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江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷 （解析版）
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这是一份江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷 （解析版），共26页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．命题“∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立”的否定为（ ）
A．∀a，b＞0，和至少有一个成立
B．∀a，b＞0，和都不成立
C．∃a，b＞0，和至少有一个成立
D．∃a，b＞0，和都不成立
2．已知a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将A房产中介公司2010﹣2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010﹣2013年，2014﹣2016年，2017﹣2019年的数据分别建立回归直线方程、、，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，若直线EF、GH相交于点P，则（ ）
A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面ABD内 D．点P必在平面BCD内
5．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1500nm（1nm＝10﹣9m），某次检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知A，B分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ交双曲线于P，Q两点（点P，Q异于A，B），则直线AP，BQ的斜率之比kAP：kBQ＝（ ）
A． B．﹣3 C． D．
7．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则的取值范围为（ ）
A．[﹣1，0] B． C． D．
8．在矩形ABCD中，AB＝4，，点G，H分别为直线BC，CD上的动点，AH交DG于点P．若，（0＜λ＜1），则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
二、多项选择题（共4小题）.
9．对下列命题的否定说法正确是（ ）
A．P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0
B．P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∃x∈R，x2＞﹣1
C．P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1
D．P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝0
10．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}．给出下列说法：
A．P（A）＝P（B）＝P（C）；B．P（AB）＝P（AC）＝P（BC）；C.；D.．
其中正确的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E，F分别在棱CC1，D1C1上，且C1E＝2EC，D1F＝2FC1，下列命题：
A．异面直线BE，CF所成角的余弦值为；
B．过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；
C．三棱锥B1﹣BEF的体积为；
D．过B1作平面α，使得AE⊥α，则平面α截正方体所得截面面积为．
其中所有真命题为（ ）
A．A B．B C．C D．D
12．已知椭圆M：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（共4小题）.
13．已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围是 ．
14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号 ．
（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 2583 92 12 06 76
63 01 63 78 59 1695 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 0744 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 4299 66 0279 54
15．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝1，，，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长度为 ．
四、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知命题p：方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根；命题q：2m+1＜4．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
18．有编号为1，2，3的三只小球，和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立．
（1）求三只小球恰在两个盒子中的概率；
（2）求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率．
19．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝2x﹣2，直线l与E的交点为A，B．同时|AF|+|BF|＝8，直线m∥l．直线m与E的交点为C、D，与y轴交于点P．
（I）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）若，求|CD|的长．
20．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用．个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．
新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：
旧个税税率表（税起征点3500元）
新个税税率表（个税起征点5000元）
缴税级数
每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点
税率（%）
每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除
税率（%）
1
不超过1500元部分
3
不超过3000元部分
3
2
超过1500元至4500元部分
10
超过3000元至12000元部分
10
3
超过4500元至9000元的部分
20
超过12000元至25000元的部分
20
4
超过9000元至35000元的部分
25
超过25000元至35000元的部分
25
5
超过35000元至55000元部分
30
超过35000元至55000元部分
30
…
…
…
…
…
随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2021年的人均月收入24000元．统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2：1：1：1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除．新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．
假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入．根据样本估计总体的思想，解决如下问题：
（1）求该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率．
（2）根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？
