2021年高考数学一轮复习《平面向量取值范围问题》精选练习(含答案详解)

2021年高考数学一轮复习

《平面向量取值范围问题》精选练习

一、选择题

1.在中，点是上一点，且，为上一点，

向量，则的最小值为（    ）

A.16        B.8        C.4        D.2

2.如图,在△ABC中,点D在线段BC上,且满足BD=DC,过点D的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则(　　)

A.m+n是定值,定值为2

B.2m+n是定值,定值为3

C.+是定值,定值为2

D.+是定值,定值为3

3.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若=x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)

A.             B．          C.           D．

4.如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m＋，则实数m的值为(　　)

A.               B.            C．1              D．3

5.如图，已知△OAB，若点C满足=2，=λ＋μ (λ，μ∈R)，则＋=(　　)

A.             B.            C.            D.

6.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设=a，=b，=xa＋yb，则＋的最小值为(　　)

A.6＋2        B.6        C.6＋4        D.3＋2

7.在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若=＋λ·，则||的取值范围为(　 　)

A.      B.    C.     D.

8.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ＋μ，

则λ＋μ的最大值为(　　)

A.3         B.2           C.          D.2

9.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)

A.－2           B.－          C.－           D.－1

10.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C、D不重合),若=x+(1-x)·,则x的取值范围是(　　)

A.(0,)                                     B.(0,)                         C.(-,0)                                       D.(-,0)

11.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(m,3m－4)，b=(1,2)，且平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c=λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，4)      B．(4，＋∞)      C．(－∞，4)∪(4，＋∞)      D．(－∞，＋∞)

12.已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC分别交于点M，N，且=x，=y (x，y>0)，则3x＋y的最小值是(　　)

A.            B.          C.            D.＋

13.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若=m＋n，则m＋n的取值范围是(　　)

A．(0,1)        B．(1，＋∞)       C．(－∞，－1)       D．(－1,0)

14.设向量=(1，－2)，=(a，－1)，=(－b,0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(   　)

A.4        B.6            C.8         D.9

15.中，，，，是边上的一点（包括端点），

则的取值范围是（    ）

A.        B.        C.        D.

16.在等腰直角三角形中，，，点为三角形所在平面上一动点，且满足，则的取值范围是（    ）

A.        B.        C.        D.

17.过点P(－1,1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2=1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，则·的最小值为(　　)

A.            B.            C.            D．2－3

18.如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB=，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则·的最大值为(　　)

A.           B.           C．1            D．

19.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足

b2－4e·b＋3=0，则|a－b|的最小值是(　　)

A．－1           B．＋1         C．2         D．2－

20.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)

A．－2         B．－          C．－           D．－1

21.已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=|c|=1，若a·b=，则(a＋b)·(2b－c)最小值为(  )

A.－2          B.3－         C.－1          D.0

二、填空题

22.如图，在等腰直角三角形ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n(m＞0，n＞0)，则mn的最大值为________．

23.在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=30°，AB=2，BC=2，点E在线段CD上，

若=＋μ，则μ的取值范围是________．

24.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且||=，若=λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为________.

25.在△ABC中，∠A=，O为平面内一点，且||=||=||，M为劣弧上一动点，

且=p＋q，则p＋q的取值范围为________.

26.矩形ABCD中，AB=3，AD=2，P为矩形内部一点，且AP=1，若=x＋y，则3x＋2y的取值范围是           .

27.平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，点P在边CD上，则的取值范围是____________.

28.已知平面向量a，b满足|b|=1，且a与b－a的夹角为120°，则|a|的取值范围为________．

29.已知向量=(m,1)，=(2－m，－4)，若·>11，则m的取值范围为________．

30.在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2,0)，E，F是y轴上的两个动点，且||=2，则·的最小值为________．

0.答案解析

1.答案为：A

解析：由题意可知，其中，，三点共线，

由三点共线的充分必要条件可得，

则：，

当且仅当，时等号成立，即的最小值为16.本题选择A选项.

2.答案为：D；

解析：法一:如图,过点C作CE平行于MN交AB于点E.

由=n可得=,所以==,由BD=DC可得=,

所以==,因为=m,所以m=,整理可得+=3.故选D.

法二:因为M,D,N三点共线,所以=λ+(1-λ).

又=m,=n,所以=λm+(1-λ)n,①

又=,所以-=-,所以=+,②

由①②知λm=,(1-λ)n=,所以+=3,故选D.

3.答案为：D.

解析：设=λ，其中1＜λ＜，则有=＋=＋λ=＋λ(－)

=(1－λ)＋λ.又=x＋(1－x)，且，不共线，

于是有x=(1－λ)∈，即x的取值范围是.

