江苏省南通市如东县2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题（图片版）

2020～2021学年度第一学期期末考试

高二数学参考答案

一、单选题：

1．【答案】B   2．【答案】C    3．【答案】A    4． 【答案】D   5．【答案】C

6．【答案】B   7.【答案】B     8．【答案】B
 二、多选题

 9．【答案】CD  10．【答案】AB  11.【答案】BCD  12．【答案】BD

三、填空题：

13．【答案】  14． 【答案】  15．【答案】  16．【答案】4，

四、解答题：

17. 在①数列{an}为递增的等比数列，且a2+a3＝12，②数列{an}满足Sn+1﹣2Sn＝2，③数列{an}满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．

问题：设数列{an}的前n项和为Sn，，_____．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn．

解：（1）选①  数列{an}为递增的等比数列，且a2+a3＝12，

设等比数列{an}的公比为q，（q＞0），

则a1q（1+q）＝2q（1+q）＝12，解得q＝2（﹣3舍去），  ……… 3分

所以an＝2n；                                   ………………5分

选②  数列{an}满足Sn+1﹣2Sn＝2，

可得Sn+1+2＝2（Sn+2），数列{Sn+2}是首项为S1+2＝4，

公比为2的等比数列，

则Sn+2＝2n+1，即为Sn＝2n+1﹣2，

当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，    ……………… 3分

a1＝2也满足上式，

所以an＝2n，n∈N*；                           ……………… 5分

选③  2na1+2n﹣1a2+…+2an＝nan+1（1），

当n≥2时，2n﹣1a1+2n﹣2a2+…+2an﹣1＝（n﹣1）an（2），

由（2）×2﹣（1）可得2an＝nan+1﹣2（n﹣1）an，即an+1＝2an，

又因为a1＝2，a2＝2a1＝4，也满足上式，          ……………… 3分

故数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，

所以an＝2n，n∈N*；                            ……………… 5分

（2）由（1）可得an＝2n，bn＝

         ……………… 7分

所以

                           ……………… 10分

18. 已知椭圆和直线.

（1）当椭圆与直线有公共点时，求实数的取值范围；

（2）设直线与椭圆相交于两点，求的最大值.

解：（1）联立，得.

因为椭圆与直线有公共点，

所以，                     ……………… 4分

解得.所以实数的取值范围是，  ……………… 6分

（2）设，结合（1）的方程，有，

所以

         ……………… 10分

.                 ……………… 12分

有（1）知，若椭圆与直线有两个交点，则，所以.

所以当时，取得最大值.

19. 已知等差数列{an}的公差为正数．a1＝1，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．

（3）设 ，n∈N*，求数列 的前2n项和．

解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则，

等比数列{bn}的公比为q，

因为a1＝1，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10，

可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10，

解得q＝2，d＝1，                                   ……………… 2分

则an＝1+n﹣1＝n，bn＝2n；                          ……………… 4分

（2）an•bn＝n•2n，

前n项和Tn＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，

2Tn＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，              ……………… 6分

两式相减可得﹣Tn

化简可得Tn＝2+（n﹣1）•2n+1；                      ……………… 8分

（3）由 可得  

则前n项和

                  ……………… 10分

则数列 的前2n项和为．             ……………… 12分

20. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形ABCD）及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形AHLJ和BEFG）组成，其中半圆的圆心为O，半径为50米，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHLJ的一边AH在AD上，点C，D，F，I在圆周上，E，J在直径上，且∠EOF＝，设∠BOC＝．若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，记病床区及休闲区的总造价为（单位：万元）．

（1）求的表达式；

（2）为进行改建预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．

解：（1）由题意半径为50米，显然R＝50，如图示，由图形可知：，

在矩形ABCD中，BC＝Rsinθ，OB＝Rcosθ，

所以游泳池面积为S矩形ABCD＝2OB•BC＝2R2sinθcosθ＝R2sin2θ．

在矩形BEFG中，EF＝Rsin＝，BE＝Rcos﹣Rcosθ＝R（﹣cosθ），

所以休息区面积为：2S矩形BEFG＝2BE•EF＝R2（﹣cosθ），

由每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，

则f（θ）＝t•R2sin2θ+2t•R2（﹣cosθ）

即f（θ）＝×502（sin2θ﹣2cosθ+）（＜θ＜）； ………… 6分

（2）由（1）得＝125（2cos2θ+2sinθ）

＝250（﹣2sin2θ+sinθ）＝﹣250（2sinθ﹣）（sinθ+1），

∵θ∈（，），∴sinθ∈（，1），

令＝0，解得sinθ＝，∵θ∈（，），∴θ＝，

θ，，f（θ）的变化如下：

故θ＝时，总造价f（θ）取极大值（1+2），

即当θ＝时，总造价的最大值是(1+2）万．   ……………… 12分

21. 已知椭圆，右顶点，上顶点为B，左右焦点分别为，，且，过点A作斜率为的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设P为AD的中点，过点E且与OP垂直的直线交OP于点G，判断直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.

解：（1）由题意得：，

因为在中，，

所以，，，

所以，所以，

所以，，

所以椭圆方程为.                           ……………… 4分

（2）设直线，*

令，则，所以，

将*代入，整理得，

设，则，

所以，，      ………………6分

设，因为为的中点，

所以，，

所以，                         ……………… 8分

设直线过定点，则，则，，

所以，

即对任意的都成立，

所以，所以，

所以.

所以直线过定点.                         ……………… 12分

22. 已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．

（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；

（2）讨论函数f（x）的单调性；

（3）若函数f（x）的导函数f′（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．

解：（1）根据条件，

则当x＝2时，，        ……………… 1分

解得a＝2；                                          ………………2分

（2）函数f（x）的定义域是（0，+∞），

，                 ……………… 3分

①a≤0时，2x﹣a＞0，令＞0，解得：x＞1，令＜0，

解得：0＜x＜1，

故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

②0＜a＜2时，令＞0，解得：x＞1或0＜x＜，

令＜0，解得：＜x＜1，

故f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，

③a＝2时，≥0，f（x）在（0，+∞）递增，

④a＞2时，令＞0，解得：x＞或0＜x＜1，令＜0，解得：1＜x＜，

故f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+∞）递增；

综上a≤0时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，……………… 6分

0＜a＜2时，f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，

a＝2时，f（x）在（0，+∞）递增，

a＞2时，f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+∞）递增；

（3）证明：因为，

又因为导函数在（1，e）上存在零点，

所以＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，

且当1＜x＜时，＜0，f（x）单调递减，当＜x＜e时，＞0，

f（x）单调递增，

所以f（x）≥f（）＝aln+﹣（a+2）＝alna﹣﹣（1+ln2）a，

设g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，

则＝lnx+1﹣﹣（1+ln2）＝lnx﹣﹣ln2，

则，所以在（2，2e）上单调递减，

所以g（x）在（2，2e）上单调递减，

则g（2e）＝2eln2e﹣e2﹣2e（1+ln2）＝﹣e2＜g（2），

所以g（x）＞﹣e2，

则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．…………… 12分