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_江苏省南通市海安市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷 （解析版）
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这是一份_江苏省南通市海安市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷 （解析版），共22页。试卷主要包含了选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南通市海安市高二（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|x2＜3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
2．命题“∃x＞1，x2≥1”的否定是（ ）
A．∃x≤1，x2≥1 B．∃x≤1，x2＜1 C．∀x≤1，x2≥1 D．∀x＞1，x2＜1
3．已知，，，则（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c
4．“0＜a＜4”是“方程表示为椭圆”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），当x∈（0，1]时，f（x）＝ex，其中e是自然对数的底数，则f（5+ln2）＝（ ）
A．﹣2e B． C．2e D．
6．2020年4月21日，习近平总书记在学校考察调研时提出“文明其精神，野蛮其体魄”，“野蛮其体魄”就是强身健体．青少年的体质状况不仅关乎个人成长和家庭幸福，也关乎国家未来和民族希望，为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校在高二年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图．已知立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是（ ）
A．72.5%，5% B．78.75%，10% C．72.5%，10% D．78.75%，5%
7．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假定某种传染病的基本传染数R0＝3，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为（ ）
注：初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人再传染R0个人为第二轮感染．
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知函数f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题（共4小题）.
9．双曲线与双曲线（ ）
A．焦距相等 B．实轴长相等 C．离心率相等 D．渐近线相同
10．设{，，}构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．存在不全为零的实数x，y，z，使得
B．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得
C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有
D．存在另一个基底{，，}，使得+2+3＝+2+3
11．在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k（k∈N*）个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
12．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名．选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其中a为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点T（x0，f（x0）），则的值可能为（ ）（注：[x]表示不大于x的最大整数）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知平面向量，满足||＝1，||＝2，•（﹣）＝0，则，的夹角为 ．
14．航天飞机发射后的一段时间内，第t秒时的高度h（t）＝5t3+30t2+45t+4，其中h的单位为m，t的单位为s，则第2s末的瞬时速度为 m/s．
15．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m＝5，则经过 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为 ．
16．如图，等腰直角三角形ABC（C为直角顶点）所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，P为上异于A，B的动点，且在AB上射影为点H，AB＝2，则当三棱锥P﹣ACH的体积最大时，二面角P﹣BC﹣A的正切值为 ．
四.、解答题（共6小题）.
17．在①△ABC的外接圆的半径为1，②△ABC的面积为，③AB边上的高为1．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，c2＝3ab，____，求c的值．
18．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1，{bn}的前n项和为Sn，且a2＝S2，a4＝S3．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn＝an•bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，当l⊥x轴时，AB＝4，
（1）求p的值；
（2）若AF＝2BF，求直线l的方程．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，DA＝AB＝BC＝a，CD＝2a，PD⊥平面ABCD，PD＝2a．
（1）求PC与DB所成角的余弦值；
（2）设l是过点P且与AB平行的一条直线，点Q在直线l上，当PC与平面BQD所成角的正弦值最大时，求线段PQ的长．
21．已知函数，a∈R．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）存在最大值，且最大值不大于0，求a的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A，B，C，D是椭圆E上互异的四点（点A在第一象限），其中A，B关于原点对称，A，C关于x轴对称，且AB∥CD，求四边形ABCD面积的最大值．
参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|x2＜3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
解：∵，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}．
故选：C．
2．命题“∃x＞1，x2≥1”的否定是（ ）
A．∃x≤1，x2≥1 B．∃x≤1，x2＜1 C．∀x≤1，x2≥1 D．∀x＞1，x2＜1
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以，命题：“∃x＞1，x2≥1”的否定是∀x＞1，x2＜1；
故选：D．
3．已知，，，则（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
解：∵＞1，∈（0，1），＜0，
∴c＜b＜a．
故选：A．
