2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习05(含答案详解)

这是一份2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习05(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了5内的频数；，2＋d，b=0等内容，欢迎下载使用。

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2=(2－eq \r(3))bc，sinAsinB=cs2eq \f(C,2)，BC边上的中线AM的长为eq \r(7).
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积.
某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.
(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；
(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)
(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值.
如图(1)，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E为AD的中点，沿BE将△ABE折起至△PBE，
如图所示，点P在平面BCDE上的射影O落在BE上.
图(1) 图(2)
(1)求证：BP⊥CE；
(2)求二面角B­PC­D的余弦值.
已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）是否存在过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，请说明理由.
已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a<0).
(1)若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)若a=-且关于x的方程f(x)=-x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
\s 0 参考答案
解：(1)由a2－(b－c)2=(2－eq \r(3))bc，
得a2－b2－c2=－eq \r(3)bc，∴csA=eq \f(b2＋c2－a2,2bc)=eq \f(\r(3),2)，
又0＜A＜π，∴A=eq \f(π,6).
由sinAsinB=cs2eq \f(C,2)，得eq \f(1,2)sinB=eq \f(1＋csC,2)，即sinB=1＋csC，
则csC＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C=eq \f(5π,6)，
则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－C))=1＋csC，化简得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,3)))=－1，解得C=eq \f(2π,3)，∴B=eq \f(π,6).
(2)由(1)知，a=b，在△ACM中，
由余弦定理得AM2=b2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2－2b·eq \f(a,2)·csC=b2＋eq \f(b2,4)＋eq \f(b2,2)=(eq \r(7))2，
解得b=2，故S△ABC=eq \f(1,2)absinC=eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)=eq \r(3).
解：(1)∵前四组频数成等差数列，
∴所对应的eq \f(频率,组距)也成等差数列，
设a=0.2＋d，b=0.2＋2d，c=0.2＋3d，
∴0.5(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)=1，
解得d=0.1，∴a=0.3，b=0.4，c=0.5.
居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5=0.25.
居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100=25.
(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8，
∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，
应规定w=2.5＋eq \f(0.1,0.15)×0.5≈2.83.
(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，
可知P(A≤2.5)=0.7，
由题意，X～B(3,0.7)，
P(X=0)=Ceq \\al(0,3)×0.33=0.027，
P(X=1)=Ceq \\al(1,3)×0.32×0.7=0.189，
P(X=2)=Ceq \\al(2,3)×0.3×0.72=0.441，
P(X=3)=Ceq \\al(3,3)×0.73=0.343.
∴X的分布列为
∵X～B(3,0.7)，
∴E(X)=np=2.1.
解：(1)证明：因为点P在平面BCDE上的射影O落在BE上，
所以平面PBE⊥平面BCDE，易知BE⊥CE，
所以CE⊥平面PBE，而BP⊂平面PBE，
所以PB⊥CE.
(2)以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，
过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)，0))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(2),2))).
所以eq \(CD,\s\up11(→))=(－1,0,0)，eq \(CP,\s\up11(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(3,2)，\f(\r(2),2)))，eq \(PB,\s\up11(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，－\f(\r(2),2)))，eq \(BC,\s\up11(→))=(0,2,0).
设平面PCD的法向量为n1=(x1，y1，z1)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(CD,\s\up11(→))＝0,n1·\(CP,\s\up11(→))＝0))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x1＝0,x1＋3y1－\r(2)z1＝0))，令z1=eq \r(2)，可得n1=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)，\r(2))).
设平面PBC的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(PB,\s\up11(→))＝0,n2·\(BC,\s\up11(→))＝0))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2－\r(2)z2＝0,2y2＝0))，
令z2=eq \r(2)，可得n2=(2,0，eq \r(2)).所以cs〈n1，n2〉=eq \f(n1·n2,|n1||n2|)=eq \f(\r(33),11).
考虑到二面角B­PC­D为钝角，则其余弦值为－eq \f(\r(33),11).
解：（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 消 SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在符合题意的直线，其方程为 SKIPIF 1 < 0 .
解:(1)对函数求导数,得f′(x)=-(x>0),
依题意,得f′(x)<0在(0,+∞)上有解,即ax2+2x-1>0在x>0时有解.
所以Δ=4+4a>0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根.
再结合a<0,得-1(2)a=-时,f(x)=-x+b,即x2-x+ln x-b=0.
设g(x)=x2-x+ln x-b,则g′(x)=,
所以当x∈(0,1)时,g′(x)>0;当x∈(1,2)时,g′(x)<0;
当x∈(2,4)时,g′(x)>0.
得函数g(x)在(0,1)和(2,4)上是增函数,在(1,2)上是减函数,
所以g(x)的极小值为g(2)=ln 2-b-2;
g(x)的极大值为g(1)=-b-,g(4)=-b-2+2ln 2;
因为方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,
所以解之得ln 2-2