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江苏省连云港市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷 （解析版）
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这是一份江苏省连云港市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷 （解析版），共20页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是（ ）
A．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 B．∃x0∈R，x02+x0+1≤0
C．∀x∈R，x2+x+1＞0 D．∀x∈R，x2+x+1≤0
2．函数，x∈（﹣2，+∞）的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
3．“x2＞1”是“x＞2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为5 m，深度为1 m，则信号装置与卫星接收天线中心O的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），向量，且向量分别与，垂直，则＝（ ）
A．4 B． C．2 D．
6．某港口在一天24 h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h；0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t+π），则17点时潮水起落的速度是（ ）
A． B． C． D．
7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，e） B．（﹣∞，e） C． D．
二、多项选择题（共4小题）.
9．已知曲线C：mx2+ny2＝1（m，n∈R），则下列说法正确的是（ ）
A．若m＞0，n＞0，则曲线C是椭圆
B．若m＞n＞0，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C．若m＞0＞n，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D．曲线C可以是抛物线
10．已知正数a，b满足a+2b＝1，则下列说法正确的是（ ）
A．2a+4b的最小值是 B．ab的最小值是
C．a2+4b2的最小值是 D．的最小值是
11．据美国学者詹姆斯•马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（ ）
A．2006年底人类知识总量是2a
B．2009年底人类知识总量是8a
C．2019年底人类知识总量是213a
D．2020年底人类知识总量是218a
12．下列曲线中，与直线l：2x﹣y+3＝0相切的是（ ）
A．曲线
B．曲线C2：y＝ln2x+4
C．曲线
D．曲线
三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
13．函数f（x）＝（x+1）ex的最小值是
14．以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是 ．
15．已知数列{an}满足a1＝1，且an+1﹣an＝n+1，则数列的前100项和为 ．
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA各棱的中点，则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为 ；若P，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sinθ的值为 ．
四、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在①S8＝72，②S5＝6a2，③S6＝S4+a5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝6，______，若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．已知m，n，a∈R，函数f（x）＝x3﹣3x2的单调递减区间A＝[m，n]，区间B＝[2a﹣1，a+3]．
（1）求m和n的值；
（2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围．
19．已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点．
（1）若直线l的斜率为﹣1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；
（2）若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．
20．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值；
（2）求平面PBC1与平面AQC1所形成的锐二面角的余弦值．
21．已知椭圆的一个焦点为F（﹣1，0），且椭圆M过点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为P，Q，求△FPQ面积的最大值．
22．已知函数f（x）＝x2+bx+c，g（x）＝lnx．
（1）令h（x）＝f（x）+g（x），求函数h（x）的单调递增区间；
（2）当b＝﹣1，c＞0时，求证：与函数f（x），g（x）图象都相切的直线l有两条．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是（ ）
A．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 B．∃x0∈R，x02+x0+1≤0
C．∀x∈R，x2+x+1＞0 D．∀x∈R，x2+x+1≤0
解：∵全称命题的否定是特称命题，
