人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示习题

这是一份人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年高中数学《平面向量基本定理》精选练习一、选择题1.已知▱ABCD中∠DAB=30°，则与的夹角为(　　)A.30°　       B.60°         C.120°          D.150°2.设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是(　　)①与；②与；③与；④与.A.①②      B.①③       C.①④      D.③④3.若AD是△ABC的中线，已知=a，=b，则以a，b为基底表示=(　　)A.(a－b)      B.(a＋b)    C.(b－a)       D.b＋a4.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若=e1，=e2，则=(　　)A.(e1＋e2)    B.(e1－e2)    C.(2e2－e1)     D.(e2－e1)5.设D为△ABC所在平面内一点，=3，则(　　)A.=－＋B.=－C.=＋D.=－6.在△ABC中，点D在BC边上，且=2，设=a，=b，则可用基底a，b表示为(　　)A.(a＋b)　    B.a＋b        C.a＋b       D.(a＋b)7.AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且=a，=b，则=(　　)A.a＋b     B.a＋b      C.a－b     D.－a＋b8.如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是(　　)A.若存在实数λ1，λ2，使得λ1e1＋λ2e1=0，则λ1=λ2=0B.平面α内任一向量a都可以表示为a=λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC.λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD.对于平面α内任一向量a，使a=λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对9.已知非零向量，不共线，且2=x＋y，若=λ (λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　)A.x＋y－2=0B.2x＋y－1=0C.x＋2y－2=0 D.2x＋y－2=0二、填空题10.已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b=6a＋3b，则x－y的值为______.11.已知e1，e2是两个不共线向量，a=k2e1＋e2与b=2e1＋3e2共线，则实数k=______.12.如下图，在正方形ABCD中，设=a，=b，=c，则在以a，b为基底时，可表示为______，在以a，c为基底时，可表示为______.13.设e1，e2是平面内的一组基底，且a=e1＋2e2，b=－e1＋e2，则e1＋e2=________a＋________b.14.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c=0，向量a，b的夹角为120°，且|b|=2|a|，则向量a与c的夹角为________.三、解答题15.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且=，=，=，若=a，=b，试用a，b将，，表示出来.     16.设e1，e2是不共线的非零向量，且a=e1－2e2，b=e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c=3e1－e2的分解式；(3)若  4e1－3e2=λa＋μb，求λ，μ的值.      17.求证：三角形的三条中线共点.       18.若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=＋.(1)求△ABM与△ABC的面积之比.(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x＋y，求x，y的值.
答案解析19.答案为：D；解析：如图，与的夹角为∠ABC=150°.20.答案为：B；解析：寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故①③可作为基底.21.答案为：B；解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而=，即－=－，从而=(＋)=(a＋b).22.答案为：A；解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，=e1，=e2，所以=(＋)=(e1＋e2)，故选A.23.答案为：A；解析：由题意得=＋=＋=＋－=－＋.24.答案为：C；解析：∵=2，∴=.∴=＋=＋=＋(－)=＋=a＋b.25.答案为：B；解析：设AD与BE交点为F，则=a，=b.所以=＋=b＋a，所以=2=a＋b.26.答案为：B；解析：A中，(λ1＋λ2)e1=0，∴λ1＋λ2=0，即λ1=－λ2；B符合平面向量基本定理；C中，λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D中，λ1，λ2有且只有一对.27.答案为：A；解析：由=λ，得－=λ(－)，即=(1＋λ)－λ.又2=x＋y，∴消去λ得x＋y=2.28.答案为：3解析：∵a，b是一组基底，∴a与b不共线，∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b=6a＋3b，∴解得∴x－y=3.29.答案为：－2或；解析：由题设，知=，∴3k2＋5k－2=0，解得k=－2或.30.答案为：a＋b，2a＋c；解析：以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得.31.答案为：，－；解析：由解得故e1＋e2=＋=a＋b.32.答案为：90°；解析：由题意可画出图形，在△OAB中，因为∠OAB=60°，|b|=2|a|，所以∠ABO=30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°.33.解：=－=－=a－b，=－=－－=－b－(a－b)=－a＋b，=－=－(＋)=(a＋b).34.解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a=λb，则e1－2e2=λ(e1＋3e2).由e1，e2不共线，得⇒∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底.(2)设c=ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2=m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)=(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴⇒∴c=2a＋b.(3)由4e1－3e2=λa＋μb，得4e1－3e2=λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)=(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴⇒故所求λ，μ的值分别为3和1.35.证明：如图，设AD，BE，CF分别为△ABC的三条中线，令=a，=b.则有=b－a.设G在AD上，且=，则有=＋=a＋(b－a)=(a＋b).=－=b－a.∴=－=－=(a＋b)－a=b－a==.∴G在BE上，同理可证=，即G在CF上.故AD，BE，CF三线交于同一点.36.解：(1)如图，由=＋可知M，B，C三点共线，令=λ⇒=＋=＋λ=＋λ(－)=(1－λ)＋λ⇒λ=，所以=，即面积之比为1∶4.(2)由=x＋y⇒=x＋，=＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒⇒.