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    20202021学年度第学期期末考试

    高二数学参考答案

    一、单选题:

    1.【答案】B   2【答案】C    3.【答案】A    4 【答案】D   5.【答案】C

    6.【答案】B   7.【答案】B     8.【答案】B
     二、多选题

     9.【答案】CD  10.【答案】AB  11.【答案】BCD  12.【答案】BD

    、填空题:

    13.【答案】  14 【答案】  15【答案】  16.【答案】4

    四、解答题:

    17. 数列{an}为递增的等比数列,且a2+a312数列{an}满足Sn+12Sn2数列{an}满足这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,再完成解答.

    问题:设数列{an}的前n项和为Sn_____

    1)求数列{an}的通项公式;

    2)设bn ,求数列{bn}的前n项和Tn

    解:(1  数列{an}为递增的等比数列,且a2+a312

    设等比数列{an}的公比为q,(q0),

    a1q1+q)=2q1+q)=12,解得q23舍去),  ……… 3

    所以an2n                                   ………………5

      数列{an}满足Sn+12Sn2

    可得Sn+1+22Sn+2),数列{Sn+2}是首项为S1+24

    公比为2的等比数列,

    Sn+22n+1,即为Sn2n+12

    n2时,anSnSn12n+122n+22n    ……………… 3

    a12也满足上式,

    所以an2nnN*                           ……………… 5

      2na1+2n1a2++2annan+11),

    n2时,2n1a1+2n2a2++2an1=(n1an2),

    由(2×21)可得2annan+12n1an,即an+12an

    又因为a12a22a14,也满足上式,          ……………… 3

    故数列{an}为首项为2,公比为2的等比数列,

    所以an2nnN*                            ……………… 5

    2)由(1)可得an2nbn

             ……………… 7

    所以

         

                               ……………… 10

    18. 已知椭圆和直线.

    1)当椭圆与直线有公共点时,求实数的取值范围;

    2)设直线与椭圆相交于两点,求的最大值.

    1)联立,得.

    因为椭圆与直线有公共点,

    所以                     ……………… 4

    解得.所以实数的取值范围是  ……………… 6

    2)设,结合(1)的方程,有

    所以

             ……………… 10

    .                 ……………… 12

    有(1)知,若椭圆与直线有两个交点,则,所以.

    所以当时,取得最大值.

    19. 已知等差数列{an}的公差为正数.a11,其前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,b12,且b2S212b2+S310

    1)求数列{an}{bn}的通项公式;

    2)求数列{anbn}的前n项和Tn

    3)设 nN*,求数列 的前2n项和.

    解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则

    等比数列{bn}的公比为q

    因为a11b12,且b2S212b2+S310

    可得2q2+d)=122q+3+3d10

    解得q2d1                                   ……………… 2

    an1+n1nbn2n                          ……………… 4

    2anbnn2n

    n项和Tn12+222+323++n2n

    2Tn122+223+324++n2n+1              ……………… 6

    两式相减可得Tn

                   

    化简可得Tn2+n12n+1                      ……………… 8

    3)由 可得  

    则前n项和

                      ……………… 10

    则数列 的前2n项和为             ……………… 12

     

    20. 如图,有一个半圆形场馆,政府计划改建为一个方舱医院,改建后的场馆由病床区(矩形ABCD)及左右两侧两个大小相同的休闲区(矩形AHLJBEFG)组成,其中半圆的圆心为O,半径为50米,矩形BEFG的一边BGBC上,矩形AHLJ的一边AHAD上,点CDFI在圆周上,EJ在直径上,且EOF,设BOC.若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元,记病床区及休闲区的总造价为(单位:万元).

    1)求的表达式;

    2)为进行改建预算,当为何值时,总造价最大?并求出总造价的最大值.

    解:(1)由题意半径为50米,显然R50,如图示,由图形可知:,

    在矩形ABCD中,BCRsinθOBRcosθ

    所以游泳池面积为S矩形ABCD2OBBC2R2sinθcosθR2sin2θ

    在矩形BEFG中,EFRsinBERcosRcosθRcosθ),

    所以休息区面积为:2S矩形BEFG2BEEFR2cosθ),

    由每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元,

    fθ)=tR2sin2θ+2tR2cosθ

    fθ)=×502sin2θ2cosθ+)(θ); ………… 6

    2)由(1)得1252cos2θ+2sinθ

    2502sin2θ+sinθ)=2502sinθ)(sinθ+1),

    θ∈),sinθ∈1),

    0,解得sinθθ∈),θ

    θfθ)的变化如下:

    θ

    +

    0

    fθ

    递增

    极大值

    极小值

    θ时,总造价fθ)取极大值1+2),

    即当θ时,总造价的最大值是(1+2)万.   ……………… 12

     

    21. 已知椭圆,右顶点,上顶点为B,左右焦点分别为,且,过点A作斜率为的直线l交椭圆于点D,交y轴于点E.

    1)求椭圆C的方程;

    2)设PAD的中点,过点E且与OP垂直的直线交OP于点G判断直线是否过定点?过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

    :(1)由题意得:

    因为在中,

    所以

    所以,所以

    所以

    所以椭圆方程为.                           ……………… 4

    2)设直线*

    ,则,所以

    *代入,整理得

    ,则

    所以      ………………6

    ,因为的中点,

    所以

    所以                         ……………… 8

    直线过定点,则,则

    所以

    对任意的都成立,

    所以,所以

    所以.

    所以直线过定点.                         ……………… 12

    22. 已知函数fx)=alnx+x2a+2x,其中aR

    1)若曲线yfx)在点(2f2))处的切线的斜率为1,求a的值;

    2)讨论函数fx)的单调性;

    3)若函数fx)的导函数fx)在区间(1e)上存在零点,证明:当x1e)时,fx)>e2

    解:(1)根据条件

    则当x2时,        ……………… 1

    解得a2                                          ………………2

    2)函数fx)的定义域是(0+),

                     ……………… 3

    a0时,2xa0,令0,解得:x1,令0

    解得:0x1

    fx)在(01)递减,在(1+)递增,

    0a2时,令0,解得:x10x

    0,解得:x1

    fx)在(0)递增,在(1)递减,在(1+)递增,

    a2时,0fx)在(0+)递增,

    a2时,令0,解得:x0x1,令0,解得:1x

    fx)在(01)递增,在(1)递减,在(+)递增;

    综上a0时,fx)在(01)递减,在(1+)递增,……………… 6

    0a2时,fx)在(0)递增,在(1)递减,在(1+)递增,

    a2时,fx)在(0+)递增,

    a2时,fx)在(01)递增,在(1)递减,在(+)递增;

    3)证明:因为

    又因为导函数在(1e)上存在零点,

    所以0在(1e)上有解,则有1e,即2a2e

    且当1x时,0fx)单调递减,当xe时,0

    fx)单调递增,

    所以fxf)=aln+a+2)=alna1+ln2a

    gx)=xlnx1+ln2x2x2e

    lnx+11+ln2)=lnxln2

    ,所以在(22e)上单调递减,

    所以gx)在(22e)上单调递减,

    g2e)=2eln2ee22e1+ln2)=e2g2),

    所以gx)>e2

    则根据不等式的传递性可得,当x1e)时,fx)>e2…………… 12

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