∴“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：
∃x0∈R，x02+x0+1≤0，
故选：B．
2．函数，x∈（﹣2，+∞）的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
解：函数＝x+2﹣2﹣2＝6，当且仅当x+2＝4，即x＝2时，取等号；
故选：B．
3．“x2＞1”是“x＞2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由x2＞1，得x＜﹣1或x＞1，
由x＞2，得x2＞4＞1．
∴“x2＞1”是“x＞2”的必要不充分条件．
故选：B．
4．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为5 m，深度为1 m，则信号装置与卫星接收天线中心O的距离为（ ）
A． B． C． D．
解：如图建立直角坐标系：
所以A（1，）
设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），
由点A在抛物线上，得＝2p，
解得p＝，
即＝，
所以信号装置与卫星接收天线中心O的距离为m，
故选：A．
5．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），向量，且向量分别与，垂直，则＝（ ）
A．4 B． C．2 D．
解：因为空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），
所以，
因为向量，且向量分别与，垂直，
所以，解得m＝﹣1，n＝﹣1，
所以，
故．
故选：D．
6．某港口在一天24 h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h；0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t+π），则17点时潮水起落的速度是（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意，S（t）＝3sin（t+π），则其导数S′（t）＝×3×cos（t+π）＝cos（t+π），
则有S′（17）＝cos（+π）＝，
故17点时潮水起落的速度是m/h，
故选：B．
7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为（ ）
A． B． C． D．
解：设最大的一份为x，从大到小排列的等差数列的公差为d，
则由题意可得 x+（x+d）+（x+2d）+（x+3d）+（x+4d）＝100，
且 [x+（x+d）+（x+2d）]＝（x+3d）+（x+4d），
所以x＝，
故选：A．
8．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，e） B．（﹣∞，e） C． D．
解：若函数有两个不同的零点，
则y＝a和g（x）＝的图象有2个不同交点，
由g′（x）＝＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，
故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
故g（x）max＝g（e）＝，
x→0时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→0，
故a的取值范围是（0，），
故选：C．
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．已知曲线C：mx2+ny2＝1（m，n∈R），则下列说法正确的是（ ）
A．若m＞0，n＞0，则曲线C是椭圆
B．若m＞n＞0，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C．若m＞0＞n，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D．曲线C可以是抛物线
解：曲线C：mx2+ny2＝1（m，n∈R），
当m＝n＞0时，曲线C是圆，故A错误；
若m＞n＞0，则曲线mx2+ny2＝1化为，＞＞0，是焦点在y轴上的椭圆，故B正确；
若m＞0＞n，则曲线mx2+ny2＝1化为，是焦点在x轴上的双曲线，故C正确；
曲线方程中不会含有一次项，不可能是抛物线，故D错误．
故选：BC．
10．已知正数a，b满足a+2b＝1，则下列说法正确的是（ ）
A．2a+4b的最小值是 B．ab的最小值是
C．a2+4b2的最小值是 D．的最小值是
解：选项A：2a+4b＝2a+22b，
当且仅当2a＝22b，即a＝时取等号，此时2a+4b的最小值为2；故A正确，
选项B：因为a+2b＝1，解得ab，当且仅当a＝2b，即a＝时取等号，
此时ab的最大值为，故B错误，
选项C：因为a+2b＝1，所以a2+4b2+4ab＝1，
所以ab＝，解得a，当且仅当a＝2b，即a＝时取等号，故C正确，
选项D：，
当且仅当a＝b时取等号，此时的最小值为3+2，故D错误，
故选：AC．
11．据美国学者詹姆斯•马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（ ）
A．2006年底人类知识总量是2a
B．2009年底人类知识总量是8a
C．2019年底人类知识总量是213a
D．2020年底人类知识总量是218a
解：选项A：2006年底人类知识总量为a×2×2＝4a，故A错误，
选项B：2009年底人类知识总量为a×2×2×2＝8a，故B正确，
选项C：2019年底人类知识总量为8a×210＝213a，故C正确，
选项D：2020年底人类知识总量为213a×25＝218a，故D正确，
故选：BCD．
12．下列曲线中，与直线l：2x﹣y+3＝0相切的是（ ）
A．曲线
B．曲线C2：y＝ln2x+4
C．曲线
D．曲线
解：对于A，，消去y得：4x2﹣12x+9＝0，
则△＝（﹣12）2﹣4×4×9＝0，
则直线与曲线相切，故选项A正确；
对于B，y＝ln2x+4，则y′＝，令，解得x＝，
代入直线方程可得切点为（，4），
满足在y＝ln2x+4上，故直线与曲线相切，故选项B正确；
对于C，曲线的一条渐近线为：y＝2x与直线l：2x﹣y+3＝0平行，