21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA垂直于底面ABCD，AB＝AC＝AD＝3，2AM＝MD，N为PB的中点，AD平行于BC，MN平行于面PCD，PA＝2．
（1）求BC的长；
（2）求二面角N﹣PM﹣D的余弦值．
22．已知椭圆：C1：（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．命题“∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立”的否定为（ ）
A．∀a，b＞0，和至少有一个成立
B．∀a，b＞0，和都不成立
C．∃a，b＞0，和至少有一个成立
D．∃a，b＞0，和都不成立
解：根据含有量词的命题否定可知，
∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立的否定为：
∃a，b＞0，和都不成立．
故选：D．
2．已知a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由a+b＜0，可得a≤0，b＜0或a＞0，b＜﹣a，
当a≤0，b＜0时，可得a|a|+b|b|＜0，
当a＞0，b＜﹣a时，可得a|a|+b|b|＜0，
故“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的充分条件，
由a|a|+b|b|＜0，可得当a≤0时，b＜0，或b＜﹣a，得a+b＜0；
当a＞0时，可得b＜﹣a，得a+b＜0，
故“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的必要条件，
∴a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的充分必要条件，
故选：C．
3．自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将A房产中介公司2010﹣2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010﹣2013年，2014﹣2016年，2017﹣2019年的数据分别建立回归直线方程、、，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
解：回归直线分布在散点图附近，表示回归直线的斜率，表示回归直线在y轴上的截距，
由题意可知，2010﹣2013年，y随x的增加而迅速增加，
2014﹣2016年，y随x的增加而平缓增加，
2017﹣2019年，y随x的增加而减少，
故，
由图可知，，
故选：A．
4．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，若直线EF、GH相交于点P，则（ ）
A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面ABD内 D．点P必在平面BCD内
解：作图如下：
因为EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，
所以P在两面的交线上，
因为AC是两平面的交线，
所以点P必在直线AC上．
故选：A．
5．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1500nm（1nm＝10﹣9m），某次检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：sinφ＝＝，
＝，
当高铁以运行速度337.5km/h经过时，频移为≈8.998×109（1/h）；
当高铁以运行速度375km/h经过时，频移为≈9.998×109（1/h）．
则频移范围为9.998×109（1/h）至8.998×109（1/h），
又检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），
∴该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为P＝＝．
故选：A．
6．已知A，B分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ交双曲线于P，Q两点（点P，Q异于A，B），则直线AP，BQ的斜率之比kAP：kBQ＝（ ）
A． B．﹣3 C． D．
解：由已知得双曲线Γ：a＝1，b＝，c＝2．
故F（﹣2，0），A（﹣1，0），B（1，0）．
设直线PQ：x＝my﹣2，且P（x1，y1），Q（x2，y2）．
由消去x整理得（3m2﹣1）y2﹣12my+9＝0，
∴，
两式相比得①，
∴kAP：kBQ＝＝＝②，
将①代入②得：上式＝＝﹣3．
故kAP：kBQ＝﹣3．
故选：B．
7．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则的取值范围为（ ）
A．[﹣1，0] B． C． D．
解：如图，＝（）•（）
＝++
＝0﹣（+）+0
＝﹣（+），
∵，∴∈[﹣]，
∵OC＝OA＝，二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，
∴∈[]，
∴∈[﹣1，]．
故选：B．
8．在矩形ABCD中，AB＝4，，点G，H分别为直线BC，CD上的动点，AH交DG于点P．若，（0＜λ＜1），则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
解：分别以MN和AD所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，，M（2，0），N（﹣2，0），
因为，（0＜λ＜1），
所以，，
所以直线AH的方程为，
直线DG的方程为，
联立这两条件直线方程可得点
因为，
则点P的坐标满足，
所以点P的轨迹是以O为对称中心，N，M分别为左右焦点的椭圆，其中a＝4，，c＝2．
故选：C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．对下列命题的否定说法正确是（ ）
A．P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0
B．P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∃x∈R，x2＞﹣1
C．P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1
D．P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝0
解：P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0，A正确；
P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∀x∈R，x2＞﹣1，B错误；
P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1，C正确；
P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝0，D正确．
故选：ACD．
10．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}．给出下列说法：
A．P（A）＝P（B）＝P（C）；B．P（AB）＝P（AC）＝P（BC）；C.；D.．
其中正确的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
解：同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．
记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}，则P（A）＝＝，
事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}，则P（B）＝＝，
C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}，则P（C）＝＝，
∴P（A）＝P（B）＝P（C），故A正确；
∵A，B，C是相互独立事件，∴P（AB）＝P（AC）＝P（BC）＝＝，故B正确；
∵A、B、C不是两两互斥事件，∴不正确，故C错误；
∵P（A）＝P（B）＝P（C）＝，∴，故D正确．
故选：ABD．
11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E，F分别在棱CC1，D1C1上，且C1E＝2EC，D1F＝2FC1，下列命题：
