2021届高三数学二轮复习小题压轴题专练-

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A．B．C．D．
解：因为，且，，
所以，
过的中点作平面的垂线，则球心在直线上，
设，球的半径为，
则棱锥的高的最大值为，
所以，
解得①，
在中，，
则②，
由①②解得，，
所以球的体积为．
故选：．
2．四面体的四个顶点都在球上，且，，则球的表面积为
A．B．C．D．
解：如图，取，的中点，，连结，，，
因为，
所以，又，
故，则，
所以为等腰直角三角形，
所以，
取上一点，连结，，，，
因为，，只需使得，则点为三棱锥外接球的球心，
设，则，
所以，解得，
所以，
故球的表面积为．
故选：．
3．已知四棱锥的底面是矩形，其中，，平面平面，，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为
A．B．C．D．
解：如图，取的中点，连接，则，
平面平面，且平面平面，平面，
平面，设四棱锥的外接球的球心为，
连接，，设，连接，则底面，
直线与所成角的余弦值为，即，
设，则，
，平面平面，且平面平面，平面，
平面，则，又，，
，解得，可得，
又，四棱锥的外接球的半径满足：
，
四棱锥的外接球表面积为．
故选：．
4．已知三棱锥中，是以角为直角的直角三角形，，，，为的外接圆的圆心，，那么三棱锥外接球的体积为
A．B．C．D．
解：如图，设三棱锥外接球的球心为，半径为，连结，，，，
由已知可得，为圆的直径，，则，因为，
在中，由余弦定理可得，，则，
又，所以为钝角，
由正弦定理可得，，即，解得，所以，
因为，，三线共面，，则，
在中，，
在中，，
所以，解得，
故三棱锥的外接球的体积为．
故选：．
5．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马（如图），平面，，，点，分别在，上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为
A．B．C．D．
解：如图所示，把，剪开，使得与矩形在同一个平面内
延长到，使得，则四点，，，在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值．
可得，．
点为的中点
如图所示，设的外心为，外接圆的半径为，则．
取分别为，的中点．
设，则，解得．
设三棱锥外接球的半径为，
则．
三棱锥外接球的表面积．
故选：．
6．已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
解：延长交于，连接，
是的垂心，，平面，平面，，
又平面，平面，，
平面，又平面，，
连接并延长交于，连接，由平面可得，
又，，平面，．
设在平面上的射影为，延长交于，连接．
，，平面．，．
是的中心，是的中点，，
当，，两两垂直时，三棱锥体积取得最大值时，
将，，作为正方体的相邻的三条棱补成正方体，则外接球的直径即为正方体的对角线长，所以三棱锥的外接球的半径满足：，
解得，所以球的表面积为，
故选：．
7．三棱锥中，，，的面积为，则此三棱锥外接球的体积为
A．B．C．D．
解：如图所示：，，，
又，，，
，则，
又由三角形的面积为，得三角形的高，
求解直角三角形可得，
在中，由余弦定理可得，，
，即，
解得（舍，或，
则，得到，，
，，根据球的性质可得为三棱锥的外接球的直径，
，得，
此三棱锥外接球的体积为．
故选：．
8．如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，且平面，若，，则四棱锥的外接球的体积为
A．B．C．D．
解：过点，，，作球的截面如图1，设的中点为，连接，，
则，且，所以四边形是平行四边形，所以，
同理，所以，
所以到等腰梯形各个顶点的距离都相等，
过点，，作球的截面，如图2，
设的中点为，连接，，则，
所以平面，所以，又，
所以，所以点是四棱锥外接球的球心，
在中，，所以，
所以四棱锥的外接球的体积：，
故选：．
9．在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为 ．
解：取的中点，连接、，
因为是等边三角形，
所以，又因，所以，
所以即为二面角的平面角，即，
因为是等边三角形，
所以的外接圆圆心即为三角形的重心，
过作平面，而为的外接圆圆心，过作平面，
所以与的交点即为三棱锥外接球的球心，
作平面截面图，
则，，，
而，则，
所以，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：．
10．已知三棱锥外接球的球心在线段上，若与均为面积是的等边三角形，则三棱锥的体积为 ．
解：如图，
三棱锥外接球的球心在线段上，，
又与均为面积是的等边三角形，
设，则，得，即，
可得，，进一步求得，
得到，
设中点，连接，，求得．
且，，又，平面，
在中，，，，
则．
故答案为：．
11．已知球是三棱锥的外接球，，，点是的中点，且，则球的表面积为 ．
解：由，，得．
由点是 的中点及，
求得，又，
，得，
又且，平面，
平面．
球心到底面 的距离，
由正弦定理得 的外接圆半径，
球的半径为，
球的表面积为．
故答案为：．
12．在正三棱锥中，，点是的中点，若，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
解：如图，取中点，连接，．
在正三棱锥中，．
．，、平面，平面．
平面，．
又，，、平面，平面．
又平面，平面，．平面．
、平面，，．
正三棱锥的三个侧面全等，．
，，．
、、两两垂直，且．
可将正三棱锥补成正方体．
正三棱锥外接球的直径即为正方体的体对角线．
．
正三棱锥的外接球的表面积为．
13．在棱长为2的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
解：连结，取中点，设点到的距离，连结，
过作垂直平面，设，
为三棱锥的外接球的球心，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴
建立空间直角坐标系，则，0，，，1，，
，，，，2，，
则球半径，
，
，得，
则，当且仅当时取等号．
．
三棱锥的外接球的表面积最小值为：
．
故答案为：．