2021学年第一章 三角函数综合与测试随堂练习题

2021年高中数学《三角函数》

章节精选练习

一、选择题

1.某扇形的面积为1cm2，它的周长为4cm，那么该扇形圆心角的度数为（       ）

                 A.2°                            B.2                               C.4°                            D.4

2.如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是（       ）

A.()cm2     B.()cm2       C.()cm2      D.()cm2

3.集合M={x|x=＋，k∈Z}，N={x|x=＋，k∈Z}，则有(　　)

A．M=N         B．MN        C．MN         D．M∩N=∅

4.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P(3,4)，则sin=(　　)

A．－          B．－          C.             D.

5.已知α是锐角，且tan α是方程4x2＋x－3=0的根，则sin α=(　　)

A.         B.         C.         D.

6.已知α∈R，sin α＋2cos α=，则tan α=(　　)

A．3         B．－         C．－3         D．3或－

7.已知2sin α－cos α=0，则sin2α－2sin αcos α的值为(　　)

A．－            B．－           C.               D.

8.若f(sin x)=3-cos 2x，则f(cos x)等于(　　)

A．3-cos 2x        B．3-sin 2x        C．3＋cos 2x        D．3＋sin 2x

9.函数y=2sin (ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为(　　)

A.(k∈Z)        B.(k∈Z)

C.(k∈Z)        D.(k∈Z)

10.设a为常数，且，则函数的最大值为（   ）

A.2a-1               B.2a+1               C.-2a-1               D.a2

11.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[-，]上的最小值是－2，则ω的最小值为 (　  　)

A.2/3                                              B.1.5                 C.2                                                D.3

12.y= log0.5sin(2x +)的单调递减区间是（    ）

A.[kπ－,kπ](k∈Z)              B.(kπ－ ,kπ+ )(k∈Z)

C.[kπ－ ,kπ+ ] (k∈Z)       D.(kπ－, kπ+)(k∈Z)

二、填空题

13.已知ɑ是第二象限角，且|ɑ+2|≤4则ɑ的范围是                  .

14.若扇形的周长是16 cm，圆心角是2 rad，则扇形的面积是________ cm2.

15.已知tan α=3，则=________.

16.函数y= 的定义域是________.

17.已知函数,其中x∈[](m∈R且m>),若f(x)的值域是[-1,],则m的最大值是　　　　. 

18.直线y=a与曲线y=2sin(2x+)在x∈(0，2π)内有四个不同的交点，则实数a的取值范围是________.

三、解答题

19.已知扇形的周长为20cm，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？

20.已知．

(1)若sinα-3cosα=0，求f(α)的值．

(2)若，且，求cosα-sinα的值．

21.已知a>0，函数f(x)=－2a·sin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.

(1)求常数a，b的值；

(2)设g(x)=f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．

22.已知函数，x∈[].

(1)求f(x)的最大值和最小值；

(2)若不等式f(x)－m<2在x∈[]上恒成立，求实数m的取值范围.

23.已知函数f(x)=2cos πx·cos2＋sin[(x＋1)π]·sin φ－cos πx的部分图象如图所示．

(1)求φ的值及图中x0的值；

(2)将函数f(x)的图象上的各点向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．

24.已知函数f(x)=2sin2ωx＋2·sinωxcosωx－1(ω>0)，且函数f(x)的最小正周期为π．

(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合．

25.已知函数f(x)=cos＋2sinsin.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)将y=f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=g(x)的图象.若函数y=g(x)在区间上的图象与直线y=a有三个交点，求实数a的取值范围.

答案解析

26.B

27.C

28.答案为：C.

解析：因为集合M是表示终边在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上的角的集合．

集合N是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上的角的集合．所以MN.

29.答案为：C；

解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sin α=，cos α=.

∴sin=sinα－＋=sinα＋=cos α=.故选C.

30.答案为：B.