所以直线l与曲线相交于一点，故不相切，故选项C不正确；
对于D，曲线，则y′＝6x2﹣10x+6，
令6x2﹣10x+6＝2，解得x＝或1，
当x＝时，代入直线可得切点为（，），不满足在曲线上，
当x＝1时，代入直线可得切点为（1，5），满足在曲线上，故直线与曲线相切，故选项D正确．
故选：ABD．
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．函数f（x）＝（x+1）ex的最小值是
解：由f（x）＝（x+1）ex，得f′（x）＝（x+2）ex；
当x＜﹣2时，f′（x）＜0，
当x＞﹣2时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）＝（x+1）ex在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增；
所以当x＝﹣2时，函数f（x）＝（x+1）ex有最小值；
故答案为：．
14．以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是 ．
解：∵椭圆方程为：＝1，
∴其焦点坐标为：（﹣，0）、（，0），
顶点坐标为：（﹣2，0）、（2，0），
∴双曲线的焦点坐标为：（﹣2，0）、（2，0），
顶点坐标为：（﹣，0）、（，0），
∴双曲线方程：中a＝、c＝2，
∴b2＝c2﹣a2＝8﹣3＝5，
∴双曲线方程：，
故答案为：．
15．已知数列{an}满足a1＝1，且an+1﹣an＝n+1，则数列的前100项和为 ．
解：由题意，可得a1＝1，
a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，…，an﹣an﹣1＝n，
各项相加，可得an＝1+2+3+…+n＝，
∴＝＝2（﹣），
∴++…+
＝2×（1﹣）+2×（﹣）+…+2×（﹣）
＝2×（1﹣+﹣+…+﹣）
＝2×（1﹣）
＝．
故答案为：．
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA各棱的中点，则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为 ；若P，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sinθ的值为 ．
解：如图，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
设正方体的棱长为2，则A1（2，0，2），E（2，1，0），C（0，2，0），G（1，2，2），
所以，
所以•＝0+2﹣2＝0，•＝2+2﹣4＝0，
则，
故A1C⊥EF，A1C⊥EG，又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFGHKL，
所以A1C⊥平面EFGHKL，
故直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为；
D1（0，0，2），B（2，2，0），
所以，，
设平面EFGHKL的法向量为，
则，即，令y＝1，则x＝﹣1，z＝﹣1，
所以，
设直线D1B与平面EFGHKL所成的角为α，
则，
因为直线PQ⊂平面EFGHKL，
所以直线D1B与直线PQ所成的角最小时即为直线D1B与平面EFGHKL所成的角，
所以sinθ＝．
故答案为：；．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在①S8＝72，②S5＝6a2，③S6＝S4+a5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝6，______，若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：方案一：选条件①
由题意，设等差数列{an}的公比为q，
则，
解得，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*，
∴＝22n＝4n，n∈N*，
∴数列{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列，
∴Tn＝＝（4n﹣1）．
方案二：选条件②
由题意，设等差数列{an}的公比为q，
则，
即，
解得，
∴an＝4+1×（n﹣1）＝n+3，n∈N*，
∴＝2n+3＝16×2n﹣1，n∈N*，
∴数列{bn}是以16为首项，2为公比的等比数列，
∴Tn＝＝16×（2n﹣1）．
方案三：选条件③
由题意，设等差数列{an}的公比为q，
∵S6＝S4+a5，
∴S6﹣S4＝a5，即a6+a5＝a5，
∴a6＝0，
联立，
解得，
∴an＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n，n∈N*，
∴＝212﹣2n＝212×，n∈N*，
∴Tn＝b1+b2+…+bn
＝212×+212×+…+212×
＝212×（++…+）
＝212×
＝×[1﹣（）n]．
18．已知m，n，a∈R，函数f（x）＝x3﹣3x2的单调递减区间A＝[m，n]，区间B＝[2a﹣1，a+3]．
（1）求m和n的值；
（2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围．
解：（1）f'（x）＝3x2﹣6x，
由f'（x）≤0，有3x2﹣6x≤0，得0≤x≤2，
又f（x）＝x3﹣3x2的单调递减区间为A＝[m，n]，
所以m＝0，n＝2；
（2）B＝[2a﹣1，a+3]，则2a﹣1＜a+3，解得a＜4．
又x∈A是x∈B的充分条件，可知A⊆B，
有，得，
故实数a的取值范围为．
19．已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点．
（1）若直线l的斜率为﹣1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；
（2）若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．
