数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积巩固练习

这是一份数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积巩固练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
若|a|=5，b与a的方向相反，且|b|=7，则a=( )
A.eq \f(5,7)b B.－eq \f(5,7)b C.eq \f(7,5)b D.－eq \f(7,5)b
已知a=5e，b=－3e，c=4e，则2a－3b＋c=( )
A.5e B.－5e C.23e D.－23e
设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( )
A.a与λa的方向相同
B.a与－λa的方向相反
C.a与λ2a的方向相同
D.|λa|=λ|a|
下列说法正确的是( )
A．平行于同一向量的两个向量是共线向量
B．单位向量都相等
C．a∥b⇔存在唯一的实数λ，使得a=λb
D．与非零向量a相等的向量有无数个
已知向量a与b不共线，且eq \(AB,\s\up6(→))=λa＋b(λ∈R)，eq \(AC,\s\up6(→))=a＋μb(μ∈R)，则点A，B，C三点共线应满足( )
A．λ＋μ=2 B．λ－μ=1 C．λμ=－1 D．λμ=1
A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合),若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,+∞) C.(1,] D.(-1,0)
已知A、B、C三点不共线,且=-+2,则=( )
A. B. C.6 D.
如图,在等腰三角形ABC中,底边BC=2,=,=,若·=-,则·=( )
A.- B. C.- D.
二、填空题
若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)=0，则x=______.
下列向量中a，b共线的有________(填序号).
①a=2e，b=－2e；
②a=e1－e2，b=－2e1＋2e2；
③a=4e1－eq \f(2,5)e2，b=e1－eq \f(1,10)e2；
④a=e1＋e2，b=2e1－2e2.
已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________.
设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k=______.
三、解答题
已知两个非零向量e1和e2不共线，如果eq \(AB,\s\up6(→))=2e1＋3e2，eq \(BC,\s\up6(→))=6e1＋23e2，eq \(CD,\s\up6(→))=4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
已知O，A，M，B为平面上四点，且eq \(OM,\s\up6(→))=λeq \(OB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．
(1)求证：A，B，M三点共线．
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．
已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a=2e1－e2，b=ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值.
计算：eq \f(2,5)(a－b)－eq \f(1,3)(2a＋4b)＋eq \f(2,15)(2a＋13b)；
已知非零向量e1，e2，a，b满足a=2e1－e2，b=ke1＋e2.
(1)若e1与e2不共线，a与b共线，求实数k的值；
(2)是否存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线？若存在，求出k的值，否则说明理由．
在△ABC中，点D和E分别在BC，AC上，且eq \(BD,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))，AD与BE交于R，证明：eq \(RD,\s\up6(→))=eq \f(1,7)eq \(AD,\s\up6(→)).
答案解析
答案为：B；
解析：b与a反向，故a=λb(λ＜0)，|a|=－λ|b|，则5=－λ×7，所以λ=－eq \f(5,7)，∴a=eq \f(5,7)b.
答案为：C；
解析：2a－3b＋c=2×5e－3×(－3e)＋4e=23e.
答案为：C；
解析：只有当λ>0时，a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，且|λa|=λ|a|.
因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同.
答案为：D.
解析：若两个向量都与零向量平行，它们可能不共线，所以选项A不正确；单位向量只是长度相等，方向不确定，故选项B不正确；“a∥b⇔存在唯一的实数λ，使得a=λb”需在b≠0的前提下才成立，故选项C不正确；平移非零向量a，所得向量都与a相等，故与非零向量a相等的向量有无数个．故选D.
答案为：D.
解析：若A，B，C三点共线，则eq \(AB,\s\up6(→))=keq \(AC,\s\up6(→))(k∈R)，即λa＋b=k(a＋μb)，∴λa＋b=ka＋μkb，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝k，,1＝μk，))消去k得，λμ=1，故选D.
答案为：B；
答案为：C；
答案为：A；
答案为：4b－3a；
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b=0，
∴x＋3a－4b=0，∴x=4b－3a.