4．“0＜a＜4”是“方程表示为椭圆”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据椭圆的标准方程满足的条件求出a的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
解：因为方程表示为椭圆，
所以，解得：0＜a＜4且a≠2，
“0＜a＜4”不能推出“0＜a＜4且a≠2”，不满足充分性，
“0＜a＜4且a≠2”能推出“0＜a＜4”，满足必要性，
所以“0＜a＜4”是“方程表示为椭圆”的必要不充分条件．
故选：C．
5．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），当x∈（0，1]时，f（x）＝ex，其中e是自然对数的底数，则f（5+ln2）＝（ ）
A．﹣2e B． C．2e D．
【分析】由已知可得f（x）的周期为4，则f（5+ln2）＝f（1+ln2）＝f（1﹣ln2），代入已知解析式中即可求得结论．
解：因为f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），
所以f（x+4）＝f[2﹣（x+4）]＝f（﹣x﹣2）＝﹣f（x+2）＝﹣f[2﹣（x+2）]＝﹣f（﹣x）＝f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
故f（5+ln2）＝f（1+ln2）＝f[2﹣（1+ln2）]＝f（1﹣ln2）＝f（ln）＝＝．
故选：D．
6．2020年4月21日，习近平总书记在学校考察调研时提出“文明其精神，野蛮其体魄”，“野蛮其体魄”就是强身健体．青少年的体质状况不仅关乎个人成长和家庭幸福，也关乎国家未来和民族希望，为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校在高二年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图．已知立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是（ ）
A．72.5%，5% B．78.75%，10% C．72.5%，10% D．78.75%，5%
【分析】由频率分布直方图求出立定跳远200cm以上的频率和立定跳远255cm以上的频率，由此根据图中的样本数据能估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率．
解：立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，
由频率分布直方图得立定跳远200cm以上的频率为：
1﹣（0.00750×20+0.01250××20）＝0.7875，
由频率分布直方图得立定跳远255cm以上的频率为：
0.00500×20＝0.1，
∴根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是78.75%和10%．
故选：B．
7．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假定某种传染病的基本传染数R0＝3，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为（ ）
注：初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人再传染R0个人为第二轮感染．
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由题意依次求出经过三轮传染后感染的总人数，则答案可求；分析可知，每一轮传染后的感染人数构成以4为首项，以4为公比的等比数列，写出等比数列的通项公式，求解不等式得答案．
解：初始一名感染者，经过一轮传染后，感染人数为1+R0＝4人，
经过二轮传染后，感染人数为4+4R0＝16人，
经过三轮传染后，感染人数为16+16R0＝64人；
则每一轮传染后的感染人数构成以4为首项，以4为公比的等比数列，设为{an}，
到第n轮传染后，感染人数为an＝4×4n﹣1＝4n，
由4n≤2000，得n≤＝≈5.5，
∴感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮．
故选：B．
8．已知函数f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数导数与单调性之间的关系，判断函数的单调性，以及递增速度的变化关系即可．
解：由f′（x）图象知当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，
则当x＝0时，为极大值，
当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）递增速度增加，函数增长速度越来越快，排除B，C，
当﹣1＜x＜0时，f′（x）递增速度减少，函数增长速度越来越慢，排除D，
故选：A．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．双曲线与双曲线（ ）
A．焦距相等 B．实轴长相等 C．离心率相等 D．渐近线相同
【分析】根据双曲线的几何性质，逐一写出对应的焦距、实轴长、离心率和渐近线，即可．
解：双曲线的焦距为10，实轴长为8，离心率为，渐近线方程为3x±4y＝0；
双曲线的焦距为10，实轴长为6，离心率为，渐近线方程为3x±4y＝0，
所以这两个双曲线的焦距相等，渐近线相同．
故选：AD．
10．设{，，}构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．存在不全为零的实数x，y，z，使得
B．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得
C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有
D．存在另一个基底{，，}，使得+2+3＝+2+3
【分析】根据空间向量基底概念分别判断即可．
解：对于A，若存在不全为零的实数x，y，z，使得，
{，，}不一定构成空间的一个基底，所以A错；
对于B，因为{，，}构成空间的一个基底，所以对空间任一向量，
总存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得，所以B对；
对于C，因为2＝（）+（），2＝（）﹣（），
所以，，不能与，构成空间另一个基底；
又因为设x，y，z∈R若x（）+y（）+z＝0
⇒（x+y）+（x﹣y）+z＝0⇒x＝y＝z＝0，所以与，构成空间另一个基底；
所以在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有，所以C对；
对于D，存在，根据向量运算几何意义，
+2+3表示以O为顶点，以1，2，3为相邻三边的长方体对角线，
绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底{，，}，
都满足+2+3＝+2+3，所以D对．
故选：BCD．
11．在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k（k∈N*）个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】插入k个数，求出新数列的通项公式关系，然后进行讨论求解即可．
解：插入k个数，则a1＝b1，a2＝bk+2，a3＝b2k+3，a4＝b3k+4，……
∴等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列．且下标是以1为首项，k+1为公差的等差数列，
则an＝b1+（n﹣1）（k﹣1），
∵b9是数列{an}的项，
∴令1+（n﹣1）（k﹣1）＝9，
当n＝2时，k＝7，当n＝3时，k＝3，
当n＝5时，k＝1，
故k的值可能是1，3，7，
故选：ABD．