【解答】（1）解：抛物线为y2＝4x，所以焦点坐标为（1，0），直线AB斜率为﹣1，则直线AB方程为：y＝﹣x+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得：x2﹣6x+1＝0，
可得x1+x2＝6
由抛物线定义可得|AB|＝x1+x2+2，所以|AB|＝8
（2）证明：设直线AB方程为：x＝my+n，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为OA⊥OB，所以．所以x1x2+y1y2＝0，由得：y2﹣4my﹣4n＝0
所以，y1y2＝﹣4n；；所以n2﹣4n＝0，解得n＝0，或n＝4
当n＝0时，直线AB过原点，不满足题意；当n＝4时，直线AB过点（4，0）
故当OA⊥OB时，直线AB过定点（4，0）
20．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值；
（2）求平面PBC1与平面AQC1所形成的锐二面角的余弦值．
解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，
则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，
故以为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
∵AB＝AA1＝2，A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），
A1（0，﹣1，2），，C1（0，1，2）．
（1）∵Q为BC的中点，∴，∴，，，
设平面AQC1的一个法向量为，
由，可取，
设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，
，
∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．
（2），，C1（0，2，2），
设平面PBC1的法向量为
则可得，，
由，，
得：，
令y1＝1，可得，z1＝1，故，
由（1）得平面AQC1的一个法向量为，
，
故平面PBC1与平面AQC1所成的锐二面角的余弦值为．
21．已知椭圆的一个焦点为F（﹣1，0），且椭圆M过点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为P，Q，求△FPQ面积的最大值．
解：（1）由题意可得，
解得：a2＝4，b2＝3，故椭圆M的方程．
（2）由题意可得直线AB，CD斜率均存在，
设AB的斜率为k，CD斜率为，设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的方程为y＝k（x+1），由得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，则，
可得点P的横坐标为，代入y＝k（x+1），得点P的纵坐标为，
故点P坐标为，
则，
将k换为，得，
故△FPQ面积，
令，u≥2，故，，
当u≥2时，S'＜0，故S（u）在[2，+∞）单调递减，故u＝2，，
所以△FPQ面积的最大值．
22．已知函数f（x）＝x2+bx+c，g（x）＝lnx．
（1）令h（x）＝f（x）+g（x），求函数h（x）的单调递增区间；
（2）当b＝﹣1，c＞0时，求证：与函数f（x），g（x）图象都相切的直线l有两条．
解：（1）由h（x）＝f（x）+g（x）＝x2+bx+c+lnx（x＞0），
得，
若△≤0，，h'（x）≥0恒成立，h（x）为（0，+∞）上的单调增函数，
若△＞0，时，h'（x）＞0恒成立，h（x）为（0，+∞）上的单调增函数，
时，由h'（x）＞0，得和，
综上，时，h（x）的单调增区间为（0，+∞），
时，h（x）的单调增区间为和．
（2）证明：记直线l分别切f（x），g（x）的图象于点，（x2，lnx2），
由f'（x）＝2x﹣1，得l的方程为，
即：，
由，得l的方程为，即，
所以（*），
消去x1得（**），
令，则，x＞0，
由F'（x）＝0，解得：x＝1，
当0＜x＜1时，F'（x）＜0，当x＞1时，F'（x）＞0，
所以F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
且F（x）min＝F（1）＝﹣c，由c＞0，F（1）＜0，
下面验证F（x）＝0存在两个不等的正数解：
取x＝ec+1，F（ec+1）＞ln（ec+1）﹣（c+1）＝0，
故方程（**）在（1，+∞）上存在唯一解，
令，由于，
故k（x）在（0，1]上单调递减，
故当0＜x＜1时，k（x）＞k（1）＝0，即，
从而，
取，则，
故方程（**）在（0，1）上存在唯一解，
综上，c＞0时，方程（**）有两个不同的正数解，方程组（*）有两组解，
即与函数f（x），g（x）的图象都相切的直线有且只有两条．
2020-2021学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是（ ）
A．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 B．∃x0∈R，x02+x0+1≤0
C．∀x∈R，x2+x+1＞0 D．∀x∈R，x2+x+1≤0
2．函数，x∈（﹣2，+∞）的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
3．“x2＞1”是“x＞2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为5 m，深度为1 m，则信号装置与卫星接收天线中心O的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），向量，且向量分别与，垂直，则＝（ ）
A．4 B． C．2 D．
6．某港口在一天24 h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h；0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t+π），则17点时潮水起落的速度是（ ）
A． B． C． D．
7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，e） B．（﹣∞，e） C． D．
二、多项选择题（共4小题）.
