江苏省南京市江宁区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

江宁区2020-2021上学期高二年级期末考试试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1.抛物线的焦点坐标是 （   ）

A．           B．          C．           D．

2．已知，则（    ）

A． B． C．－ D．－

3. 直线与圆的位置关系是（    ）

A．直线过圆心 B．相切 C．相离 D．相交

4.函数的图象大致为(     )   

5.设，则“”是“”的

A．充分非必要条件        B．必要非充分条件

C．充要条件              D．既非充分也非必要条件

6.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十六，要将第八数来言”．题意是：把992斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（    ）

A. 174斤 B. 184斤 C. 180斤 D. 181斤

7.已知，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

8.已知函数的定义域为，且，若方程有两个不同的实根，则的取值范围为(     ) 

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

9．先将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,再将其向左平移得到函数 的图象,则函数的对称轴方程可能是(    )

A． B． C． D．

10.等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可能为(     )

11.在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，，则下列说法正确的是（      ）

A． B．数列是等比数列

C． D．数列是公差为2的等差数列

12.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是

离心率                 的最小值为0

面积的最大值为     以线段为直径的圆与直线相切

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上

13.一元二次不等式的解集为___________.

14.已知函数，则该函数的对称轴方程为__________.

15．记n项正项数列为，其前n项积为，定义为“相对积叠加和”，如果有2020项的正项数列的“相对积叠加和”为2020，则有2021项的数列的“相对积叠加和”为        .

16. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且,,则该三棱锥的体积为         ，球的表面积为            .

四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定②②区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分10分）已知集合______
    若“”是“”的必要不充分条件，给出如下三个条件：

   请从中任选一个补充到横线上。若问题中的a存在，求出a的取值范围；

18.（本小题满分12分）

已知向量，，记

（1）若，求的值；

（2）在锐角,中  角A,B,C的对边分别是且满足，求的取值范围．




 

19.（本小题满分12分）如图，在正方体中，E为的中点．
（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．





 

20.（本小题满分12分）新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为180万元，每生产千件需另投入成本为.当年产量不足40千件时，（万元）.当年产量不小于40千件时，（万元）.每千件商品售价为30万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）该公司决定将此药品所获利润的用来捐赠防疫物资.当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？

21.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和，且，

（1）求

（2）设设的前项和为，若恒成立，求的取值范围；

22.（本小题满分12分）已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线交椭圆于两点.

（ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值；

（ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值.

江宁区2020~2021上学期高二年级期末考试试卷答案

一、单项选择题：

1.D    2.D   3.B     4. A    5.A    6.C     7.D    8.A

二、多项选择题：

9.AB    10.AB    11.ABC     12.BD

三、填空题：

13.  14.     15.4041    16. 10,

四、解答题：

17.（本小题满分10分）

解：若填

.................................................3分
，

若“”是“”的必要不充分条件，

则集合且..............................................6分

则

即a的取值范围为。............................................10分
若填

.................................................3分
，
若“”是“”的必要条件，

则集合且..............................................6分

则    .............................................8分

此时，故“”是“”的充要条件，不满足题意，
故无解．..........................................................10分

若填

.................................................3分
，
若“”是“”的必要条件，..................................6分

则，方程组无解．
即不存在a满足“”是“”的必要不充分条件．...............10分

18. （本小题满分12分）

解：记
，

由，得，.......................................2分

；...................................4分

，
由正弦定理得：，
，...................................5分

又，
，

，，
又B为锐角，，................................................8分

则，
，
，，
，
，.....................................................10分
，

的取值范围是..........................................12分
 

19.（本小题满分12分）

解：1由正方体的性质可知，中，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面E.......................4分
2以A为原点，AD、AB、分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为a，则0，，0，，0，，a，，
，，，........8分
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，..................10分
设直线与平面所成角为，

则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．.............................12分

20.（本小题满分12分）

解：（1）由题可得：

.......................................................................5分

（2）①当时，

∴当时，取最大值，（万元）

②当时，

令，因为时，在上单调递增；

∴，

∴

综合①②当

此时可以捐赠（万元）...............................11分

答：当年生产40千件时利润最大，此时可捐赠18万元物资款。............12分

21.（本小题满分12分）

解：Ⅰ设等差数列的公差为d，
由，可得，
又，所以，
又由，得，
所以，........................................4分
所以；..............................................6分
Ⅱ由，得，......................8分
所以，......10分
因为，所以，
而恒成立，故．
故m的取值范围为..............................................12分

22. （本小题满分12分）

（1）由题意知：，，

又，则以为圆心且过的圆的半径为，

故，所以椭圆的标准方程为：..............4分

（2）（ⅰ）设直线的方程为：，

将代入得：，

所以且，

故.

又，

点到直线的距离，

所以，

等号当仅当时取，即当时，的面积取最大值为....8分

（ⅱ）显然直线的斜率一定存在，

设直线的方程为：，，

由（ⅰ）知：

所以，

所以，

解得，，直线过定点或，

所以D在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于，

所以存在定点或，使得为定值..................12分