解析：因为方程4x2＋x－3=0的根为x=或x=－1，

又因为tan α是方程4x2＋x－3=0的根且α为锐角，

所以tan α=，所以sin α=cos α，即cos α=sin α，

又sin2α＋cos2α=1，所以sin2α＋sin2α=1，

所以sin2α=(α为锐角)，所以sin α=.

31.答案为：D.

解析：因sin α＋2cos α=，所以sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α=，

所以3cos2α＋4sin αcos α=，所以=，

即=，即3tan2α－8tan α－3=0，解得tan α=3或tan α=－.

32.答案为：A；

由已知2sin α－cos α=0得tan α=，

解析：所以sin2α－2sin αcos α===－.故选A.

33.答案为：C.

解析：∵cos x=sin(-x)，

∴f(cos x)=f(sin(-x))=3-cos[2(-x)]=3-cos(π-2x)=3＋cos 2x.

34.C.

解析：周期T=π，∴=π，∴ω=2，∴y=2sin.

由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.

35.答案为：A；

36.B

37.B       

38.答案为：(-1.5,-)∪(0.5,2];

39.答案为：16；

解析：设扇形的半径是r cm，弧长为l cm，

则解得l=8，r=4.则扇形的面积是lr=16 (cm2)．

40.答案为：45；

解析：分子分母同时除以cos2α，得==45.

41.答案：，k∈Z.

解析：要使函数有意义，只需2cos x－≥0，即cos x≥.

由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为，k∈Z.

42.答案为：π；

43.答案为：(－2，)∪(，2)

44.

45.解：

46.解：

(1)∵x∈，∴2x＋∈.∴sin∈，

∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b，3a＋b]，

又∵－5≤f(x)≤1，∴b=－5，3a＋b=1，因此a=2，b=－5.

(2)由(1)得，f(x)=－4sin－1，

g(x)=f=－4sin－1=4sin－1，又由lg g(x)>0，得g(x)>1，

∴4sin－1>1，∴sin>，

∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，

其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，

g(x)单调递增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z，

∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.

又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，

g(x)单调递减，即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z.

∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.

47.解析：

48.解：(1)f(x)=2cos πx·cos2＋sin[(x＋1)π]·sin φ－cos πx

=cos πx·－sin πx·sin φ

=cos πx·cos φ－sin πx·sin φ=cos(πx＋φ)．

由题图可知，cos φ=，又0＜φ＜，所以φ=.

又cos=，所以πx0＋=，所以x0=.

(2)由(1)可知f(x)=cos，将图象上的各点向左平移个单位长度得到

y=cos=cos的图象，然后将各点的横坐标不变，

纵坐标伸长到原来的倍后得到g(x)=cos的图象．

因为x∈，所以－≤πx＋≤.

所以当πx＋=0，即x=－时，g(x)取得最大值；

当πx＋=，即x=时，g(x)取得最小值－.

49.解:

(1)f(x)=2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1=1－cos2ωx＋sin2ωx－1=2sin2ωx－．

由函数f(x)的最小正周期T==π，得ω=1．所以f(x)=2sin2x－．

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，其中k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，其中k∈Z，

即f(x)的单调递增区间为kπ－，kπ＋，其中k∈Z．

(2)g(x)=fx＋=2sin2x＋－=2sin2x＋，则g(x)的最大值为2，

此时有2sin2x＋=2，即sin2x＋=1，

即2x＋=2kπ＋，其中k∈Z，解得x=kπ＋，其中k∈Z．

所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为xx=kπ＋，其中k∈Z．

50.解：(1)f(x)=cos＋2sinsin

=cos2x＋sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)

=cos2x＋sin2x＋sin2x－cos2x

=cos2x＋sin2x－cos2x=sin.

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.

(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，

得y=sin=sin=cos2x的图象，

再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)=cosx的图象.

作函数g(x)=cosx在区间上的图象，及直线y=A.根据图象知，

实数a的取值范围是.