A．异面直线BE，CF所成角的余弦值为；
B．过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；
C．三棱锥B1﹣BEF的体积为；
D．过B1作平面α，使得AE⊥α，则平面α截正方体所得截面面积为．
其中所有真命题为（ ）
A．A B．B C．C D．D
解：对于A．取 A1B1的三等分点为 F1，使 A1F1＝2F1B1，又D1F＝2FC1，
∴F1B1∥FC1且 F1B1＝FC1，∴四边形 FC1B1F1为平行四边形，
∴FF1∥B1C1∥BC 且 FF1＝B1C1＝BC，∴四边形 F1FCB 为平行四边形，
∴BF1∥CF，则∠F1BE 为异面直线 BE，CF 所成的角，
连接 EF1，由题意得：BF1＝，BE＝，EF1＝，
所以cos∠F1BE＝＝＝，故A正确；
对于B．取B1B 的三等分点为 E1，使 B1E1＝2E1B，又C1E＝2EC，
∴BE1∥CE 且 BE1＝CE，∴四边形 BE1EC 为平行四边形，则E1E∥BC 且 E1E＝BC，
又由A得，FF1∥BC 且 FF1＝BC，于是FF1∥EE1且 FF1＝EE1，
∴四边形 EE1F1F 为平行四边形，∴EE1∥F1F，
取 A1B1的中点为 G，连接 BG，
又＝＝，∴E1F1∥BG∥EF，则四边形 BEFG 即为所求截面，
由题意知：BE≠FG，故B不正确；
对于C．S△B1BE＝×3×3＝，又C1F⊥面 B1BE，C1F＝1，
所以＝＝×C1F＝＝××1＝，故C正确；
对于D．取 CD 的三等分点为 H1，使 CH1＝2DH1，取BC 的三等分点为 H，使 CH＝2BH，
∴HH1∥BD∥B1D1，则面 B1D1H1H 即为所求的截面 α，建立如图所示的空间坐标系，
则 A（3，0，0），E（0，3，1），B1（3，3，3），D1（0，0，3），H1（0，1，0），
＝（﹣3，3，1），＝（﹣3，﹣3，0），＝（﹣3，﹣2，﹣3），
∵•＝0，•＝0，所以 AE⊥平面 B1D1H1H，
由已知条件得，B1D1＝3，HH1＝B1D1＝2，B1H＝D1H1＝，
等腰梯形 B1D1H1H 的高为h＝＝，
所以截面面积为S＝×＝，故D正确．
故选：ACD．
12．已知椭圆M：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意可得左右焦点和上下顶点可能构成直角三角形，这时b＝c，
离心率e＝＝＝；
或者长轴的点和短轴的点和一个焦点可能构成直角三角形，如图所示：这时AF22＝AB2+BF22，
即（a+c）2＝a2+b2+a2，整理可得：e2+e﹣1＝0，
可得e＝，
故选：BC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围是 a≤﹣2，或a＝1 ．
解：若命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”为真；
则1﹣a≥0，
解得：a≤1，
若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0”为真，
则△＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，
解得：a≤﹣2，或a≥1，
若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a＝1，
故答案为：a≤﹣2，或a＝1
14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号 331、572、455 ．
（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 2583 92 12 06 76
63 01 63 78 59 1695 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 0744 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 4299 66 0279 54
解：利用随机数表抽取是样本数据，找到第7行第8列的数开始向右读，
第一个符合条件的是331，第二个数是572，第三个数是455．
故答案为：331，572，455．
15．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为 ．
解：由题意可得2c＝4，＝，c2＝a2﹣b2，解得a＝6，
所以离心率e＝＝＝，
故答案为：．
16．如图，在△ABC中，AB＝1，，，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长度为 ．
解：过点P作PO⊥平面ABC，交BA延长线于点O，连结OC，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝，
将△ABC绕边AB翻转至△ABP，
使平面ABP⊥平面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，
则B（2，0，0），A（1，0，0），O（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），
设Q（x，y，z），＝＝λ（﹣1，0，2），λ∈[0，1]，
即（x﹣1，y，z）＝（﹣λ，0，2λ），∴Q（1﹣λ，0，2λ），
D（1，1，0），＝（﹣λ，﹣1，2λ），＝（0，2，﹣2），
|cos＜＞|＝＝，
令f（λ）＝，λ∈[0，1]，
∴f′（λ）＝，
由f′（λ）＝0，λ∈[0，1]，得，
λ∈[0，）时，f′（λ）＞0，λ∈（，1]时，f′（x）＜0，
∴当时，f（λ）取最大值，此时PC与DQ所成角取得最小值，
|AQ|＝||＝．
故答案为：．
四、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知命题p：方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根；命题q：2m+1＜4．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
解：（1）若p为真命题，则应有△＝8﹣4m＞0，…
解得m＜2．…
（2）若q为真命题，则有m+1＜2，即m＜1，…
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，
则p，q应一真一假．…
①当p真q假时，有，得1≤m＜2；…
②当p假q真时，有，无解．…
综上，m的取值范围是[1，2）．…
18．有编号为1，2，3的三只小球，和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立．
（1）求三只小球恰在两个盒子中的概率；
（2）求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率．
解：（1）设“三只小球恰在两个盒子中”为事件A，
则．
（2）设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件B，“三个球的编号与盒子的编号不同”为事件C，
则“至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件：B+C．
，，B与C互斥，
故．
19．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝2x﹣2，直线l与E的交点为A，B．同时|AF|+|BF|＝8，直线m∥l．直线m与E的交点为C、D，与y轴交于点P．
（I）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）若，求|CD|的长．
【解答】解（I）联立方程得：2x2﹣（4+p）x+2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得：，
由抛物线定义可得：，∴p＝4．
则抛物线E的方程为：y2＝8x；
（Ⅱ）设直线m：y＝2x+t，
联立方程得：4x2+（4t﹣8）x+t2＝0，
由△＝（4t﹣8）2﹣16t2＞0得：t＜1，
设C（x3，y3），D（x4，y4），
∵可知x3＝4x4，，
又∵x3+x4＝2﹣t，，
∴，
解之得：或﹣8，
∴，
当时，；当t＝﹣8时，．
20．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用．个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．
新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：
旧个税税率表（税起征点3500元）