9．已知曲线C：mx2+ny2＝1（m，n∈R），则下列说法正确的是（ ）
A．若m＞0，n＞0，则曲线C是椭圆
B．若m＞n＞0，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C．若m＞0＞n，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D．曲线C可以是抛物线
10．已知正数a，b满足a+2b＝1，则下列说法正确的是（ ）
A．2a+4b的最小值是 B．ab的最小值是
C．a2+4b2的最小值是 D．的最小值是
11．据美国学者詹姆斯•马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（ ）
A．2006年底人类知识总量是2a
B．2009年底人类知识总量是8a
C．2019年底人类知识总量是213a
D．2020年底人类知识总量是218a
12．下列曲线中，与直线l：2x﹣y+3＝0相切的是（ ）
A．曲线
B．曲线C2：y＝ln2x+4
C．曲线
D．曲线
三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
13．函数f（x）＝（x+1）ex的最小值是
14．以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是 ．
15．已知数列{an}满足a1＝1，且an+1﹣an＝n+1，则数列的前100项和为 ．
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA各棱的中点，则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为 ；若P，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sinθ的值为 ．
四、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在①S8＝72，②S5＝6a2，③S6＝S4+a5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝6，______，若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．已知m，n，a∈R，函数f（x）＝x3﹣3x2的单调递减区间A＝[m，n]，区间B＝[2a﹣1，a+3]．
（1）求m和n的值；
（2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围．
19．已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点．
（1）若直线l的斜率为﹣1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；
（2）若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．
20．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值；
（2）求平面PBC1与平面AQC1所形成的锐二面角的余弦值．
21．已知椭圆的一个焦点为F（﹣1，0），且椭圆M过点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为P，Q，求△FPQ面积的最大值．
22．已知函数f（x）＝x2+bx+c，g（x）＝lnx．
（1）令h（x）＝f（x）+g（x），求函数h（x）的单调递增区间；
（2）当b＝﹣1，c＞0时，求证：与函数f（x），g（x）图象都相切的直线l有两条．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是（ ）
A．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 B．∃x0∈R，x02+x0+1≤0
C．∀x∈R，x2+x+1＞0 D．∀x∈R，x2+x+1≤0
解：∵全称命题的否定是特称命题，
∴“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：
∃x0∈R，x02+x0+1≤0，
故选：B．
2．函数，x∈（﹣2，+∞）的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
解：函数＝x+2﹣2﹣2＝6，当且仅当x+2＝4，即x＝2时，取等号；
故选：B．
3．“x2＞1”是“x＞2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由x2＞1，得x＜﹣1或x＞1，
由x＞2，得x2＞4＞1．
∴“x2＞1”是“x＞2”的必要不充分条件．
故选：B．
4．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为5 m，深度为1 m，则信号装置与卫星接收天线中心O的距离为（ ）
A． B． C． D．
解：如图建立直角坐标系：
所以A（1，）
设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），
由点A在抛物线上，得＝2p，
解得p＝，
即＝，
所以信号装置与卫星接收天线中心O的距离为m，
