2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习4(含答案详解)

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等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.
(2)令cn=设数列{cn}的前n项和为Tn,求T2n.
司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．
（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
（2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为X，若每次抽检的结果都相互独立，求X的分布列和数学期望E(X)．
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，，点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到的位置．．
（1）证明：平面ABCD；
（2）求二面角的正弦值．
已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)上一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，
直线l：y=kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(均不在坐标轴上).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，若△AOB的面积为eq \r(3)，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？
已知函数f(x)=+ax+2ln x(a∈R)在x=2处取得极值.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;
(2)已知方程f(x)=m有三个实根x1,x2,x3(x1 \s 0 参考答案
解：(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,则
即解得
所以an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.
(2)由a1=3,an=2n+1得Sn==n(n+2),则cn=
即cn=
所以T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)
=+(2+23+…+22n-1)
=1-+=+ (4n-1).
解：
数学期望.
（1）证明：由已知得，．
又由得，故．
因此，从而．
由，得．
由得．
所以，．
于是，故．
又，而，
所以平面．
（2）解：如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
则，，，，，
，，．
设是平面的法向量，则，即，
所以可取．
设是平面的法向量，则，
即，所以可取．
于是．．
因此二面角的正弦值是．
解：(1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1，,a2＝b2＋1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝3，))
∴椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝kx＋m，))得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12=0，
由Δ=(8km)2－16(4k2＋3)(m2－3)＞0，得m2＜4k2＋3.
∵x1＋x2=eq \f(－8km,4k2＋3)，x1x2=eq \f(4m2－12,4k2＋3)，∴S△OAB=eq \f(1,2)|m||x1－x2|=eq \f(1,2)|m|·eq \f(4\r(3)\r(4k2＋3－m2),4k2＋3)=eq \r(3)，
化简得4k2＋3－2m2=0，满足Δ＞0，从而有4k2－m2=m2－3(*)，
∴kOA·kOB=eq \f(y1y2,x1x2)=eq \f(kx1＋mkx2＋m,x1x2)=eq \f(k2x1x2＋kmx1＋x2＋m2,x1x2)
=eq \f(－12k2＋3m2,4m2－12)=－eq \f(3,4)·eq \f(4k2－m2,m2－3)，由(*)式，得eq \f(4k2－m2,m2－3)=1，
∴kOA·kOB=－eq \f(3,4)，即直线OA与OB的斜率之积为定值－eq \f(3,4).
(1)解:由已知得f′(x)=x+a+(x>0),f′(2)=2+a+=0,所以a=-3,
所以f′(x)=x-3+==(x>0),
令f′(x)>0,得02;令f′(x)<0,得1所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(2,+∞),单调递减区间是(1,2).
(2)证明:由(1)可知函数f(x)的极小值为f(2)=2ln 2-4,
极大值为f(1)=-,可知方程f(x)=m三个实根满足0设h(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),
则h′(x)=f′(x)+f′(2-x)=>0,则h(x)在(0,1)上单调递增,
故h(x)所以f(x2)=f(x1)由(1)知函数f(x)在(1,2)上单调递减,所以x2>2-x1,即x1+x2>2,①
同理设g(x)=f(x)-f(4-x),x∈(1,2),
则g′(x)=f′(x)+f′(4-x)=>0,
则g(x)在(1,2)上单调递增,故g(x)即f(x)由(1)知函数f(x)在(2,+∞)上单调递增,所以x3<4-x2,即x3+x2<4,②
由①②可得x3-x1<2.