新个税税率表（个税起征点5000元）
缴税级数
每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点
税率（%）
每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除
税率（%）
1
不超过1500元部分
3
不超过3000元部分
3
2
超过1500元至4500元部分
10
超过3000元至12000元部分
10
3
超过4500元至9000元的部分
20
超过12000元至25000元的部分
20
4
超过9000元至35000元的部分
25
超过25000元至35000元的部分
25
5
超过35000元至55000元部分
30
超过35000元至55000元部分
30
…
…
…
…
…
随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2021年的人均月收入24000元．统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2：1：1：1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除．新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．
假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入．根据样本估计总体的思想，解决如下问题：
（1）求该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率．
（2）根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？
解：（1）由题意，既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、
只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、
即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2：1：1：1，
①既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000﹣5000﹣1000＝18000，
月缴个税为X＝3000×0.3+9000×0.1+6000×0.2＝2190，其概率为，
②只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000﹣5000﹣1000﹣1000＝17000，
月缴个税为X＝3000×0.03+9000×0.1+5000×0.2＝1990，其概率为，
③只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为24000﹣5000﹣1000﹣2000＝16000，
月缴个税为X＝3000×0.03+9000×0.1+4000×0.2＝1790，其概率为，
④既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000﹣5000﹣1000﹣1000﹣2000＝15000，
月缴个税为X＝3000×0.03+9000×0.1+3000×0.2＝1590，其概率为；
（2）在旧政策下，该收入阶层的IT从业者每月应纳税所得额为24000﹣3500＝20500，
故月缴个税为1500×0.03+3000×0.1+4500×0.2+11500×0.25＝4120，
故新政策下，每月少缴个税4120﹣1950＝2170，
设经过x个月该市该收入阶层的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入，
则2170x≥24000，又x∈N，解得x≥12（x∈N），
所以经过12个月，该市该收入阶层的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入．
21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA垂直于底面ABCD，AB＝AC＝AD＝3，2AM＝MD，N为PB的中点，AD平行于BC，MN平行于面PCD，PA＝2．
（1）求BC的长；
（2）求二面角N﹣PM﹣D的余弦值．
解：（1）取PC的中点E，连接EN、ED，
因为EN∥BC，AD∥BC，所以EN∥MD，
所以M，N，E，D四点共面，
因为MN∥面PCD，面PCD∩面MNED＝ED，
所以MN∥ED，
所以MNED为平行四边形．
所以EN＝MD＝2，BC＝2EN＝4；
（2）取BC中点F，则AF⊥BC，
因为AD∥BC，所以AF⊥AD，
以A点为原点，AF为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立坐标系，
由AF⊥AD，AF⊥AP，知面PMD法向量为
＝（1，0，0），
P（0，0，2），M（0，1，0），B（，﹣2，0），N（，﹣1，1），
＝（0，1，﹣2），＝（，﹣1，﹣1），
设平面PMN的法向量＝（x，y，z），
则，取z＝1，得＝．
设二面角N﹣PM﹣D的平面角为θ，
经判断知二面角N﹣PM﹣D的平面角为钝角，
∴cosα＝﹣＝﹣＝﹣．
∴二面角N﹣PM﹣D的余弦值为﹣．
22．已知椭圆：C1：（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．
解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a＝，则C2：y2＝4ax，
代入x＝c，得y2＝4ax，即y＝±2，所以4＝4，
则有ac＝2，＝，a2﹣b2＝c2⇒a＝2，b＝，c＝1，p＝4，
所以椭圆C1的方程为+＝1，抛物线C2的方程为y2＝8x；
（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l设为y＝k（x+4），联立椭圆方程3x2+4y2＝12，
消去y得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），E（x1，﹣y1），
可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，
直线EN的方程为y+y1＝（x﹣x1），
即为y+k（x1+4）＝（x﹣x1），
即y＝•x﹣，
代入韦达定理可得y＝•（x+1），
则直线EN过定点（﹣1，0）．
2020-2021学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．命题“∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立”的否定为（ ）
A．∀a，b＞0，和至少有一个成立
B．∀a，b＞0，和都不成立
C．∃a，b＞0，和至少有一个成立
D．∃a，b＞0，和都不成立
2．已知a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将A房产中介公司2010﹣2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010﹣2013年，2014﹣2016年，2017﹣2019年的数据分别建立回归直线方程、、，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，若直线EF、GH相交于点P，则（ ）
A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面ABD内 D．点P必在平面BCD内
5．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1500nm（1nm＝10﹣9m），某次检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知A，B分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ交双曲线于P，Q两点（点P，Q异于A，B），则直线AP，BQ的斜率之比kAP：kBQ＝（ ）
A． B．﹣3 C． D．
7．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则的取值范围为（ ）
A．[﹣1，0] B． C． D．
8．在矩形ABCD中，AB＝4，，点G，H分别为直线BC，CD上的动点，AH交DG于点P．若，（0＜λ＜1），则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
二、多项选择题（共4小题）.