答案为：①②③；
解析：①中，a=－b；②中，b=－2e1＋2e2=－2(e1－e2)=－2a；
③中，a=4e1－eq \f(2,5)e2=4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e1－\f(1,10)e2))=4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb.故填①②③.
答案为：－1或3；
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，
所以存在实数λ，使得ma－3b=λ[a＋(2－m)b]，
即(m－λ)a＋(mλ－2λ－3)b=0，因为a与b不共线，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝λ，,mλ－2λ－3＝0，))解得m=－1或m=3.
答案为：－4；
解析：∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，
∴ke1＋2e2=λ(8e1＋ke2)=8λe1＋λke2.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝8λ，,2＝λk，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,2)，,k＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,2)，,k＝－4.))
∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ=－eq \f(1,2)，k=－4.
证明：∵eq \(BC,\s\up6(→))=6e1＋23e2，eq \(CD,\s\up6(→))=4e1－8e2，
∴eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))=(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)=10e1＋15e2.
又∵eq \(AB,\s\up6(→))=2e1＋3e2，∴eq \(BD,\s\up6(→))=5eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B.
∴A，B，D三点共线．
解：(1)证明：因为eq \(OM,\s\up6(→))=λeq \(OB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))，
所以eq \(OM,\s\up6(→))=λeq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))－λeq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))=λeq \(OB,\s\up6(→))－λeq \(OA,\s\up6(→))，
即eq \(AM,\s\up6(→))=λeq \(AB,\s\up6(→))，
又λ∈R，λ≠1，λ≠0且eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))有公共点A，所以A，B，M三点共线．
(2)由(1)知eq \(AM,\s\up6(→))=λeq \(AB,\s\up6(→))，若点B在线段AM上，
则eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))同向且|eq \(AM,\s\up6(→))|＞|eq \(AB,\s\up6(→))|(如图所示)．
所以λ＞1.
解：∵a与b是共线向量，∴a=λb，
∴2e1－e2=λ(ke1＋e2)=λke1＋λe2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λk＝2，,λ＝－1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－2，,λ＝－1，))
∴k=－2.
解：原式=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)－\f(2,3)＋\f(4,15)))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)－\f(4,3)＋\f(26,15)))b=0.
解：(1)由a=λb，得2e1－e2=λke1＋λe2，而e1与e2不共线，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λk＝2,λ＝－1))⇒k=－2.
(2)不存在．若e1与e2共线，则e2=λe1，
有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2－λe1，,b＝k＋λe1，))
因为e1，e2，a，b为非零向量，
所以λ≠2且λ≠－k，
所以eq \f(1,2－λ)a=eq \f(1,k＋λ)b，即a=eq \f(2－λ,k＋λ)b，这时a与b共线，所以不存在实数k满足题意．
证明：连接CR(图略)．
由A，D，R三点共线，
可得eq \(CR,\s\up6(→))=λeq \(CD,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(CA,\s\up6(→))=eq \f(2,3)λeq \(CB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(CA,\s\up6(→)).
由B，E，R三点共线，
可得eq \(CR,\s\up6(→))=μeq \(CB,\s\up6(→))＋(1－μ)eq \(CE,\s\up6(→))=μeq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(1－μ)eq \(CA,\s\up6(→)).
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,3)λ＝μ，,1－λ＝\f(1,3)1－μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(6,7)，,μ＝\f(4,7)，))
所以eq \(CR,\s\up6(→))=eq \f(4,7)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,7)eq \(CA,\s\up6(→)).
所以eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))，
eq \(RD,\s\up6(→))=eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CR,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))－(eq \f(4,7)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,7)eq \(CA,\s\up6(→)))=eq \f(2,21)eq \(CB,\s\up6(→))－eq \f(1,7)eq \(CA,\s\up6(→))=eq \f(1,7)(eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))=eq \f(1,7)eq \(AD,\s\up6(→)).