝f（x）﹣x，x∈（﹣2，2），判断h（x）的奇偶性与单调性，将不等式转化为，解之即可求得结论．
解：（1）由于函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
可得f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
因为f（x）+g（x）＝log2（2﹣x），所以f（﹣x）+g（﹣x）＝log2（2+x），
即﹣f（x）+g（x）＝log2（2+x），
解得f（x）＝log2，g（x）＝log2（4﹣x2）．
（2）f（x）＝log2的定义域为（﹣2，2），
且f（x）＝log2＝log2（﹣1），
由复合函数的单调性可知f（x）在（﹣2，2）上单调递减．
（3）令h（x）＝f（x）﹣x，x∈（﹣2，2），
由h（﹣x）＝f（﹣x）+x＝﹣f（x）+x＝﹣h（x），
可得h（x）为偶函数，且在（﹣2，2）上单调递减，
因为f（t﹣1）+f（2t+1）﹣3t＞0，
所以f（t﹣1）﹣（t﹣1）+f（2t+1）﹣（2t+1）＞0，
即h（t﹣1）+h（2t+1）＞0，即h（t﹣1）＞﹣h（2t+1）＝h（﹣2t﹣1），
所以，解得﹣1＜t＜0，
即不等式的解集为（﹣1，0）．
22．已知函数，其中m∈R．
（1）当函数f（x）为偶函数时，求m的值；
（2）若m＝0，函数﹣1，x∈[﹣2，0]，是否存在实数k，使得g（x）的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（3）设函数h（x）＝，g（x）＝，若对每一个不小于3的实数x1，都有小于3的实数x2，使得g（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据函数f（x）为偶函数，得到关于m的方程，然后求出m的值；
（2）将m＝0代入g（x）中，然后令，得到g（x）＝t2+kt﹣1，再分，k≤﹣2和三种情况，求出使得g（x）的最小值为0的k值；
（3）由对每一个不小于3的实数x1，都有小于3的实数x2，使得g（x1）＝g（x2），可知h（x）（x≥3）的值域包含于9f（x）（x＜3）的值域，然后分m≤0，0＜m＜3和m≥3三种情况求出m的取值范围．
解：（1）∵函数f（x）为偶函数，∴f（﹣1）＝f（1），∴，∴m＝0；
（2）若m＝0，函数＝＝3x+，
令，，则g（x）＝t2+kt﹣1，
∴①当﹣，即时，，解出，符合题意；
②当，即k≤﹣2时，g（x）min＝g（1）＝1+k﹣1＝0，解出k＝0，不符合题意；
③当，即时，，无解，
∴存在实数，使得g（x）的最小值为0．
（3）∵对每一个不小于3的实数x1，都有小于3的实数x2，使得g（x1）＝g（x2），
∴h（x）（x≥3）的值域包含于9f（x）（x＜3）的值域；
①当m≤0时，，而，∴不符合题意；
②当0＜m＜3时，，当且仅当x＝3等号成立，
以h（x）的值域为，而，
则，∴，解得m≤162，∴0＜m＜3；
③当m≥3时，，当且仅当x＝3等号成立，
∴h（x）的值域为，而，
∴，∵函数为减函数，K（6）＝0，
∴当，得到3≤m＜6，
综上所述0＜m＜6，
∴实数m的取值范围为（0，6）．
2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．函数f（x）＝sin2x的最小正周期是（ ）
A． B．π C．2π D．4π
2．设集合U＝{0，1，3，5，6，8}，A＝{1，5，8}，B＝{2}，则（∁UA）∪B＝（ ）
A．{0，2，3，6} B．{0，3，6} C．{1，2，5，8} D．∅
3．命题“∀x∈R，2x＞2x+1”的否定为（ ）
A．∀x∈R，2x＜2x+1 B．∀x∈R，2x≤2x+1
C．∃x∈R，2x＞2x+1 D．∃x∈R，2x≤2x+1
4．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，则f（1）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
5．sin（﹣）＝（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的特征，如函数y＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知x＞0，y＞0，x+2y＝1，则的最小值是（ ）
A．2 B．3+2 C．6 D．8
8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小．其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从100提升至900，则C大约增加了（ ）（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．28% B．38% C．48% D．68%
二、多项选择题（共4小题）.
