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    2021年高中数学《向量加法运算及其几何意义》精选练习(含答案)

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    数学人教版新课标A第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算课时训练

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    这是一份数学人教版新课标A第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算课时训练,共6页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、选择题
    已知a,b,c是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)中,与向量a+b+c相等的个数为( )
    A.5 B.4 C.3 D.2
    如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))=( )
    A.eq \(CD,\s\up6(→)) B.eq \(OC,\s\up6(→)) C.eq \(DA,\s\up6(→)) D.eq \(CO,\s\up6(→))
    如图所示的方格中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则eq \(OP,\s\up6(→))+eq \(OQ,\s\up6(→))=( )
    A.eq \(OH,\s\up6(→)) B.eq \(OG,\s\up6(→)) C.eq \(FO,\s\up6(→)) D.eq \(EO,\s\up6(→))
    下列结论中,正确结论的个数为( )
    ①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同;
    ②在△ABC中,必有eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CA,\s\up6(→))=0;
    ③若eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CA,\s\up6(→))=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点;
    ④若a,b均为非零向量,则a+b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等.
    A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
    在平行四边形ABCD中,若|eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(BA,\s\up6(→))|=|eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))|,则四边形ABCD是( )
    A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定
    在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(FE,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))|等于( )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    二、填空题
    若a表示“向东走8 km”,b表示“向北走8 km”,则|a+b|=______,a+b的方向是_______.
    当非零向量a,b满足________时,a+b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.
    三、解答题
    已知|eq \(OA,\s\up6(→))|=|a|=3,|eq \(OB,\s\up6(→))|=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.
    如图,已知D,E,F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点.求证:eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(BE,\s\up6(→))+eq \(CF,\s\up6(→))=0.
    如图,在重300 N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°、60°,当整个系统处于平衡状态时,求两根绳子的拉力.
    答案解析
    答案为:A
    解析:依据向量加法的交换律及结合律,每个向量式均与a+b+c相等,故选A.
    答案为:B
    解析:eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(OC,\s\up6(→)).
    答案为:C
    解析:设a=eq \(OP,\s\up6(→))+eq \(OQ,\s\up6(→)),以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=eq \(OP,\s\up6(→))+eq \(OQ,\s\up6(→)),则a与eq \(FO,\s\up6(→))长度相等,方向相同,所以a=eq \(FO,\s\up6(→)).
    答案为:B
    解析:当a+b=0时,知①不正确;
    由向量加法的三角形法则知②正确;
    当A,B,C三点共线时知③不正确;
    当向量a与向量b方向不相同时|a+b|≠|a|+|b|,故④不正确.
    答案为:B;
    解析:∵|eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(BA,\s\up6(→))|=|eq \(BD,\s\up6(→))|,|eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))|=|eq \(AC,\s\up6(→))|,
    ∴|eq \(BD,\s\up6(→))|=|eq \(AC,\s\up6(→))|,∴▱ABCD是矩形.
    答案为:B;
    解析:如图,
    ∵eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(FE,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→)),∴|eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(FE,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))|=|eq \(AD,\s\up6(→))|=2|eq \(AO,\s\up6(→))|=2|eq \(AB,\s\up6(→))|=2.故选B.
    答案为:8eq \r(2) km,东北方向;
    解析:如图所示,作eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(AB,\s\up6(→))=b,则a+b=eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(OB,\s\up6(→)).
    所以|a+b|=|eq \(OB,\s\up6(→))|=eq \r(82+82)=8eq \r(2)(km),
    因为∠AOB=45°,所以a+b的方向是东北方向.
    答案为:|a|=|b|;
    解析:当|a|=|b|时,以a与b为邻边的平行四边形为菱形,则其对角线上向量a+b平分此菱形的内角.
    解:如图,∵|eq \(OA,\s\up6(→))|=|eq \(OB,\s\up6(→))|=3,
    ∴四边形OACB为菱形.
    连接OC、AB,则OC⊥AB,设垂足为D.
    ∵∠AOB=60°,∴AB=|eq \(OA,\s\up6(→))|=3,
    ∴在Rt△BDC中,CD=eq \f(3\r(3),2),
    ∴|eq \(OC,\s\up6(→))|=|a+b|=eq \f(3\r(3),2)×2=3eq \r(3).
    证明:由题意知:eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→)),eq \(BE,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→)),eq \(CF,\s\up6(→))=eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(BF,\s\up6(→)).
    由平面几何可知,eq \(EF,\s\up6(→))=eq \(CD,\s\up6(→)),eq \(BF,\s\up6(→))=eq \(FA,\s\up6(→)).
    ∴eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(BE,\s\up6(→))+eq \(CF,\s\up6(→))=(eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→)))+(eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→)))+(eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(BF,\s\up6(→)))
    =(eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→))+eq \(BF,\s\up6(→)))+(eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CB,\s\up6(→)))
    =(eq \(AE,\s\up6(→))+eq \(EC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→))+eq \(BF,\s\up6(→)))+0
    =eq \(AE,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(BF,\s\up6(→))=eq \(AE,\s\up6(→))+eq \(EF,\s\up6(→))+eq \(FA,\s\up6(→))=0,
    ∴eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(BE,\s\up6(→))+eq \(CF,\s\up6(→))=0.
    解:如图,作▱OACB,
    使∠AOC=30°,∠BOC=60°,
    则在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°.
    设向量eq \(OA,\s\up6(→))、eq \(OB,\s\up6(→))分别表示两根绳子的拉力,
    则eq \(CO,\s\up6(→))表示物体的重力,且|eq \(OC,\s\up6(→))|=300(N),
    ∴|eq \(OA,\s\up6(→))|=|eq \(OC,\s\up6(→))|cs 30°=150eq \r(3)(N),
    |eq \(OB,\s\up6(→))|=|eq \(OC,\s\up6(→))|cs 60°=150(N).
    故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150eq \r(3) N,
    与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.

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