故选：A．
5．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），向量，且向量分别与，垂直，则＝（ ）
A．4 B． C．2 D．
解：因为空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），
所以，
因为向量，且向量分别与，垂直，
所以，解得m＝﹣1，n＝﹣1，
所以，
故．
故选：D．
6．某港口在一天24 h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h；0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t+π），则17点时潮水起落的速度是（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意，S（t）＝3sin（t+π），则其导数S′（t）＝×3×cos（t+π）＝cos（t+π），
则有S′（17）＝cos（+π）＝，
故17点时潮水起落的速度是m/h，
故选：B．
7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为（ ）
A． B． C． D．
解：设最大的一份为x，从大到小排列的等差数列的公差为d，
则由题意可得 x+（x+d）+（x+2d）+（x+3d）+（x+4d）＝100，
且 [x+（x+d）+（x+2d）]＝（x+3d）+（x+4d），
所以x＝，
故选：A．
8．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，e） B．（﹣∞，e） C． D．
解：若函数有两个不同的零点，
则y＝a和g（x）＝的图象有2个不同交点，
由g′（x）＝＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，
故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
故g（x）max＝g（e）＝，
x→0时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→0，
故a的取值范围是（0，），
故选：C．
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．已知曲线C：mx2+ny2＝1（m，n∈R），则下列说法正确的是（ ）
A．若m＞0，n＞0，则曲线C是椭圆
B．若m＞n＞0，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C．若m＞0＞n，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D．曲线C可以是抛物线
解：曲线C：mx2+ny2＝1（m，n∈R），
当m＝n＞0时，曲线C是圆，故A错误；
若m＞n＞0，则曲线mx2+ny2＝1化为，＞＞0，是焦点在y轴上的椭圆，故B正确；
若m＞0＞n，则曲线mx2+ny2＝1化为，是焦点在x轴上的双曲线，故C正确；
曲线方程中不会含有一次项，不可能是抛物线，故D错误．
故选：BC．
10．已知正数a，b满足a+2b＝1，则下列说法正确的是（ ）
A．2a+4b的最小值是 B．ab的最小值是
C．a2+4b2的最小值是 D．的最小值是
解：选项A：2a+4b＝2a+22b，
当且仅当2a＝22b，即a＝时取等号，此时2a+4b的最小值为2；故A正确，
选项B：因为a+2b＝1，解得ab，当且仅当a＝2b，即a＝时取等号，
此时ab的最大值为，故B错误，
选项C：因为a+2b＝1，所以a2+4b2+4ab＝1，
所以ab＝，解得a，当且仅当a＝2b，即a＝时取等号，故C正确，
选项D：，
当且仅当a＝b时取等号，此时的最小值为3+2，故D错误，
故选：AC．
11．据美国学者詹姆斯•马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（ ）
A．2006年底人类知识总量是2a
B．2009年底人类知识总量是8a
C．2019年底人类知识总量是213a
D．2020年底人类知识总量是218a
解：选项A：2006年底人类知识总量为a×2×2＝4a，故A错误，
选项B：2009年底人类知识总量为a×2×2×2＝8a，故B正确，
选项C：2019年底人类知识总量为8a×210＝213a，故C正确，
选项D：2020年底人类知识总量为213a×25＝218a，故D正确，
故选：BCD．
12．下列曲线中，与直线l：2x﹣y+3＝0相切的是（ ）
A．曲线
B．曲线C2：y＝ln2x+4
C．曲线
D．曲线
解：对于A，，消去y得：4x2﹣12x+9＝0，
则△＝（﹣12）2﹣4×4×9＝0，
则直线与曲线相切，故选项A正确；
对于B，y＝ln2x+4，则y′＝，令，解得x＝，
代入直线方程可得切点为（，4），
满足在y＝ln2x+4上，故直线与曲线相切，故选项B正确；
对于C，曲线的一条渐近线为：y＝2x与直线l：2x﹣y+3＝0平行，
所以直线l与曲线相交于一点，故不相切，故选项C不正确；
对于D，曲线，则y′＝6x2﹣10x+6，
令6x2﹣10x+6＝2，解得x＝或1，
当x＝时，代入直线可得切点为（，），不满足在曲线上，
当x＝1时，代入直线可得切点为（1，5），满足在曲线上，故直线与曲线相切，故选项D正确．