9．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＞0 D．a+b+c＞0
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知方程ex＝8﹣x的解在（k，k+1）（k∈Z）内，则k＝1
B．函数f（x）＝x2﹣2x﹣3的零点是（﹣1，0），（3，0）
C．函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称
D．用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内的近似解的过程中得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（1.25，1.5）上
11．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点（4，2），则下列命题正确的有（ ）
A．该函数在定义域上是偶函数
B．对定义域上任意实数x1，x2，且x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0
C．对定义域上任意实数x1，x2，且x1≠x2，都有
D．对定义域上任意实数x1，x2，都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）
12．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若把f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
C．若把函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数是奇函数
D．，若恒成立，则a的范围为
三、填空题（共4小题）.
13．函数f（x）＝+lg（1+2x）的定义域为 ．
14．若命题P：∀x∈R，x2+2x+a﹣1≥0是真命题，则实数a的取值范围是 ．
15．已知函数，对任意x∈R恒有，则函数f（x）在上单调增区间 ．
16．若函数（a＞0且a≠1），满足对任意的x1，x2，当x1＜x2≤a时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（共6小题）.
17．已知，且α是第二象限角．
（1）求cosα，tanα的值；
（2）求的值．
18．在①A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，②A＝{x|＜1}，③A＝{x|y＝}这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题．
设全集U＝R，____，B＝[a﹣1，a+6]．
（1）当a＝1时，求A∩B，（∁UA）∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+2，x∈[0，4]．
（1）当a＝1时，求f（x）的最值；
（2）若不等式f（x）≥2a+1对任意x∈[0，4]恒成立，求实数a的取值范围．
20．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：
时刻
2：00
5：00
8：00
11：00
14：00
17：00
20：00
23：00
水深/米
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B来描述．
（1）根据以上数据，求出函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B的表达式；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内（0：00～24：00）何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？
21．已知f（x）+g（x）＝log2（2﹣x），其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在其定义域上的单调性；
（3）解关于t不等式f（t﹣1）+f（2t+1）﹣3t＞0．
22．已知函数，其中m∈R．
（1）当函数f（x）为偶函数时，求m的值；
（2）若m＝0，函数﹣1，x∈[﹣2，0]，是否存在实数k，使得g（x）的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（3）设函数h（x）＝，g（x）＝，若对每一个不小于3的实数x1，都有小于3的实数x2，使得g（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．函数f（x）＝sin2x的最小正周期是（ ）
A． B．π C．2π D．4π
【分析】利用y＝Asin（ωx+φ）+b的最小正周期为，的出结论．
解：函数f（x）＝sin2x的最小正周期为T＝＝＝π，
故选：B．
2．设集合U＝{0，1，3，5，6，8}，A＝{1，5，8}，B＝{2}，则（∁UA）∪B＝（ ）
A．{0，2，3，6} B．{0，3，6} C．{1，2，5，8} D．∅
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
解：∵U＝{0，1，3，5，6，8}，A＝{1，5，8}，B＝{2}，
∴（∁UA）∪B＝{0，3，6}∪{2}＝{1，0，2，3，6}，
故选：A．
3．命题“∀x∈R，2x＞2x+1”的否定为（ ）
A．∀x∈R，2x＜2x+1 B．∀x∈R，2x≤2x+1