12．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名．选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其中a为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点T（x0，f（x0）），则的值可能为（ ）（注：[x]表示不大于x的最大整数）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】求出导数，表示出切线，令t＝，可得（1﹣t）et+（1+t）e﹣t＝0，够着函数h（x）＝（1﹣x）e﹣x+（1+x）e﹣x，可得h（x）是偶函数，利用导数研究单调性，结合零点的存在性定理可得的﹣2＜＜﹣1或1＜＜2，即可求出答案．
解：f（x）＝a•，
由切线的斜率k＝，
因为f（x0）＝，
则切线方程为y﹣a•＝（﹣x0），
令t＝，则可得（1﹣t）et+（1+t）e﹣t＝0，
令h（x）＝（1﹣x）e﹣x+（1+x）e﹣x，
则t是h（x）的零点，
因为h（﹣x）＝（1+x）e﹣x+（1﹣x）ex＝h（x），
所以h（x）是偶函数，
当x＞0时，h（x）单调递减，
因为h（1）＝2e﹣1＞0，h（2）＝﹣e2+3e﹣2＜0，
所以h（x）在（1，2）存在零点t，由于偶函数的对称性h（x）在（﹣2，﹣1）也存在零点，
且根据单调性可得h（x）仅有这两个零点，
所以﹣2＜＜﹣1或1＜＜2，
所以[]＝﹣2或1，
故选：AC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知平面向量，满足||＝1，||＝2，•（﹣）＝0，则，的夹角为 ．
【分析】利用向量的数量积以及向量的夹角的求法，求解即可．
【解答】解；平面向量，满足||＝1，||＝2，•（﹣）＝0，
可得，可得＝1，
所以＝1，
cos＝，所以，的夹角为：．
故答案为：．
14．航天飞机发射后的一段时间内，第t秒时的高度h（t）＝5t3+30t2+45t+4，其中h的单位为m，t的单位为s，则第2s末的瞬时速度为 225 m/s．
【分析】利用已知的高度h（t），求出v（t）＝h'（t），令t＝2求解即可．
解：因为第t秒时的高度h（t）＝5t3+30t2+45t+4，
由导数的物理意义可知，v（t）＝h'（t）＝15t2+60t+45，
所以v（2）＝15×22+60×2+45＝225，
故第2s末的瞬时速度为225m/s．
故答案为：225．
15．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m＝5，则经过 5 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为 37 ．
【分析】根据冰雹猜想今年模拟运算即可．
解：当m＝5时，5→16→8→4→2→1共5步雹程变成1，
若m需经过5步雹程首次变成1则1←2←4←8←16←5或1←2←4←8←16←32两种情况，
即m＝5或m＝32，则5+32＝37，
故答案为：5，37．
16．如图，等腰直角三角形ABC（C为直角顶点）所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，P为上异于A，B的动点，且在AB上射影为点H，AB＝2，则当三棱锥P﹣ACH的体积最大时，二面角P﹣BC﹣A的正切值为 ．
【分析】令∠PAB＝θ，，用θ表示三棱锥P﹣ACH的体积，利用导数可得当时三棱锥P﹣ACH的体积最大，过H作HG⊥BC于G，可得∠PGH为二面角P﹣BC﹣A的平面角，解三角形PHG即可得二面角P﹣BC﹣A的正切值．
解：等腰直角三角形ABC中，AB＝2，则AC＝BC＝，
∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，CO＝1，
令∠PAB＝θ，，则AP＝2cosθ，PH＝2sinθcosθ，AH＝2cos2θ，
三棱锥P﹣ACH的体积V＝＝•1•2sinθcosθ＝，
令f（θ）＝•sinθ＝，，
f′（θ）＝＝＝，
∵，∴cos2θ+1＞0，
∴cos2θ＝，即当时，f（θ）取得最大值f（），此时三棱锥P﹣ACH的体积最大，
过H作HG⊥BC于G，可得∠PGH为二面角P﹣BC﹣A的平面角，
又PH＝，AH＝，BH＝，HG＝，
二面角P﹣BC﹣A的正切值为＝．
故答案为：．
四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①△ABC的外接圆的半径为1，②△ABC的面积为，③AB边上的高为1．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，c2＝3ab，____，求c的值．
【分析】由正弦定理化简已知等式可得c＝a，又c2＝3ab，可求a＝b，利用余弦定理可求cosC＝﹣，结合C∈（0，π），可求C＝，进而可得A＝B＝，
若选择①，由正弦定理可得c的值；
若选择②，由三角形的面积公式即可求解a的值，进而可求c的值；
若选择③，由已知利用三角形的面积公式即可解得b的值，进而可求a，c的值．
解：因为，
由正弦定理可得c＝a，
又因为c2＝3ab，
所以可得：a＝b，
所以cosC＝＝＝﹣，
由于C∈（0，π），
可得C＝，A＝B＝，
若选择①，由于△ABC的外接圆的半径为1，由正弦定理可得，可得c＝2sinC＝2×＝．
若选择②，由于△ABC的面积为＝absinC＝，解得a＝，可得c＝a＝3；
若选择③，由于AB边上的高为1，可求△ABC的面积S＝＝bcsinA＝，解得b＝2，可得a＝2，c＝＝2．
18．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1，{bn}的前n项和为Sn，且a2＝S2，a4＝S3．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn＝an•bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn．
【分析】（1）直接利用等差和等比数列的性质求出数列的通项公式；
（2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．
解：（1）设公差为d的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}的首项均为1，
且a2＝S2，a4＝S3．
所以，
解得d＝q＝2，
所以an＝2n﹣1，．
（2）设cn＝an•bn＝（2n﹣1）•2n﹣1，
所以①，
2②，
①﹣②得：，
＝（n﹣1）•2n+1+1．
19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，当l⊥x轴时，AB＝4，
（1）求p的值；
（2）若AF＝2BF，求直线l的方程．
【分析】（1）根据题意可得F（，0），当l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，与抛物线联立得A，B坐标，再计算|AB|＝2p＝4，即可得出答案．
（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与抛物线的方程可得的关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，
再结合AF＝2BF与焦半径公式可得x1＝2x2+1，进而解得x2，x1，故由x1+x2＝＝，解得k，进而可得答案．
解：（1）根据题意可得F（，0），
当l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，
联立直线l与抛物线y2＝2px，得y2＝2p×，
解得y＝±p，
所以A（，p），B（，﹣p），
所以|AB|＝2p＝4，所以p＝2．
（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
所以△＝（2k2+4）2﹣4k4＝16k2+16＞0，
所以x1+x2＝，x1x2＝1，
因为AF＝2BF，
根据焦半径公式可得AF＝x1+1＝2（x2+1）＝2BF，即x1＝2x2+1，