9．对下列命题的否定说法正确是（ ）
A．P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0
B．P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∃x∈R，x2＞﹣1
C．P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1
D．P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝0
10．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}．给出下列说法：
A．P（A）＝P（B）＝P（C）；B．P（AB）＝P（AC）＝P（BC）；C.；D.．
其中正确的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E，F分别在棱CC1，D1C1上，且C1E＝2EC，D1F＝2FC1，下列命题：
A．异面直线BE，CF所成角的余弦值为；
B．过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；
C．三棱锥B1﹣BEF的体积为；
D．过B1作平面α，使得AE⊥α，则平面α截正方体所得截面面积为．
其中所有真命题为（ ）
A．A B．B C．C D．D
12．已知椭圆M：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（共4小题）.
13．已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围是 ．
14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号 ．
（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 2583 92 12 06 76
63 01 63 78 59 1695 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 0744 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 4299 66 0279 54
15．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝1，，，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长度为 ．
四、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知命题p：方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根；命题q：2m+1＜4．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
18．有编号为1，2，3的三只小球，和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立．
（1）求三只小球恰在两个盒子中的概率；
（2）求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率．
19．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝2x﹣2，直线l与E的交点为A，B．同时|AF|+|BF|＝8，直线m∥l．直线m与E的交点为C、D，与y轴交于点P．
（I）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）若，求|CD|的长．
20．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用．个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．
新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：
旧个税税率表（税起征点3500元）
新个税税率表（个税起征点5000元）
缴税级数
每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点
税率（%）
每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除
税率（%）
1
不超过1500元部分
3
不超过3000元部分
3
2
超过1500元至4500元部分
10
超过3000元至12000元部分
10
3
超过4500元至9000元的部分
20
超过12000元至25000元的部分
20
4
超过9000元至35000元的部分
25
超过25000元至35000元的部分
25
5
超过35000元至55000元部分
30
超过35000元至55000元部分
30
…
…
…
…
…
随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2021年的人均月收入24000元．统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2：1：1：1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除．新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．
假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入．根据样本估计总体的思想，解决如下问题：
（1）求该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率．
（2）根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？
21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA垂直于底面ABCD，AB＝AC＝AD＝3，2AM＝MD，N为PB的中点，AD平行于BC，MN平行于面PCD，PA＝2．
（1）求BC的长；
（2）求二面角N﹣PM﹣D的余弦值．
22．已知椭圆：C1：（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．命题“∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立”的否定为（ ）
A．∀a，b＞0，和至少有一个成立
B．∀a，b＞0，和都不成立
C．∃a，b＞0，和至少有一个成立
D．∃a，b＞0，和都不成立
解：根据含有量词的命题否定可知，
∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立的否定为：
∃a，b＞0，和都不成立．
故选：D．
2．已知a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由a+b＜0，可得a≤0，b＜0或a＞0，b＜﹣a，
当a≤0，b＜0时，可得a|a|+b|b|＜0，
当a＞0，b＜﹣a时，可得a|a|+b|b|＜0，
故“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的充分条件，
由a|a|+b|b|＜0，可得当a≤0时，b＜0，或b＜﹣a，得a+b＜0；