C．∃x∈R，2x＞2x+1 D．∃x∈R，2x≤2x+1
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，2x＞2x+1”的否定为：∃x∈R，2x≤2x+1．
故选：D．
4．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，则f（1）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】要计算f（1）的值，根据f（x）是定义在R上的奇函数，我们可以先计算f（﹣1）的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，代入即可得到答案．
解：∵当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，
∴f（﹣1）＝2（﹣1）2﹣（﹣1）＝3，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣3
故选：A．
5．sin（﹣）＝（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】利用诱导公式化简即可求值得解．
解：sin（﹣）＝﹣sin＝﹣sin＝﹣．
故选：B．
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的特征，如函数y＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先利用奇偶性，f（﹣x）＝﹣f（x），可知是奇函数，排除C，D，利用特殊值x＝1，即可判断出图象．
解：函数f（x）＝，
则f（﹣x）＝﹣f（x），可知是奇函数，排除C，D，
当x＝1时，可得f（1）＝2＞0，图象在x轴的上方，排除B，
故选：A．
7．已知x＞0，y＞0，x+2y＝1，则的最小值是（ ）
A．2 B．3+2 C．6 D．8
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝1，
则+＝（+）（x+2y）＝3+，
当且仅当且x+2y＝1即y＝＝，x＝时取等号，
故选：B．
8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小．其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从100提升至900，则C大约增加了（ ）（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．28% B．38% C．48% D．68%
【分析】由题意可得C的增加值为，再由对数的运算性质求解．
解：将信噪比从100提升至900时，
C大约增加了
＝≈＝
≈0.4771≈48%．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＞0 D．a+b+c＞0
【分析】根据一元二次不等式与对应的二次函数和方程的关系，对选项中的命题判断正误即可．
解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣，2），
所以相应的二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象开口向下，即a＜0，所以A正确．
由2和﹣是方程ax2+bx+c＝0的两个根，则有 ＝﹣1＜0，﹣＝＞0；
又a＜0，所以b＞0，c＞0，所以B错误．
由二次函数的图象可知f（1）＝a+b+c＞0，f（﹣1）＝a﹣b+c＜0，所以D正确、C错误．
故选：AD．
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知方程ex＝8﹣x的解在（k，k+1）（k∈Z）内，则k＝1
B．函数f（x）＝x2﹣2x﹣3的零点是（﹣1，0），（3，0）
C．函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称
D．用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内的近似解的过程中得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（1.25，1.5）上
【分析】将方程的根转化为函数的零点，由函数的零点存在性定理求出k的值，即可判断选项A；函数的零点即为方程的根，从而判断选项B；由反函数图象关于y＝x对称，即可判断选项C；由零点存在性定理即可判断选项D．
解：对于A，令f（x）＝ex+x﹣8，则方程ex＝8﹣x的解是函数f（x）的零点，
因为f（x）＝ex+x﹣8是R上的增函数，且f（1）＝e+1﹣8＝e﹣7＜0，f（2）＝e2+2﹣8＝e2﹣6＞0，
所以由函数的零点的存在性定理可得，函数的零点在区间（1，2）上，
所以k＝1，故A正确；
对于B，令f（x）＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，
所以函数f（x）＝x2﹣2x﹣3的零点是﹣1和3，故B错误；
对于C，函数y＝3x，y＝log3x互为反函数，又反函数图象关于y＝x对称，故C正确；
因为f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，由零点存在性定理，可得方程的根落在区间（1.25，1.5）上，故D正确．
故选：ACD．
11．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点（4，2），则下列命题正确的有（ ）