所以（2x2+1）x2＝1，即2x22+x2﹣1＝0，解得x2＝或x2＝﹣1（舍），
所以x1＝2x2+1＝2，
所以x1+x2＝＝，即k2＝8，解得k＝±2，
所以直线l的方程为：y＝±2（x﹣1）．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，DA＝AB＝BC＝a，CD＝2a，PD⊥平面ABCD，PD＝2a．
（1）求PC与DB所成角的余弦值；
（2）设l是过点P且与AB平行的一条直线，点Q在直线l上，当PC与平面BQD所成角的正弦值最大时，求线段PQ的长．
【分析】（1）把直线成角问题转化为两向量成角问题；（2）用向量法求解，把问题转化为求函数极值点问题．
解：过点P作直线l∥AB，在l上取点Q，连接QD，QB，取CD中点M，连接MA，
由题意可建如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
D（0，0，0），B（，，0），C（0，2a，0）P（0，0，2a）．
（1）＝（0，2a，﹣2a），＝（，，0），
设PC与DB所成角为θ，
cosθ＝＝＝，
故PC与DB所成角的余弦值为．
（2）设PQ长为t，则Q（0，t，2a），＝（0，t，2a），
设平面BQD法向量为＝（x，y，z），则•＝0，•＝0，
，令y＝a，＝（﹣a，a，﹣t），
设PC与平面BQD所成角大小为α，
则sinα＝＝＝，
设f（t）＝，f′（t）＝＝0，解得t＝4a，
所以当sinα达到最值时，t＝4a，
即当PC与平面BQD所成角的正弦值最大时，线段PQ的长为4a．
21．已知函数，a∈R．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）存在最大值，且最大值不大于0，求a的值．
【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤在（1，+∞）恒成立，求出a的范围即可；
（2）通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最大值，得到关于a的不等式，求出满足条件的a的值即可．
解：（1）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，
则f′（x）＝﹣≤0在（1，+∞）恒成立，
故a≤在（1，+∞）恒成立，
又x＞1时，＞，故只需a≤即可，
即a的取值范围是（﹣∞，]；
（2）f（x）的定义域是（0，+∞），
若函数f（x）存在最大值，则f（x）在定义域不单调，
∵f′（x）＝﹣，
当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上单调递减，无最值，不合题意，
当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝4a2，
故x∈（0，4a2）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（4a2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
故f（x）max＝f（4a2）＝2aln（2a）﹣2a+1，
由f（x）的最大值不大于0，则2aln（2a）﹣2a+1≤0，
令h（x）＝xlnx﹣x+1，（x＞0），则h（1）＝0，
又h′（x）＝lnx，令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故h（x）min＝h（1）＝0，
故h（2a）的最小值是0，此时a＝，
2aln（2a）﹣2a+1≤0，只能是2aln（2a）﹣2a+1＝0，此时a＝．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A，B，C，D是椭圆E上互异的四点（点A在第一象限），其中A，B关于原点对称，A，C关于x轴对称，且AB∥CD，求四边形ABCD面积的最大值．
【分析】（1）根据椭圆的离心率，经过点（1，），列方程组，解得a，b，进而可得答案．
（2）设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），则点B（﹣x1，﹣y1），C（x1，﹣y1），D（x2，y2），写出直线CD的方程为y+y1＝（x﹣x1），联立椭圆的方程，利用韦达定理可得S2＝32（1﹣y12）y16，令y12＝t∈（0，1），g（t）＝32（1﹣t）t3，利用导数求g（t）的最大值，进而可得四边形ABCD面积的最大值．
解：（1）由已知条件可得，
解得a＝，b＝1，c＝1，
所以椭圆的方程为+y2＝1．
（2）设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），则点B（﹣x1，﹣y1），C（x1，﹣y1），D（x2，y2），
直线AB的斜率为k＝，
因为AB∥CD，则直线CD的方程为y+y1＝（x﹣x1），
联立，得x2﹣x+4y12﹣1＝0，
由韦达定理可得x1+x2＝＝4x1y12，
因为|AC|＝2y1，
所以四边形ABCD的面积为S＝S△ABC+S△ACD＝|AC|•（2x1+x2﹣x1）＝×2y1×（x1+x2）＝4x1y13，
所以S2＝16x12y16＝16（2﹣2y12）y16＝32（1﹣y12）y16
令y12＝t∈（0，1），
g（t）＝32（1﹣t）t3，
则g′（t）＝96t2﹣128t3＝32t2（3﹣4t），
当0＜t＜时，g′（t）＞0，此时函数g（t）单调递增，
当＜t＜1时，g′（t）＜0，此时函数g（t）单调递减，
所以g（t）max＝g（）＝32××（）3＝，
所以Smax＝＝，
所以四边形ABCD的面积的最大值为．
2020-2021学年江苏省南通市海安市高二（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|x2＜3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
2．命题“∃x＞1，x2≥1”的否定是（ ）
A．∃x≤1，x2≥1 B．∃x≤1，x2＜1 C．∀x≤1，x2≥1 D．∀x＞1，x2＜1
3．已知，，，则（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c
4．“0＜a＜4”是“方程表示为椭圆”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），当x∈（0，1]时，f（x）＝ex，其中e是自然对数的底数，则f（5+ln2）＝（ ）
A．﹣2e B． C．2e D．
6．2020年4月21日，习近平总书记在学校考察调研时提出“文明其精神，野蛮其体魄”，“野蛮其体魄”就是强身健体．青少年的体质状况不仅关乎个人成长和家庭幸福，也关乎国家未来和民族希望，为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校在高二年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图．已知立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是（ ）
A．72.5%，5% B．78.75%，10% C．72.5%，10% D．78.75%，5%
7．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假定某种传染病的基本传染数R0＝3，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为（ ）
注：初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人再传染R0个人为第二轮感染．
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知函数f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题（共4小题）.
