江苏省南京市中华中学2020—2021学年度第一学期期末试卷高二数学

南京市中华中学2020—2021学年度第一学期期末试卷

高二数学

本卷考试时间：120分钟  总分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i为虚数单位，若纯虚数z满足(1－i)z＝2＋ai，则实数a等于(    ).

（A）2    （B）1    （C）－1   （D）－2

2．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是（    ）

A． B． C． D．

3. m、n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的(　)

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）

A．4      B．5      C．6      D．7

5．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（    ）

A．乙分8两，丙分8两，丁分8两   B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱

C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱   D．乙分9两，丙分8两，丁分7两

6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若|AB|＝6，则直线l的方程为（    ）

A.y＝±(x－1) B.y＝±(x－1) C.y＝±(x－1) D.y＝±(x－1)

7．已知球O的半径为4，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABCD的距离为2，则此矩形的最大面积为(    ).

（A）30   （B）24   （C）18    （D）12

8．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，a3，．．．，a12.设1≤i＜j＜k≤12．若k－j＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为(    ).

（A）5    （B）8    （C）10   （D）15

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．设Sn是等差数列{an}的前n项之和，且S6＜S7，S7＝S8＞S9，则下列结论中正确的是（    ）

A．d＞0      B．a8＝0      C．S10＞S6      D．S7，S8均为Sn的最大项

10．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，那么下列不等式中，恒成立的有（    ）

A．ab≤ B．ab＋≥2 C．＋≥3 D．＋≤

11．(本题5分)下列结论正确的是（    ）

A．若是直线l方向向量，l⊥平面α，则λ(λ∈R)是平面α的一个法向量；

B．坐标平面内过点P(x0，y0)的直线可以写成A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)；

C．直线l过点(－2，3)，且原点到l的距离是2，则l的方程是5x＋12y－26＝0；

D．设二次函数y＝(x－2019)(x＋2020)的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为(0，1).

12．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线C上在第一象限内的一个点，直线与y轴相交于点Q，及为等边三角形，则（    ）

A.双曲线C的渐近线方程为

B.双曲线C的离心率为

C.若点在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为

D.若点在双曲线C上，则点Q的坐标为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝2x，且一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点相同，则此双曲线的方程为________

14.已知数列{an}满足an＋1＝3an＋4，a1＝1，则a5＝__________.

15.已知x,y>0，且，则x+y的最小值为          ．

16．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，AB⊥AD，CD＝AD＝AB＝2，PA＝3，若动点Q在△PAD内及边上运动，使得∠CQD＝∠BQA，则三棱锥Q－ABC的体积最大值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知命题：“x∈R，x2＋mx＋m≥0”是真命题．

（1）求实数m的取值集合M；

（2）设不等式(x－a)(x＋a－2)＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．

18. 在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q,且b2+ S2=12，q＝．

（1）求an与bn的通项公式；

（2）设数列{cn}满足cn＝，求{cn}的前n项和Tn．

19．已知等比数列的首项为2，且，，成等差数列.数列的首项为1，前n项和为，且.

（1）求等比数列的通项公式；

（2）求证：数列为等差数列；

（3）若数列的公差为2，数列的前n项和为，求证：.

20. （本小题满分12分）已知圆C:(x－3)2＋(y－4)2＝4．

（1）若直线l过点A(2，3)且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；

（2）若直线l过点B(1，0)与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．

21、如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于的点．

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率，点在椭圆上．、分别为椭圆的上、下顶点，动直线交椭圆于、两点，满足，，垂足为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求面积的最大值．