A．该函数在定义域上是偶函数
B．对定义域上任意实数x1，x2，且x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0
C．对定义域上任意实数x1，x2，且x1≠x2，都有
D．对定义域上任意实数x1，x2，都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）
【分析】求出函数f（x）＝，可求得定义域不关于原点对称，从而可判断选项A；由函数f（x）＝为增函数，即可判断选项B；由函数f（x）＝为凸函数即可判断选项C；计算f（x1•x2）与f（x1）+f（x2），即可判断选项D．
解：因为幂函数f（x）＝xa的图象经过点（4，2），
所以4a＝2，所以a＝，
所以f（x）＝，定义域为[0，+∞），f（x）为非奇非偶函数，故A错误；
由幂函数的性质可知f（x）＝在[0，+∞）上为增函数，
所以对任意实数x1，x2∈[0，+∞），不妨设0≤x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），
所以x1﹣x2＜0，f（x1）﹣f（x2）＜0，所以[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，故B正确；
因为函数f（x）＝是凸函数（或根据图象），所以对定义域上任意的x1，x2，都有成立，故C正确．
f（x1•x2）＝，f（x1）+f（x2）＝+，
所以f（x1•x2）与f（x1）+f（x2）不一定相等，故D错误．
故选：BC．
12．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若把f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
C．若把函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数是奇函数
D．，若恒成立，则a的范围为
【分析】由函数图象可求其周期，利用周期公式可求ω的值，由f（2π）＝2，可得φ＝2kπ﹣（k∈Z），结合范围|φ|＜π，可求φ＝﹣，可得函数解析式，进而根据正弦函数的图象和性质以及函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求解．
解：如图所示：T＝﹣2π＝，
∴T＝6π，
∴ω＝＝，
∵f（2π）＝2，
∴f（2π）＝2sin（+φ）＝2，即sin（+φ）＝1，
∴+φ＝2kπ+（k∈Z），
∴φ＝2kπ﹣，（k∈Z），
∵|φ|＜π，
∴φ＝﹣，
∴f（x）＝2sin（x﹣），故A错误；
把y＝f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数y＝2sin（x﹣），
∵x∈，
∴﹣≤x﹣≤，
∴y＝2sin（x﹣）在上单调递增，故B正确；
把y＝f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数y＝2sin[（x﹣+）]＝2sin，是奇函数，故C正确；
由f（3x）+a≥f（）可得a≥f（）﹣f（3x），∀x∈[﹣，]恒成立，令g（x）＝f（）﹣f（3x），∀x∈[﹣，]，则g（x）＝﹣2sin（x﹣），
∵﹣≤x≤，
∴﹣≤x﹣≤，
∴﹣1≤g（x）≤+2，
∴a≥+2，
∴则a的范围为，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数f（x）＝+lg（1+2x）的定义域为 [1，+∞） ．
【分析】直接利用函数定义域的定义，即使得解析式有意义的自变量的取值集合，列出不等式组求解即可．
解：因为函数f（x）＝+lg（1+2x），
所以，解得x≥1，
故函数的定义域为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
14．若命题P：∀x∈R，x2+2x+a﹣1≥0是真命题，则实数a的取值范围是 （3，+∞） ．
【分析】将命题为真命题转化为不等式恒成立，利用判别式小于等于0求解即可．
解：因为命题P：∀x∈R，x2+2x+a﹣1≥0是真命题，
所以x2+2x+a﹣1≥0对∀x∈R恒成立，
则有，解得a≥3，
故实数a的取值范围是（3，+∞）．
故答案为：（3，+∞）．
15．已知函数，对任意x∈R恒有，则函数f（x）在上单调增区间 [0，] ．
【分析】根据条件求出周期，结合最值求出φ，结合函数的单调性进行求解即可解．
解：∵，
∴＝，即T＝π，
又＝π，得ω＝2，
则f（x）＝sin（2x+φ），
∵对任意x∈R恒有，
∴当x＝时，函数取得最大值，
即2×+φ＝2kπ+，k∈Z，
得φ＝2kπ+﹣＝2kπ﹣，
∵﹣＜φ＜0，
∴当k＝0时，φ＝﹣，
则f（x）＝sin（2x﹣），
当0≤x＜时，
0≤2x＜π，﹣≤2x﹣＜，
要使函数为增函数，
则﹣≤2x﹣≤，
得0≤2x≤，即0≤x≤，
即函数f（x）的单调递增区间为[0，]，
故答案为：[0，]．
16．若函数（a＞0且a≠1），满足对任意的x1，x2，当x1＜x2≤a时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则实数a的取值范围为 ． ．
【分析】令g（x）＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2﹣a2+3，利用二次函数的性质得到g（x）的单调性，再利用复合函数的单调性可得f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，再将x2﹣2ax+3＞0恒成立，转化为二次函数求最值，求解即可．