9．双曲线与双曲线（ ）
A．焦距相等 B．实轴长相等 C．离心率相等 D．渐近线相同
10．设{，，}构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．存在不全为零的实数x，y，z，使得
B．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得
C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有
D．存在另一个基底{，，}，使得+2+3＝+2+3
11．在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k（k∈N*）个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
12．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名．选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其中a为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点T（x0，f（x0）），则的值可能为（ ）（注：[x]表示不大于x的最大整数）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知平面向量，满足||＝1，||＝2，•（﹣）＝0，则，的夹角为 ．
14．航天飞机发射后的一段时间内，第t秒时的高度h（t）＝5t3+30t2+45t+4，其中h的单位为m，t的单位为s，则第2s末的瞬时速度为 m/s．
15．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m＝5，则经过 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为 ．
16．如图，等腰直角三角形ABC（C为直角顶点）所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，P为上异于A，B的动点，且在AB上射影为点H，AB＝2，则当三棱锥P﹣ACH的体积最大时，二面角P﹣BC﹣A的正切值为 ．
四.、解答题（共6小题）.
17．在①△ABC的外接圆的半径为1，②△ABC的面积为，③AB边上的高为1．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，c2＝3ab，____，求c的值．
18．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1，{bn}的前n项和为Sn，且a2＝S2，a4＝S3．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn＝an•bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，当l⊥x轴时，AB＝4，
（1）求p的值；
（2）若AF＝2BF，求直线l的方程．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，DA＝AB＝BC＝a，CD＝2a，PD⊥平面ABCD，PD＝2a．
（1）求PC与DB所成角的余弦值；
（2）设l是过点P且与AB平行的一条直线，点Q在直线l上，当PC与平面BQD所成角的正弦值最大时，求线段PQ的长．
21．已知函数，a∈R．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）存在最大值，且最大值不大于0，求a的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A，B，C，D是椭圆E上互异的四点（点A在第一象限），其中A，B关于原点对称，A，C关于x轴对称，且AB∥CD，求四边形ABCD面积的最大值．
参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|x2＜3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
解：∵，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}．
故选：C．
2．命题“∃x＞1，x2≥1”的否定是（ ）
A．∃x≤1，x2≥1 B．∃x≤1，x2＜1 C．∀x≤1，x2≥1 D．∀x＞1，x2＜1
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以，命题：“∃x＞1，x2≥1”的否定是∀x＞1，x2＜1；
故选：D．
3．已知，，，则（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
解：∵＞1，∈（0，1），＜0，
∴c＜b＜a．
故选：A．
4．“0＜a＜4”是“方程表示为椭圆”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据椭圆的标准方程满足的条件求出a的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
解：因为方程表示为椭圆，
所以，解得：0＜a＜4且a≠2，
“0＜a＜4”不能推出“0＜a＜4且a≠2”，不满足充分性，
“0＜a＜4且a≠2”能推出“0＜a＜4”，满足必要性，
所以“0＜a＜4”是“方程表示为椭圆”的必要不充分条件．
故选：C．
5．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），当x∈（0，1]时，f（x）＝ex，其中e是自然对数的底数，则f（5+ln2）＝（ ）
A．﹣2e B． C．2e D．
【分析】由已知可得f（x）的周期为4，则f（5+ln2）＝f（1+ln2）＝f（1﹣ln2），代入已知解析式中即可求得结论．
解：因为f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），
所以f（x+4）＝f[2﹣（x+4）]＝f（﹣x﹣2）＝﹣f（x+2）＝﹣f[2﹣（x+2）]＝﹣f（﹣x）＝f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
故f（5+ln2）＝f（1+ln2）＝f[2﹣（1+ln2）]＝f（1﹣ln2）＝f（ln）＝＝．
故选：D．