当a＞0时，可得b＜﹣a，得a+b＜0，
故“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的必要条件，
∴a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的充分必要条件，
故选：C．
3．自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将A房产中介公司2010﹣2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010﹣2013年，2014﹣2016年，2017﹣2019年的数据分别建立回归直线方程、、，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
解：回归直线分布在散点图附近，表示回归直线的斜率，表示回归直线在y轴上的截距，
由题意可知，2010﹣2013年，y随x的增加而迅速增加，
2014﹣2016年，y随x的增加而平缓增加，
2017﹣2019年，y随x的增加而减少，
故，
由图可知，，
故选：A．
4．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，若直线EF、GH相交于点P，则（ ）
A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面ABD内 D．点P必在平面BCD内
解：作图如下：
因为EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，
所以P在两面的交线上，
因为AC是两平面的交线，
所以点P必在直线AC上．
故选：A．
5．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1500nm（1nm＝10﹣9m），某次检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：sinφ＝＝，
＝，
当高铁以运行速度337.5km/h经过时，频移为≈8.998×109（1/h）；
当高铁以运行速度375km/h经过时，频移为≈9.998×109（1/h）．
则频移范围为9.998×109（1/h）至8.998×109（1/h），
又检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），
∴该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为P＝＝．
故选：A．
6．已知A，B分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ交双曲线于P，Q两点（点P，Q异于A，B），则直线AP，BQ的斜率之比kAP：kBQ＝（ ）
A． B．﹣3 C． D．
解：由已知得双曲线Γ：a＝1，b＝，c＝2．
故F（﹣2，0），A（﹣1，0），B（1，0）．
设直线PQ：x＝my﹣2，且P（x1，y1），Q（x2，y2）．
由消去x整理得（3m2﹣1）y2﹣12my+9＝0，
∴，
两式相比得①，
∴kAP：kBQ＝＝＝②，
将①代入②得：上式＝＝﹣3．
故kAP：kBQ＝﹣3．
故选：B．
7．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则的取值范围为（ ）
A．[﹣1，0] B． C． D．
解：如图，＝（）•（）
＝++
＝0﹣（+）+0
＝﹣（+），
∵，∴∈[﹣]，
∵OC＝OA＝，二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，
∴∈[]，
∴∈[﹣1，]．
故选：B．
8．在矩形ABCD中，AB＝4，，点G，H分别为直线BC，CD上的动点，AH交DG于点P．若，（0＜λ＜1），则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
解：分别以MN和AD所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，，M（2，0），N（﹣2，0），
因为，（0＜λ＜1），
所以，，
所以直线AH的方程为，
直线DG的方程为，
联立这两条件直线方程可得点
因为，
则点P的坐标满足，
所以点P的轨迹是以O为对称中心，N，M分别为左右焦点的椭圆，其中a＝4，，c＝2．
故选：C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．对下列命题的否定说法正确是（ ）
A．P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0
B．P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∃x∈R，x2＞﹣1
C．P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1
D．P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝0
解：P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0，A正确；
P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∀x∈R，x2＞﹣1，B错误；
P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1，C正确；
P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝0，D正确．
故选：ACD．
10．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}．给出下列说法：
A．P（A）＝P（B）＝P（C）；B．P（AB）＝P（AC）＝P（BC）；C.；D.．
其中正确的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
解：同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．
记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}，则P（A）＝＝，
事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}，则P（B）＝＝，
C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}，则P（C）＝＝，
∴P（A）＝P（B）＝P（C），故A正确；
∵A，B，C是相互独立事件，∴P（AB）＝P（AC）＝P（BC）＝＝，故B正确；
∵A、B、C不是两两互斥事件，∴不正确，故C错误；
∵P（A）＝P（B）＝P（C）＝，∴，故D正确．
故选：ABD．
11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E，F分别在棱CC1，D1C1上，且C1E＝2EC，D1F＝2FC1，下列命题：
A．异面直线BE，CF所成角的余弦值为；
B．过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；
C．三棱锥B1﹣BEF的体积为；
D．过B1作平面α，使得AE⊥α，则平面α截正方体所得截面面积为．
其中所有真命题为（ ）