4.答案为：B；

因为=，所以=4.所以=m＋=m＋，

因为B，P，N共线，所以m＋=1，m=.

5.答案为：D；

∵=＋=＋=＋(－)=＋，

∴λ=，μ=，∴＋=3＋=.故选D.

6.答案为：D；

解析：由题意知=xa＋yb=2x＋y，

因为C，F，D三点共线，所以2x＋y=1，即y=1－2x.

由题图可知x＞0且x≠1.所以＋=＋=.

令f(x)=，则f′(x)=，

令f′(x)=0，得x=－1或x=－－1(舍).

当0＜x＜－1时，f′(x)＜0，当x＞－1且x≠1时，f′(x)＞0.

所以当x=－1时，f(x)取得极小值，亦为最小值，最小值为f(－)

==3＋2.

7.答案为：D；

解析：在AB上取一点D，使得=，过D作DH∥AC，交BC于H.

∵=＋λ，且点P是△ABC内一点(含边界)，∴点P在线段DH上.

当P在D点时，||取得最小值2；当P在H点时，||取得最大值，

此时B，P，C三点共线，

∵=＋λ，∴λ=，∴=＋，

∴2=2＋2＋·=，∴||=.

故||的取值范围为.故选D.

8.答案为：A；

解析：建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1).

设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.

∵CD=1，BC=2，∴BD==，

EC===，即圆C的半径为，

∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2=.

设P(x0，y0)，则(θ为参数)，

而=(x0，y0)，=(0,1)，=(2,0).

∵=λ＋μ=λ(0,1)＋μ(2,0)=(2μ，λ)，

∴μ=x0=1＋cos θ，λ=y0=1＋sin θ.

两式相加，得λ＋μ=1＋sin θ＋1＋cos θ=2＋sin(θ＋φ)≤3

，

当且仅当θ=＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A.]

9.答案为：B；

解析：法一：(解析法)建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为

A(0，)，B(－1,0)，C(1,0).

图①

设P点的坐标为(x，y)，则=(－x，－y)，=(－1－x，－y)，=(1－x，－y)，

∴·(＋)=(－x，－y)·(－2x，－2y)=2(x2＋y2－y)

=2≥2×=－.

当且仅当x=0，y=时，·(＋)取得最小值，最小值为－.故选B.

法二：(几何法)如图②所示，＋=2(D为BC的中点)，则·(＋)=2·.

图②

要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，

则(2·)min=－2||||，问题转化为求||||的最大值.

又||＋||=||=2×=，∴||||≤2=2=，

∴[·(＋)]min=(2·)min=－2×=－.故选B.]

10.答案为：D；

解析：解法一:依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ

=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x)·,且、不共线,

于是有x=1-λ∈(-,0),即x的取值范围是(-,0),选D.

解法二:∵=x+-x,∴-=x(-),即=x=-3x,

∵O在线段CD(不含C、D两点)上,∴0<-3x<1,∴-<x<0.

11.答案为：C;

解析：平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c=λa＋μb，由平面向量基本定理可知，

向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．

又因为a=(m,3m－4)，b=(1,2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，

所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．

12.答案为：D；

解析：如图．=，=，又∵=＋，∴=＋，

又∵M，G，N三点共线，∴＋=1.

∵x>0，y>0，∴3x＋y=(3x＋y)·=1＋＋＋≥＋.

当且仅当y=x时取等号．故选D.

13.答案为：D；

解析：由点D是圆O外一点，可设=λ (λ>1)，则=＋λ=λ＋(1－λ).

又C，O，D三点共线，令=－μ (μ>1)，则=－－· (λ>1，μ>1)，

所以m=－，n=－，则m＋n=－－=－∈(－1,0)．

14.答案为：C；

解析：∵=(1，－2)，=(a，－1)，=(－b,0)，

∴=－=(a－1,1)，=－=(－b－1,2)，

∵A，B，C三点共线，∴=λ，即(a－1,1)=λ(－b－1,2)，

∴可得2a＋b=1.

∵a＞0，b＞0，∴＋=(2a＋b)=2＋2＋＋≥4＋2=8，

当且仅当=，即a=，b=时取等号，故＋的最小值为8，故选C.

15.答案为：D

解析：设，则

，

，则，

因为，所以，即的取值范围是，故选D.

16.答案为：D

解析：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示

则，，，

由知，点在以为圆心，半径为1的圆上，

设，，则，

又，∴，

当，即时，取得最大值，

当，即时取得最小值，

∴的取值范围是，故选D.

17.答案为：C；

解析：观察圆C的方程可知，圆心C在直线y=x－2上运动，则|PC|≥=2.

设∠CPA=θ，则·=||||cos 2θ=||2(2cos2θ－1)

=(||2－1)=(||2－1)·=||2＋－3，

令||2=x，设y=x＋－3，则y=x＋－3在[8，＋∞)上为增函数，

故·≥8＋－3=，故选C.