6．2020年4月21日，习近平总书记在学校考察调研时提出“文明其精神，野蛮其体魄”，“野蛮其体魄”就是强身健体．青少年的体质状况不仅关乎个人成长和家庭幸福，也关乎国家未来和民族希望，为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校在高二年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图．已知立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是（ ）
A．72.5%，5% B．78.75%，10% C．72.5%，10% D．78.75%，5%
【分析】由频率分布直方图求出立定跳远200cm以上的频率和立定跳远255cm以上的频率，由此根据图中的样本数据能估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率．
解：立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，
由频率分布直方图得立定跳远200cm以上的频率为：
1﹣（0.00750×20+0.01250××20）＝0.7875，
由频率分布直方图得立定跳远255cm以上的频率为：
0.00500×20＝0.1，
∴根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是78.75%和10%．
故选：B．
7．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假定某种传染病的基本传染数R0＝3，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为（ ）
注：初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人再传染R0个人为第二轮感染．
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由题意依次求出经过三轮传染后感染的总人数，则答案可求；分析可知，每一轮传染后的感染人数构成以4为首项，以4为公比的等比数列，写出等比数列的通项公式，求解不等式得答案．
解：初始一名感染者，经过一轮传染后，感染人数为1+R0＝4人，
经过二轮传染后，感染人数为4+4R0＝16人，
经过三轮传染后，感染人数为16+16R0＝64人；
则每一轮传染后的感染人数构成以4为首项，以4为公比的等比数列，设为{an}，
到第n轮传染后，感染人数为an＝4×4n﹣1＝4n，
由4n≤2000，得n≤＝≈5.5，
∴感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮．
故选：B．
8．已知函数f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数导数与单调性之间的关系，判断函数的单调性，以及递增速度的变化关系即可．
解：由f′（x）图象知当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，
则当x＝0时，为极大值，
当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）递增速度增加，函数增长速度越来越快，排除B，C，
当﹣1＜x＜0时，f′（x）递增速度减少，函数增长速度越来越慢，排除D，
故选：A．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．双曲线与双曲线（ ）
A．焦距相等 B．实轴长相等 C．离心率相等 D．渐近线相同
【分析】根据双曲线的几何性质，逐一写出对应的焦距、实轴长、离心率和渐近线，即可．
解：双曲线的焦距为10，实轴长为8，离心率为，渐近线方程为3x±4y＝0；
双曲线的焦距为10，实轴长为6，离心率为，渐近线方程为3x±4y＝0，
所以这两个双曲线的焦距相等，渐近线相同．
故选：AD．
10．设{，，}构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．存在不全为零的实数x，y，z，使得
B．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得
C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有
D．存在另一个基底{，，}，使得+2+3＝+2+3
【分析】根据空间向量基底概念分别判断即可．
解：对于A，若存在不全为零的实数x，y，z，使得，
{，，}不一定构成空间的一个基底，所以A错；
对于B，因为{，，}构成空间的一个基底，所以对空间任一向量，
总存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得，所以B对；
对于C，因为2＝（）+（），2＝（）﹣（），
所以，，不能与，构成空间另一个基底；
又因为设x，y，z∈R若x（）+y（）+z＝0
⇒（x+y）+（x﹣y）+z＝0⇒x＝y＝z＝0，所以与，构成空间另一个基底；
所以在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有，所以C对；
对于D，存在，根据向量运算几何意义，
+2+3表示以O为顶点，以1，2，3为相邻三边的长方体对角线，
绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底{，，}，
都满足+2+3＝+2+3，所以D对．
故选：BCD．
11．在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k（k∈N*）个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】插入k个数，求出新数列的通项公式关系，然后进行讨论求解即可．
解：插入k个数，则a1＝b1，a2＝bk+2，a3＝b2k+3，a4＝b3k+4，……
∴等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列．且下标是以1为首项，k+1为公差的等差数列，
则an＝b1+（n﹣1）（k﹣1），
∵b9是数列{an}的项，
∴令1+（n﹣1）（k﹣1）＝9，
当n＝2时，k＝7，当n＝3时，k＝3，
当n＝5时，k＝1，
故k的值可能是1，3，7，
故选：ABD．
12．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名．选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其中a为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点T（x0，f（x0）），则的值可能为（ ）（注：[x]表示不大于x的最大整数）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】求出导数，表示出切线，令t＝，可得（1﹣t）et+（1+t）e﹣t＝0，够着函数h（x）＝（1﹣x）e﹣x+（1+x）e﹣x，可得h（x）是偶函数，利用导数研究单调性，结合零点的存在性定理可得的﹣2＜＜﹣1或1＜＜2，即可求出答案．