A．A B．B C．C D．D
解：对于A．取 A1B1的三等分点为 F1，使 A1F1＝2F1B1，又D1F＝2FC1，
∴F1B1∥FC1且 F1B1＝FC1，∴四边形 FC1B1F1为平行四边形，
∴FF1∥B1C1∥BC 且 FF1＝B1C1＝BC，∴四边形 F1FCB 为平行四边形，
∴BF1∥CF，则∠F1BE 为异面直线 BE，CF 所成的角，
连接 EF1，由题意得：BF1＝，BE＝，EF1＝，
所以cos∠F1BE＝＝＝，故A正确；
对于B．取B1B 的三等分点为 E1，使 B1E1＝2E1B，又C1E＝2EC，
∴BE1∥CE 且 BE1＝CE，∴四边形 BE1EC 为平行四边形，则E1E∥BC 且 E1E＝BC，
又由A得，FF1∥BC 且 FF1＝BC，于是FF1∥EE1且 FF1＝EE1，
∴四边形 EE1F1F 为平行四边形，∴EE1∥F1F，
取 A1B1的中点为 G，连接 BG，
又＝＝，∴E1F1∥BG∥EF，则四边形 BEFG 即为所求截面，
由题意知：BE≠FG，故B不正确；
对于C．S△B1BE＝×3×3＝，又C1F⊥面 B1BE，C1F＝1，
所以＝＝×C1F＝＝××1＝，故C正确；
对于D．取 CD 的三等分点为 H1，使 CH1＝2DH1，取BC 的三等分点为 H，使 CH＝2BH，
∴HH1∥BD∥B1D1，则面 B1D1H1H 即为所求的截面 α，建立如图所示的空间坐标系，
则 A（3，0，0），E（0，3，1），B1（3，3，3），D1（0，0，3），H1（0，1，0），
＝（﹣3，3，1），＝（﹣3，﹣3，0），＝（﹣3，﹣2，﹣3），
∵•＝0，•＝0，所以 AE⊥平面 B1D1H1H，
由已知条件得，B1D1＝3，HH1＝B1D1＝2，B1H＝D1H1＝，
等腰梯形 B1D1H1H 的高为h＝＝，
所以截面面积为S＝×＝，故D正确．
故选：ACD．
12．已知椭圆M：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意可得左右焦点和上下顶点可能构成直角三角形，这时b＝c，
离心率e＝＝＝；
或者长轴的点和短轴的点和一个焦点可能构成直角三角形，如图所示：这时AF22＝AB2+BF22，
即（a+c）2＝a2+b2+a2，整理可得：e2+e﹣1＝0，
可得e＝，
故选：BC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围是 a≤﹣2，或a＝1 ．
解：若命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”为真；
则1﹣a≥0，
解得：a≤1，
若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0”为真，
则△＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，
解得：a≤﹣2，或a≥1，
若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a＝1，
故答案为：a≤﹣2，或a＝1
14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号 331、572、455 ．
（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 2583 92 12 06 76
63 01 63 78 59 1695 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 0744 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 4299 66 0279 54
解：利用随机数表抽取是样本数据，找到第7行第8列的数开始向右读，
第一个符合条件的是331，第二个数是572，第三个数是455．
故答案为：331，572，455．
15．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为 ．
解：由题意可得2c＝4，＝，c2＝a2﹣b2，解得a＝6，
所以离心率e＝＝＝，
故答案为：．
16．如图，在△ABC中，AB＝1，，，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长度为 ．
解：过点P作PO⊥平面ABC，交BA延长线于点O，连结OC，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝，
将△ABC绕边AB翻转至△ABP，
使平面ABP⊥平面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，
则B（2，0，0），A（1，0，0），O（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），
设Q（x，y，z），＝＝λ（﹣1，0，2），λ∈[0，1]，
即（x﹣1，y，z）＝（﹣λ，0，2λ），∴Q（1﹣λ，0，2λ），
D（1，1，0），＝（﹣λ，﹣1，2λ），＝（0，2，﹣2），
|cos＜＞|＝＝，
令f（λ）＝，λ∈[0，1]，
∴f′（λ）＝，
由f′（λ）＝0，λ∈[0，1]，得，
λ∈[0，）时，f′（λ）＞0，λ∈（，1]时，f′（x）＜0，
∴当时，f（λ）取最大值，此时PC与DQ所成角取得最小值，
|AQ|＝||＝．
故答案为：．
四、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知命题p：方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根；命题q：2m+1＜4．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
解：（1）若p为真命题，则应有△＝8﹣4m＞0，…
解得m＜2．…
（2）若q为真命题，则有m+1＜2，即m＜1，…
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，
则p，q应一真一假．…
①当p真q假时，有，得1≤m＜2；…
②当p假q真时，有，无解．…
综上，m的取值范围是[1，2）．…
18．有编号为1，2，3的三只小球，和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立．
（1）求三只小球恰在两个盒子中的概率；
（2）求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率．
解：（1）设“三只小球恰在两个盒子中”为事件A，
则．
（2）设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件B，“三个球的编号与盒子的编号不同”为事件C，
则“至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件：B+C．
，，B与C互斥，
故．
19．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝2x﹣2，直线l与E的交点为A，B．同时|AF|+|BF|＝8，直线m∥l．直线m与E的交点为C、D，与y轴交于点P．
（I）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）若，求|CD|的长．
【解答】解（I）联立方程得：2x2﹣（4+p）x+2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得：，