故选：ABD．
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．函数f（x）＝（x+1）ex的最小值是
解：由f（x）＝（x+1）ex，得f′（x）＝（x+2）ex；
当x＜﹣2时，f′（x）＜0，
当x＞﹣2时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）＝（x+1）ex在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增；
所以当x＝﹣2时，函数f（x）＝（x+1）ex有最小值；
故答案为：．
14．以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是 ．
解：∵椭圆方程为：＝1，
∴其焦点坐标为：（﹣，0）、（，0），
顶点坐标为：（﹣2，0）、（2，0），
∴双曲线的焦点坐标为：（﹣2，0）、（2，0），
顶点坐标为：（﹣，0）、（，0），
∴双曲线方程：中a＝、c＝2，
∴b2＝c2﹣a2＝8﹣3＝5，
∴双曲线方程：，
故答案为：．
15．已知数列{an}满足a1＝1，且an+1﹣an＝n+1，则数列的前100项和为 ．
解：由题意，可得a1＝1，
a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，…，an﹣an﹣1＝n，
各项相加，可得an＝1+2+3+…+n＝，
∴＝＝2（﹣），
∴++…+
＝2×（1﹣）+2×（﹣）+…+2×（﹣）
＝2×（1﹣+﹣+…+﹣）
＝2×（1﹣）
＝．
故答案为：．
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA各棱的中点，则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为 ；若P，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sinθ的值为 ．
解：如图，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
设正方体的棱长为2，则A1（2，0，2），E（2，1，0），C（0，2，0），G（1，2，2），
所以，
所以•＝0+2﹣2＝0，•＝2+2﹣4＝0，
则，
故A1C⊥EF，A1C⊥EG，又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFGHKL，
所以A1C⊥平面EFGHKL，
故直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为；
D1（0，0，2），B（2，2，0），
所以，，
设平面EFGHKL的法向量为，
则，即，令y＝1，则x＝﹣1，z＝﹣1，
所以，
设直线D1B与平面EFGHKL所成的角为α，
则，
因为直线PQ⊂平面EFGHKL，
所以直线D1B与直线PQ所成的角最小时即为直线D1B与平面EFGHKL所成的角，
所以sinθ＝．
故答案为：；．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在①S8＝72，②S5＝6a2，③S6＝S4+a5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝6，______，若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：方案一：选条件①
由题意，设等差数列{an}的公比为q，
则，
解得，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*，
∴＝22n＝4n，n∈N*，
∴数列{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列，
∴Tn＝＝（4n﹣1）．
方案二：选条件②
由题意，设等差数列{an}的公比为q，
则，
即，
解得，
∴an＝4+1×（n﹣1）＝n+3，n∈N*，
∴＝2n+3＝16×2n﹣1，n∈N*，
∴数列{bn}是以16为首项，2为公比的等比数列，
∴Tn＝＝16×（2n﹣1）．
方案三：选条件③
由题意，设等差数列{an}的公比为q，
∵S6＝S4+a5，
∴S6﹣S4＝a5，即a6+a5＝a5，
∴a6＝0，
联立，
解得，
∴an＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n，n∈N*，
∴＝212﹣2n＝212×，n∈N*，
∴Tn＝b1+b2+…+bn
＝212×+212×+…+212×
＝212×（++…+）
＝212×
＝×[1﹣（）n]．
18．已知m，n，a∈R，函数f（x）＝x3﹣3x2的单调递减区间A＝[m，n]，区间B＝[2a﹣1，a+3]．
（1）求m和n的值；
（2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围．
解：（1）f'（x）＝3x2﹣6x，
由f'（x）≤0，有3x2﹣6x≤0，得0≤x≤2，
又f（x）＝x3﹣3x2的单调递减区间为A＝[m，n]，
所以m＝0，n＝2；
（2）B＝[2a﹣1，a+3]，则2a﹣1＜a+3，解得a＜4．
又x∈A是x∈B的充分条件，可知A⊆B，
有，得，
故实数a的取值范围为．