解：f（x）＝a•，
由切线的斜率k＝，
因为f（x0）＝，
则切线方程为y﹣a•＝（﹣x0），
令t＝，则可得（1﹣t）et+（1+t）e﹣t＝0，
令h（x）＝（1﹣x）e﹣x+（1+x）e﹣x，
则t是h（x）的零点，
因为h（﹣x）＝（1+x）e﹣x+（1﹣x）ex＝h（x），
所以h（x）是偶函数，
当x＞0时，h（x）单调递减，
因为h（1）＝2e﹣1＞0，h（2）＝﹣e2+3e﹣2＜0，
所以h（x）在（1，2）存在零点t，由于偶函数的对称性h（x）在（﹣2，﹣1）也存在零点，
且根据单调性可得h（x）仅有这两个零点，
所以﹣2＜＜﹣1或1＜＜2，
所以[]＝﹣2或1，
故选：AC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知平面向量，满足||＝1，||＝2，•（﹣）＝0，则，的夹角为 ．
【分析】利用向量的数量积以及向量的夹角的求法，求解即可．
【解答】解；平面向量，满足||＝1，||＝2，•（﹣）＝0，
可得，可得＝1，
所以＝1，
cos＝，所以，的夹角为：．
故答案为：．
14．航天飞机发射后的一段时间内，第t秒时的高度h（t）＝5t3+30t2+45t+4，其中h的单位为m，t的单位为s，则第2s末的瞬时速度为 225 m/s．
【分析】利用已知的高度h（t），求出v（t）＝h'（t），令t＝2求解即可．
解：因为第t秒时的高度h（t）＝5t3+30t2+45t+4，
由导数的物理意义可知，v（t）＝h'（t）＝15t2+60t+45，
所以v（2）＝15×22+60×2+45＝225，
故第2s末的瞬时速度为225m/s．
故答案为：225．
15．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m＝5，则经过 5 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为 37 ．
【分析】根据冰雹猜想今年模拟运算即可．
解：当m＝5时，5→16→8→4→2→1共5步雹程变成1，
若m需经过5步雹程首次变成1则1←2←4←8←16←5或1←2←4←8←16←32两种情况，
即m＝5或m＝32，则5+32＝37，
故答案为：5，37．
16．如图，等腰直角三角形ABC（C为直角顶点）所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，P为上异于A，B的动点，且在AB上射影为点H，AB＝2，则当三棱锥P﹣ACH的体积最大时，二面角P﹣BC﹣A的正切值为 ．
【分析】令∠PAB＝θ，，用θ表示三棱锥P﹣ACH的体积，利用导数可得当时三棱锥P﹣ACH的体积最大，过H作HG⊥BC于G，可得∠PGH为二面角P﹣BC﹣A的平面角，解三角形PHG即可得二面角P﹣BC﹣A的正切值．
解：等腰直角三角形ABC中，AB＝2，则AC＝BC＝，
∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，CO＝1，
令∠PAB＝θ，，则AP＝2cosθ，PH＝2sinθcosθ，AH＝2cos2θ，
三棱锥P﹣ACH的体积V＝＝•1•2sinθcosθ＝，
令f（θ）＝•sinθ＝，，
f′（θ）＝＝＝，
∵，∴cos2θ+1＞0，
∴cos2θ＝，即当时，f（θ）取得最大值f（），此时三棱锥P﹣ACH的体积最大，
过H作HG⊥BC于G，可得∠PGH为二面角P﹣BC﹣A的平面角，
又PH＝，AH＝，BH＝，HG＝，
二面角P﹣BC﹣A的正切值为＝．
故答案为：．
四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①△ABC的外接圆的半径为1，②△ABC的面积为，③AB边上的高为1．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，c2＝3ab，____，求c的值．
【分析】由正弦定理化简已知等式可得c＝a，又c2＝3ab，可求a＝b，利用余弦定理可求cosC＝﹣，结合C∈（0，π），可求C＝，进而可得A＝B＝，
若选择①，由正弦定理可得c的值；
若选择②，由三角形的面积公式即可求解a的值，进而可求c的值；
若选择③，由已知利用三角形的面积公式即可解得b的值，进而可求a，c的值．
解：因为，
由正弦定理可得c＝a，
又因为c2＝3ab，
所以可得：a＝b，
所以cosC＝＝＝﹣，
由于C∈（0，π），
可得C＝，A＝B＝，
若选择①，由于△ABC的外接圆的半径为1，由正弦定理可得，可得c＝2sinC＝2×＝．
若选择②，由于△ABC的面积为＝absinC＝，解得a＝，可得c＝a＝3；
若选择③，由于AB边上的高为1，可求△ABC的面积S＝＝bcsinA＝，解得b＝2，可得a＝2，c＝＝2．
18．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1，{bn}的前n项和为Sn，且a2＝S2，a4＝S3．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn＝an•bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn．
【分析】（1）直接利用等差和等比数列的性质求出数列的通项公式；
（2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．
解：（1）设公差为d的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}的首项均为1，
且a2＝S2，a4＝S3．
所以，
解得d＝q＝2，
所以an＝2n﹣1，．
（2）设cn＝an•bn＝（2n﹣1）•2n﹣1，
所以①，
2②，
①﹣②得：，
＝（n﹣1）•2n+1+1．
19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，当l⊥x轴时，AB＝4，
（1）求p的值；
（2）若AF＝2BF，求直线l的方程．
【分析】（1）根据题意可得F（，0），当l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，与抛物线联立得A，B坐标，再计算|AB|＝2p＝4，即可得出答案．