18.答案为：C；

解析：∵扇形OAB的半径为1，∴| |=1，∵OP⊥OB，∴·=0.

∵∠AOB=，∴∠AOP=，∴·=(＋)·(＋)

=2＋·＋·＋·

=1＋||cos ＋||·||cos ≤1＋0×＋0×=1，故选C.

19.答案为：A；

解析：

设=a，=b，=e，以O为原点，的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则E(1,0)．

不妨设A点在第一象限，∵a与e的夹角为，∴点A在从原点出发，倾斜角为，

且在第一象限内的射线上．设B(x，y)，由b2－4e·b＋3=0，得x2＋y2－4x＋3=0，

即(x－2)2＋y2=1，即点B在圆(x－2)2＋y2=1上运动．而=a－b，

∴|a－b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值，

即为圆心(2,0)到射线y=x(x≥0)的距离减去圆的半径，所以|a－b|min=－1．故选A．

20.答案为：B；

解析：

以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，

如图，则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，

设P(x，y)，取BC的中点D，则D，．

·(＋)=2·=2(－1－x，－y)·－x，－y

=2(x＋1)·x－＋y·y－=2x＋2＋y－2－．

因此，当x=－，y=时，·(＋)取得最小值，为2×－=－．故选B．

21.答案为：B；

解析：由|a|=|b|=1，a·b=，

可得〈a，b〉=.令=a，=b，

以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，

则a==(1,0)，b==，设c==(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，

则(a＋b)·(2b－c)=2a·b－a·c＋2b2－b·c=3－=3－sin，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－，故选B.

22.答案为：1；

解析：以A为坐标原点，线段AC、AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设△ABC的腰长为2，则B(0,2)，C(2,0)，O(1,1)．

∵=m，=n，∴M，N，∴直线MN的方程为＋=1，

∵直线MN过点O(1,1)，∴＋=1，即m＋n=2，

∴mn≤=1，当且仅当m=n=1时取等号，∴mn的最大值为1.

23.答案为：；

解析：由题意可求得AD=1，CD=，所以=2.

∵点E在线段CD上，∴=λ (0≤λ≤1)．

∵=＋，

又=＋μ=＋2μ=＋，

∴=1，即μ=.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，

即μ的取值范围是.

24.答案为：

解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(1,0)，C(1，)，D(0，).

设P(x，y)，则=(x，y)，=(1,0)，=(0，).

由=λ＋μ(λ，μ∈R)，

得又因为

所以λ＋μ=x＋y≤=.

25.答案为：[1,2]；

解析：因为||=||=||，所以O为△ABC外接圆的圆心，且∠BOC=.

以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设圆的半径为1，

则B(1,0)，C，设M(cos θ，sin θ)，

则=(1,0)，=，由=p＋q，

得，解得，

所以p＋q=cos θ＋sin θ=2sin，由0≤θ≤，知≤θ＋≤，

所以当θ＋=，即θ=时，p＋q取得最大值2；当θ＋=或θ＋=，

即θ=0或θ=时，p＋q取得最小值1.故p＋q的取值范围是[1,2].

26.答案为：(1，].

解析：设点P在AB上的射影为Q，∠PAQ=θ，

则=＋，且||=cosθ，||=sinθ.

又与共线，与共线，故=，=，

从而=＋，故x=，y=，

因此3x＋2y=cosθ＋sinθ=sin，

又θ∈，故3x＋2y的取值范围是(1，].

27.答案为：.

28.答案为：；

解析：在△ABC中，设=a，=b，则b－a=－=，

∵a与b－a的夹角为120°，∴∠B=60°，由正弦定理得=，

∴|a|==sin C，∵0°<C<120°，∴sin C∈(0,1]，∴|a|∈.

29.答案为：(7，＋∞)；

解析：由向量=(m,1)，=(2－m，－4)，得=＋=(2，－3)．

又因为·>11，所以2m－3>11，解得m>7.

30.答案为：－3；

解析：

设E(0，m)，F(0，n)，又A(－1,0)，B(2,0)，∴=(1，m)，=(－2，n)．∴·=－2＋mn，

又知||=2，∴|m－n|=2．

①当m=n＋2时，·=mn－2=(n＋2)n－2=n2＋2n－2=(n＋1)2－3．

∴当n=－1，即E的坐标为(0,1)，F的坐标为(0，－1)时，·取得最小值－3．

②当m=n－2时，·=mn－2=(n－2)n－2=n2－2n－2=(n－1)2－3．

∴当n=1，即E的坐标为(0，－1)，F的坐标为(0,1)时，·取得最小值－3．

综上可知，·的最小值为－3．