解：令g（x）＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2﹣a2+3，
所以g（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
因为对任意的x1，x2，当x1＜x2≤a时，f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，则a＞1，
由x2﹣2ax+3＞0恒成立可得，g（x）min＞0，
又，
所以﹣a2+3＞0，解得，
所以，
所以实数a的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知，且α是第二象限角．
（1）求cosα，tanα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据α所在的象限，根据同角三角函数的基本关系，即可求解cosα，tanα的值；
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．
解：（1）∵α为第二象限角，，
∴cosα＝﹣＝﹣＝﹣，tanα＝＝﹣．
（2）＝＝cosα＝﹣．
18．在①A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，②A＝{x|＜1}，③A＝{x|y＝}这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题．
设全集U＝R，____，B＝[a﹣1，a+6]．
（1）当a＝1时，求A∩B，（∁UA）∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）直接利用集合交集、并集、补集的定义求解即可；
（2）利用充分条件和必要条件的定义将问题转化为集合的真子集关系，列出不等式组，求解即可．
解：若选①：
A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
（1）当a＝1时，B＝[0，7]，
所以A∩B＝{x|0≤x＜3}，
（∁UA）∪B＝{x|x≤﹣1或x≥0}；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
则有{x|﹣1＜x＜3}⫋[a﹣1，a+6]，
则有（不能同时取等号），解得﹣3≤a≤0，
故实数a的取值范围为﹣3≤a≤0．
若选②：
A＝{x|＜1}＝{x|}＝{x|（x﹣3）（x+1）＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
（1）当a＝1时，B＝[0，7]，
所以A∩B＝{x|0≤x＜3}，
（∁UA）∪B＝{x|x≤﹣1或x≥0}；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
则有{x|﹣1＜x＜3}⫋[a﹣1，a+6]，
则有（不能同时取等号），解得﹣3≤a≤0，
故实数a的取值范围为﹣3≤a≤0．
若选③：
A＝{x|y＝}＝{x|}＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
（1）当a＝1时，B＝[0，7]，
所以A∩B＝{x|0≤x＜3}，
（∁UA）∪B＝{x|x≤﹣1或x≥0}；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
则有{x|﹣1＜x＜3}⫋[a﹣1，a+6]，
则有（不能同时取等号），解得﹣3≤a≤0，
故实数a的取值范围为﹣3≤a≤0．
19．已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+2，x∈[0，4]．
（1）当a＝1时，求f（x）的最值；
（2）若不等式f（x）≥2a+1对任意x∈[0，4]恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由二次函数的性质即可求得最值；
（2）将不等式恒成立问题转化为f（x）min≥2a+1，对a分类讨论，即可求得a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+2，x∈[0，4]，
开口向上，对称轴为x＝1，
所以当x＝1时，f（x）取得最小值为f（1）＝1，
当x＝4时，f（x）取得最大值为f（4）＝10．
（2）若不等式f（x）≥2a+1对任意x∈[0，4]恒成立，
则f（x）min≥2a+1，
当a≤0时，f（x）min＝f（0）＝2，可得2≥2a+1，解得a≤0，
当0＜a＜4时，f（x）min＝f（a）＝﹣a2+2，可得﹣a2+2≥2a+1，解得0＜a＜﹣1+，
当a≥4时，f（x）min＝f（4）＝18﹣8a，可得18﹣8a≥2a+1，无解．
综上，可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1+）．
20．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：
时刻
2：00
5：00
8：00
11：00
14：00
17：00
20：00
23：00
水深/米
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B来描述．
（1）根据以上数据，求出函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B的表达式；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内（0：00～24：00）何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？