（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与抛物线的方程可得的关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，
再结合AF＝2BF与焦半径公式可得x1＝2x2+1，进而解得x2，x1，故由x1+x2＝＝，解得k，进而可得答案．
解：（1）根据题意可得F（，0），
当l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，
联立直线l与抛物线y2＝2px，得y2＝2p×，
解得y＝±p，
所以A（，p），B（，﹣p），
所以|AB|＝2p＝4，所以p＝2．
（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
所以△＝（2k2+4）2﹣4k4＝16k2+16＞0，
所以x1+x2＝，x1x2＝1，
因为AF＝2BF，
根据焦半径公式可得AF＝x1+1＝2（x2+1）＝2BF，即x1＝2x2+1，
所以（2x2+1）x2＝1，即2x22+x2﹣1＝0，解得x2＝或x2＝﹣1（舍），
所以x1＝2x2+1＝2，
所以x1+x2＝＝，即k2＝8，解得k＝±2，
所以直线l的方程为：y＝±2（x﹣1）．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，DA＝AB＝BC＝a，CD＝2a，PD⊥平面ABCD，PD＝2a．
（1）求PC与DB所成角的余弦值；
（2）设l是过点P且与AB平行的一条直线，点Q在直线l上，当PC与平面BQD所成角的正弦值最大时，求线段PQ的长．
【分析】（1）把直线成角问题转化为两向量成角问题；（2）用向量法求解，把问题转化为求函数极值点问题．
解：过点P作直线l∥AB，在l上取点Q，连接QD，QB，取CD中点M，连接MA，
由题意可建如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
D（0，0，0），B（，，0），C（0，2a，0）P（0，0，2a）．
（1）＝（0，2a，﹣2a），＝（，，0），
设PC与DB所成角为θ，
cosθ＝＝＝，
故PC与DB所成角的余弦值为．
（2）设PQ长为t，则Q（0，t，2a），＝（0，t，2a），
设平面BQD法向量为＝（x，y，z），则•＝0，•＝0，
，令y＝a，＝（﹣a，a，﹣t），
设PC与平面BQD所成角大小为α，
则sinα＝＝＝，
设f（t）＝，f′（t）＝＝0，解得t＝4a，
所以当sinα达到最值时，t＝4a，
即当PC与平面BQD所成角的正弦值最大时，线段PQ的长为4a．
21．已知函数，a∈R．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）存在最大值，且最大值不大于0，求a的值．
【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤在（1，+∞）恒成立，求出a的范围即可；
（2）通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最大值，得到关于a的不等式，求出满足条件的a的值即可．
解：（1）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，
则f′（x）＝﹣≤0在（1，+∞）恒成立，
故a≤在（1，+∞）恒成立，
又x＞1时，＞，故只需a≤即可，
即a的取值范围是（﹣∞，]；
（2）f（x）的定义域是（0，+∞），
若函数f（x）存在最大值，则f（x）在定义域不单调，
∵f′（x）＝﹣，
当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上单调递减，无最值，不合题意，
当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝4a2，
故x∈（0，4a2）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（4a2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
故f（x）max＝f（4a2）＝2aln（2a）﹣2a+1，
由f（x）的最大值不大于0，则2aln（2a）﹣2a+1≤0，
令h（x）＝xlnx﹣x+1，（x＞0），则h（1）＝0，
又h′（x）＝lnx，令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故h（x）min＝h（1）＝0，
故h（2a）的最小值是0，此时a＝，
2aln（2a）﹣2a+1≤0，只能是2aln（2a）﹣2a+1＝0，此时a＝．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A，B，C，D是椭圆E上互异的四点（点A在第一象限），其中A，B关于原点对称，A，C关于x轴对称，且AB∥CD，求四边形ABCD面积的最大值．
【分析】（1）根据椭圆的离心率，经过点（1，），列方程组，解得a，b，进而可得答案．
（2）设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），则点B（﹣x1，﹣y1），C（x1，﹣y1），D（x2，y2），写出直线CD的方程为y+y1＝（x﹣x1），联立椭圆的方程，利用韦达定理可得S2＝32（1﹣y12）y16，令y12＝t∈（0，1），g（t）＝32（1﹣t）t3，利用导数求g（t）的最大值，进而可得四边形ABCD面积的最大值．
解：（1）由已知条件可得，
解得a＝，b＝1，c＝1，
所以椭圆的方程为+y2＝1．
（2）设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），则点B（﹣x1，﹣y1），C（x1，﹣y1），D（x2，y2），
直线AB的斜率为k＝，
因为AB∥CD，则直线CD的方程为y+y1＝（x﹣x1），
联立，得x2﹣x+4y12﹣1＝0，
由韦达定理可得x1+x2＝＝4x1y12，
因为|AC|＝2y1，
所以四边形ABCD的面积为S＝S△ABC+S△ACD＝|AC|•（2x1+x2﹣x1）＝×2y1×（x1+x2）＝4x1y13，
所以S2＝16x12y16＝16（2﹣2y12）y16＝32（1﹣y12）y16
令y12＝t∈（0，1），
g（t）＝32（1﹣t）t3，
则g′（t）＝96t2﹣128t3＝32t2（3﹣4t），
当0＜t＜时，g′（t）＞0，此时函数g（t）单调递增，
当＜t＜1时，g′（t）＜0，此时函数g（t）单调递减，
所以g（t）max＝g（）＝32××（）3＝，
所以Smax＝＝，
所以四边形ABCD的面积的最大值为．
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