江苏省南京市宁海中学2020—2021学年度第一学期期末考试高二数学试卷

南京市宁海中学2020－2021学年度第一学期期末考试                      

高 二 数 学           2021.01      

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1．设是等差数列的前n项和，若，则

A．5        B．7         C．9       D．11

2．命题“，”的否定是

A．，        B．，         

C．，      D．，

3．若，则

A．       B．         C．       D．

4．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大

鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.大意是：有两只老鼠从墙的两边分别

打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢

A．5          B．6          C．7        D．8

5．已知，且，则的最小值是

A．10       B．12        C．14       D．16

6．如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于

A．              B．             

C．             D．

7．意大利数学家斐波那契（1770~1250)，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞

燕草，万寿简等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也

有着广泛得应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则k=

A．2020          B．2021          C．59        D．60

8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：上一点，则的最小值为

A．8          B．9          C．10        D．11

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．

9．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个

行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重.以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是

A.在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生

产总值基本持平

B.若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元

C.若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元

D.若“金融业”生产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元

10．下面是关于公差的等差数列的几个命题，其中正确的有

A．数列递增

B．数列是递增的等差数列

C．若，为的前n项和，且为等差数列，则

D．若，则方程有唯一的根

11．设a>0， b>0，称为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数．如图，C为线段AB上的点，且|AC|=a，|CB|=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD， AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．取弧AB的中点为F，连接FC，则在图中能体现出的不等式有

A．                    B．

C．                    D．

12．笛卡尔、牛顿都研究过方程，关于这个方程表示的曲线有下列说法，其中正确的有

A．该曲线不关于y轴对称     B．该曲线关于原点对称

C．该曲线不经过第三象限     D．该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数x

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则  ▲  ．

14．已知向量，，，若，则  ▲  ．

15．已知正项等比数列，，若存在两项，，使得，则的最小值为  ▲  ．

16．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC、CC1的中点，F是侧面BCC1B1内一点（含边界），若A1P∥平面AEF，点P的轨迹长度为  ▲  ．直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是  ▲  ．(第一空2分，第二空3分)．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知A＝{x|＜0}，B＝{x|x2－2x+1－m2＜0，m>0}．

（1）若m＝2，求A∩B；

（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，，，E为PC的中点．

（1）证明：AC⊥面BED；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

2020年9月份，南京出台了<南京市生活垃圾管理条例>，提出2020年11月1日起，实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，

为此需征集一部分垃圾分类志愿者．已知某垃圾站的日垃圾分拣量(千克)与垃圾分类志愿者人数x(人)满足线性回归直线方程，数据统计如下：

(1) 已知，，，根据所给数据求t和线性回归直线方程．

(2)用(1)中所求的线性回归方程得到与对应的口垃圾分拣量的估计值．当分拣数据与

估计值满足≤2时，则将分拣数据(，)称为一个“正常数据”．现从题中5个分拣数据中任取2个，求2个都是“正常数据”的概率．

参考公式：，．

20．(本小题满分12分)

已知抛物线C：的焦点坐标为F，焦点到准线的距离与抛物线通经长度的和为，过点P（1，0）的直线l交C于A，B两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）请从以下条件中选择一个作为条件，求出直线l的方程．

条件：①②③（若多做，则默认第一种选择作为答案）

21．（本小题满分12分）

已知数列满足：，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和；

（3）设，数列的前n项和为，求的最小值．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆C的方程为，过点作直线与椭圆交于A，B两点．

（1）求证：PA⊥PB；

（2）求|PA|·|PB|的最大值．