【分析】（1）利用已知的数据求出A和B，再利用周期求出ω，由此能求出函数f（x）的解析式；
（2）利用货船需要的安全水深，构建不等式，然后求解三角不等式，再考虑t的取值范围求解即可．
解：（1）由表格可知，f（t）max＝7，f（t）min＝3，
所以＝2，＝5，
又周期为12，所以，
故，
当t＝2时，有，解得，
又因为，所以，
故+5；
（2）货船需要的安全水深为4+2＝6米，
所以当f（t）≥6时就可以进港，
令，可得，
则有，
解得12k≤t≤4+12k，k∈Z，
又t∈[0，24），
故k＝0时，t∈[0，4]，
当k＝1时，t∈[12，16]，
故货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4个小时左右．
21．已知f（x）+g（x）＝log2（2﹣x），其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在其定义域上的单调性；
（3）解关于t不等式f（t﹣1）+f（2t+1）﹣3t＞0．
【分析】（1）运用函数的奇偶性的定义，将x换为﹣x，联立方程，解方程可得所求解析式；
（2）可由复合函数的单调性，求得f（x）的单调性；
（3）令h（x）＝f（x）﹣x，x∈（﹣2，2），判断h（x）的奇偶性与单调性，将不等式转化为，解之即可求得结论．
解：（1）由于函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
可得f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
因为f（x）+g（x）＝log2（2﹣x），所以f（﹣x）+g（﹣x）＝log2（2+x），
即﹣f（x）+g（x）＝log2（2+x），
解得f（x）＝log2，g（x）＝log2（4﹣x2）．
（2）f（x）＝log2的定义域为（﹣2，2），
且f（x）＝log2＝log2（﹣1），
由复合函数的单调性可知f（x）在（﹣2，2）上单调递减．
（3）令h（x）＝f（x）﹣x，x∈（﹣2，2），
由h（﹣x）＝f（﹣x）+x＝﹣f（x）+x＝﹣h（x），
可得h（x）为偶函数，且在（﹣2，2）上单调递减，
因为f（t﹣1）+f（2t+1）﹣3t＞0，
所以f（t﹣1）﹣（t﹣1）+f（2t+1）﹣（2t+1）＞0，
即h（t﹣1）+h（2t+1）＞0，即h（t﹣1）＞﹣h（2t+1）＝h（﹣2t﹣1），
所以，解得﹣1＜t＜0，
即不等式的解集为（﹣1，0）．
22．已知函数，其中m∈R．
（1）当函数f（x）为偶函数时，求m的值；
（2）若m＝0，函数﹣1，x∈[﹣2，0]，是否存在实数k，使得g（x）的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（3）设函数h（x）＝，g（x）＝，若对每一个不小于3的实数x1，都有小于3的实数x2，使得g（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据函数f（x）为偶函数，得到关于m的方程，然后求出m的值；
（2）将m＝0代入g（x）中，然后令，得到g（x）＝t2+kt﹣1，再分，k≤﹣2和三种情况，求出使得g（x）的最小值为0的k值；
（3）由对每一个不小于3的实数x1，都有小于3的实数x2，使得g（x1）＝g（x2），可知h（x）（x≥3）的值域包含于9f（x）（x＜3）的值域，然后分m≤0，0＜m＜3和m≥3三种情况求出m的取值范围．
解：（1）∵函数f（x）为偶函数，∴f（﹣1）＝f（1），∴，∴m＝0；
（2）若m＝0，函数＝＝3x+，
令，，则g（x）＝t2+kt﹣1，
∴①当﹣，即时，，解出，符合题意；
②当，即k≤﹣2时，g（x）min＝g（1）＝1+k﹣1＝0，解出k＝0，不符合题意；
③当，即时，，无解，
∴存在实数，使得g（x）的最小值为0．
（3）∵对每一个不小于3的实数x1，都有小于3的实数x2，使得g（x1）＝g（x2），
∴h（x）（x≥3）的值域包含于9f（x）（x＜3）的值域；
①当m≤0时，，而，∴不符合题意；
②当0＜m＜3时，，当且仅当x＝3等号成立，
以h（x）的值域为，而，
则，∴，解得m≤162，∴0＜m＜3；
③当m≥3时，，当且仅当x＝3等号成立，
∴h（x）的值域为，而，
∴，∵函数为减函数，K（6）＝0，
∴当，得到3≤m＜6，
综上所述0＜m＜6，
∴实数m的取值范围为（0，6）．
相关试卷
2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高二（上）期末数学试卷： 这是一份2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高二（上）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高一（下）期中数学试卷： 这是一份2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高一（下）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高一（上）期末数学试卷： 这是一份2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高一（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