由抛物线定义可得：，∴p＝4．
则抛物线E的方程为：y2＝8x；
（Ⅱ）设直线m：y＝2x+t，
联立方程得：4x2+（4t﹣8）x+t2＝0，
由△＝（4t﹣8）2﹣16t2＞0得：t＜1，
设C（x3，y3），D（x4，y4），
∵可知x3＝4x4，，
又∵x3+x4＝2﹣t，，
∴，
解之得：或﹣8，
∴，
当时，；当t＝﹣8时，．
20．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用．个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．
新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：
旧个税税率表（税起征点3500元）
新个税税率表（个税起征点5000元）
缴税级数
每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点
税率（%）
每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除
税率（%）
1
不超过1500元部分
3
不超过3000元部分
3
2
超过1500元至4500元部分
10
超过3000元至12000元部分
10
3
超过4500元至9000元的部分
20
超过12000元至25000元的部分
20
4
超过9000元至35000元的部分
25
超过25000元至35000元的部分
25
5
超过35000元至55000元部分
30
超过35000元至55000元部分
30
…
…
…
…
…
随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2021年的人均月收入24000元．统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2：1：1：1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除．新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．
假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入．根据样本估计总体的思想，解决如下问题：
（1）求该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率．
（2）根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？
解：（1）由题意，既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、
只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、
即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2：1：1：1，
①既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000﹣5000﹣1000＝18000，
月缴个税为X＝3000×0.3+9000×0.1+6000×0.2＝2190，其概率为，
②只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000﹣5000﹣1000﹣1000＝17000，
月缴个税为X＝3000×0.03+9000×0.1+5000×0.2＝1990，其概率为，
③只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为24000﹣5000﹣1000﹣2000＝16000，
月缴个税为X＝3000×0.03+9000×0.1+4000×0.2＝1790，其概率为，
④既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000﹣5000﹣1000﹣1000﹣2000＝15000，
月缴个税为X＝3000×0.03+9000×0.1+3000×0.2＝1590，其概率为；
（2）在旧政策下，该收入阶层的IT从业者每月应纳税所得额为24000﹣3500＝20500，
故月缴个税为1500×0.03+3000×0.1+4500×0.2+11500×0.25＝4120，
故新政策下，每月少缴个税4120﹣1950＝2170，
设经过x个月该市该收入阶层的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入，
则2170x≥24000，又x∈N，解得x≥12（x∈N），
所以经过12个月，该市该收入阶层的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入．
21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA垂直于底面ABCD，AB＝AC＝AD＝3，2AM＝MD，N为PB的中点，AD平行于BC，MN平行于面PCD，PA＝2．
（1）求BC的长；
（2）求二面角N﹣PM﹣D的余弦值．
解：（1）取PC的中点E，连接EN、ED，
因为EN∥BC，AD∥BC，所以EN∥MD，
所以M，N，E，D四点共面，
因为MN∥面PCD，面PCD∩面MNED＝ED，
所以MN∥ED，
所以MNED为平行四边形．
所以EN＝MD＝2，BC＝2EN＝4；
（2）取BC中点F，则AF⊥BC，
因为AD∥BC，所以AF⊥AD，
以A点为原点，AF为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立坐标系，
由AF⊥AD，AF⊥AP，知面PMD法向量为
＝（1，0，0），
P（0，0，2），M（0，1，0），B（，﹣2，0），N（，﹣1，1），
＝（0，1，﹣2），＝（，﹣1，﹣1），
设平面PMN的法向量＝（x，y，z），
则，取z＝1，得＝．
设二面角N﹣PM﹣D的平面角为θ，
经判断知二面角N﹣PM﹣D的平面角为钝角，
∴cosα＝﹣＝﹣＝﹣．
∴二面角N﹣PM﹣D的余弦值为﹣．
22．已知椭圆：C1：（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．
解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a＝，则C2：y2＝4ax，
代入x＝c，得y2＝4ax，即y＝±2，所以4＝4，
则有ac＝2，＝，a2﹣b2＝c2⇒a＝2，b＝，c＝1，p＝4，
所以椭圆C1的方程为+＝1，抛物线C2的方程为y2＝8x；
（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l设为y＝k（x+4），联立椭圆方程3x2+4y2＝12，
消去y得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），E（x1，﹣y1），
可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，
直线EN的方程为y+y1＝（x﹣x1），
即为y+k（x1+4）＝（x﹣x1），
即y＝•x﹣，
代入韦达定理可得y＝•（x+1），
则直线EN过定点（﹣1，0）．
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