19．已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点．
（1）若直线l的斜率为﹣1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；
（2）若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．
【解答】（1）解：抛物线为y2＝4x，所以焦点坐标为（1，0），直线AB斜率为﹣1，则直线AB方程为：y＝﹣x+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得：x2﹣6x+1＝0，
可得x1+x2＝6
由抛物线定义可得|AB|＝x1+x2+2，所以|AB|＝8
（2）证明：设直线AB方程为：x＝my+n，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为OA⊥OB，所以．所以x1x2+y1y2＝0，由得：y2﹣4my﹣4n＝0
所以，y1y2＝﹣4n；；所以n2﹣4n＝0，解得n＝0，或n＝4
当n＝0时，直线AB过原点，不满足题意；当n＝4时，直线AB过点（4，0）
故当OA⊥OB时，直线AB过定点（4，0）
20．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值；
（2）求平面PBC1与平面AQC1所形成的锐二面角的余弦值．
解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，
则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，
故以为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
∵AB＝AA1＝2，A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），
A1（0，﹣1，2），，C1（0，1，2）．
（1）∵Q为BC的中点，∴，∴，，，
设平面AQC1的一个法向量为，
由，可取，
设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，
，
∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．
（2），，C1（0，2，2），
设平面PBC1的法向量为
则可得，，
由，，
得：，
令y1＝1，可得，z1＝1，故，
由（1）得平面AQC1的一个法向量为，
，
故平面PBC1与平面AQC1所成的锐二面角的余弦值为．
21．已知椭圆的一个焦点为F（﹣1，0），且椭圆M过点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为P，Q，求△FPQ面积的最大值．
解：（1）由题意可得，
解得：a2＝4，b2＝3，故椭圆M的方程．
（2）由题意可得直线AB，CD斜率均存在，
设AB的斜率为k，CD斜率为，设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的方程为y＝k（x+1），由得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，则，
可得点P的横坐标为，代入y＝k（x+1），得点P的纵坐标为，
故点P坐标为，
则，
将k换为，得，
故△FPQ面积，
令，u≥2，故，，
当u≥2时，S'＜0，故S（u）在[2，+∞）单调递减，故u＝2，，
所以△FPQ面积的最大值．
22．已知函数f（x）＝x2+bx+c，g（x）＝lnx．
（1）令h（x）＝f（x）+g（x），求函数h（x）的单调递增区间；
（2）当b＝﹣1，c＞0时，求证：与函数f（x），g（x）图象都相切的直线l有两条．
解：（1）由h（x）＝f（x）+g（x）＝x2+bx+c+lnx（x＞0），
得，
若△≤0，，h'（x）≥0恒成立，h（x）为（0，+∞）上的单调增函数，
若△＞0，时，h'（x）＞0恒成立，h（x）为（0，+∞）上的单调增函数，
时，由h'（x）＞0，得和，
综上，时，h（x）的单调增区间为（0，+∞），
时，h（x）的单调增区间为和．
（2）证明：记直线l分别切f（x），g（x）的图象于点，（x2，lnx2），
由f'（x）＝2x﹣1，得l的方程为，
即：，
由，得l的方程为，即，
所以（*），
消去x1得（**），
令，则，x＞0，
由F'（x）＝0，解得：x＝1，
当0＜x＜1时，F'（x）＜0，当x＞1时，F'（x）＞0，
所以F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
且F（x）min＝F（1）＝﹣c，由c＞0，F（1）＜0，
下面验证F（x）＝0存在两个不等的正数解：
取x＝ec+1，F（ec+1）＞ln（ec+1）﹣（c+1）＝0，
故方程（**）在（1，+∞）上存在唯一解，
令，由于，
故k（x）在（0，1]上单调递减，
故当0＜x＜1时，k（x）＞k（1）＝0，即，
从而，
取，则，
故方程（**）在（0，1）上存在唯一解，
综上，c＞0时，方程（**）有两个不同的正数解，方程组（*）有两组解，
即与函数f（x），g（x）的图象都相切的直线有且只有两条．
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