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江苏省南京市宁海中学2020—2021学年高二上学期期末数学试卷 （解析版）
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这是一份江苏省南京市宁海中学2020—2021学年高二上学期期末数学试卷 （解析版），共22页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南京市宁海中学高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a5＝2，则S5＝（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
2．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是（ ）
A．∀x∉（0，+∞），lnx＝x﹣1 B．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1
C．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 D．∃x0∉（0，+∞），lnx0＝x0﹣1
3．若a＞b，则（ ）
A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0 D．|a|＞|b|
4．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知x＞0，y＞0，且9x+y＝1，则的最小值是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
6．如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．意大利数学家斐波那契（1770～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an+2＝an+1+an，若a2+a3+a5+a7+a9+…+a59＝ak，则k＝（ ）
A．2020 B．2021 C．59 D．60
8．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2+（y+）2＝1上一点，则|MN|+|MF2|的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．
9．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）
A．在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平
B．若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元
C．若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元
D．若“金融业”生产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元
10．下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的几个命题，其中正确的有（ ）
A．数列{an}递增
B．数列是递增的等差数列
C．若an＝n，Sn为{an}的前n项和，且为等差数列，则c＝0
D．若a7＝0，则方程Sn＝0有唯一的根n＝13
11．设a＞0，b＞0，称为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数．如图，C为线段AB上的点，且|AC|＝a，|CB|＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．取弧的中点为F，连接FC，则在图中能体现出的不等式有（ ）
A． B．
C． D．
12．笛卡尔、牛顿都研究过方程（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy，关于这个方程表示的曲线有下列说法，其中正确的有（ ）
A．该曲线不关于y轴对称
B．该曲线关于原点对称
C．该曲线不经过第三象限
D．该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数x
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则•s2＝ ．
14．已知空间向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），＝（1，﹣x，2），若（+）⊥，则x＝ ．
15．已知正项等比数列{an}，，若存在两项am，an，使得，则的最小值为 ．
16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC、CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点（含边界），若A1P∥平面AEF，点P的轨迹长度为 ．直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是 ．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知A＝{x|＜0}，B＝{x|x2﹣2x+1﹣m2＜0，m＞0}．
（1）若m＝2，求A∩B；
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB＝1，，∠BAD＝120°，E为PC中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；
（Ⅱ）求二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值．
19．2020年9月份，南京出台了＜南京市生活垃圾管理条例＞，提出2020年11月1日起，实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需征集一部分垃圾分类志愿者．已知某垃圾站的日垃圾分拣量（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足线性回归直线方程＝bx+a，数据统计如表：
志愿者人数x（人）
2
3
4
5
6
日垃圾分拣量y（千克）
25
30
40
45
t
（1）已知＝yi＝40，2＝90，＝885，根据所给数据求t和线性回归直线方程＝x+．
（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与xi对应的口垃圾分拣量的估计值．当分拣数据yi与估计值满足||≤2时，则将分拣数据（xi，yi）称为一个“正常数据”．现从题中5个分拣数据中任取2个，求2个都是“正常数据”的概率．
参考公式：，＝﹣．
20．已知抛物线C：y2＝2px的焦点坐标为F，焦点到准线的距离与抛物线通经长度的和为，过点P（1，0）的直线l交C于A，B两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）请从以下条件中选择一个作为条件，求出直线l的方程．
条件：①；②＝3；③S△AOB＝2．
21．已知数列{an}满足：a1＝2，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Tn；
（3）设，数列{bn}的前n项和为Sn，求S2n﹣Sn的最小值．
22．已知椭圆C的方程为，过点作直线与椭圆交于A，B两点，P是椭圆的右顶点．
（1）求证：PA⊥PB；
（2）求|PA|•|PB|的最大值．
参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a5＝2，则S5＝（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
解：因为数列{an}为等差数列，设其公差为d，前n项和为Sn，则S2n﹣1＝（2n﹣1）an．
所以S5＝5a3，
又a1+a5＝2，所以a3＝1，
所以S5＝5a3＝5
故选：A．
2．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是（ ）
A．∀x∉（0，+∞），lnx＝x﹣1 B．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1
C．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 D．∃x0∉（0，+∞），lnx0＝x0﹣1
解：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”
故选：B．
3．若a＞b，则（ ）
A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0 D．|a|＞|b|
解：取a＝0，b＝﹣1，则
ln（a﹣b）＝ln1＝0，排除A；
，排除B；
a3＝03＞（﹣1）3＝﹣1＝b3，故C对；
|a|＝0＜|﹣1|＝1＝b，排除D．
故选：C．
4．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，
小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，
设相遇时是第n天，
则满足+≥33，
即2n﹣1+2﹣≥33，
即2n﹣≥32，
则f（n）＝2n﹣在n≥1上是增函数，
∵f（5）＝25﹣＝32﹣＜32，
f（6）＝26﹣＝64﹣＞32，
∴相遇时是第6天，
故选：B．
5．已知x＞0，y＞0，且9x+y＝1，则的最小值是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
解：∵x＞0，y＞0，且9x+y＝1，
∴＝（9x+y）（）＝10+＝≥6+10＝16，
（当且仅当且9x+y＝1即，y＝取等号）
故选：D．
6．如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
解：在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，
则＝（+），＝（）．
∴＝++．
故选：C．
7．意大利数学家斐波那契（1770～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an+2＝an+1+an，若a2+a3+a5+a7+a9+…+a59＝ak，则k＝（ ）
A．2020 B．2021 C．59 D．60
解：∵斐波那契数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N*），
∴a2+a3+a5+a7+a9+…+a59
＝a4+a5+a7+a9+…+a59
＝a6+a7+a9+…+a59
＝…
＝a58+a59
＝a60
＝ak，则k＝60，
故选：D．
8．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2+（y+）2＝1上一点，则|MN|+|MF2|的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
解：由题意可得2a＝6，即a＝3，
渐近线方程为y＝±x，即有＝，
即b＝1，可得双曲线方程为﹣y2＝1，
焦点为F1（﹣，0），F2，（，0），
由双曲线的定义可得|MF2|＝2a+|MF1|＝6+|MF1|，
由圆E：x2+（y+）2＝1可得E（0，﹣），半径r＝1，
|MN|+|MF2|＝6+|MN|+|MF1|，
连接EF1，交双曲线于M，圆于N，
可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|＝＝4，
则则|MN|+|MF2|的最小值为6+4﹣1＝9．
故选：B．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．
9．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）
A．在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平
B．若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元
C．若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元
D．若“金融业”生产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元
解：对于选项A：在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和所占比为16%+16%＝32%，“其他服务业”的生产总值占比32%，所以“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平，故选项A正确，
对于选项B：若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，因为“租赁和商务服务业”生产总值占比6%，所以第三产业生产总值为＝250000亿元，
又因为“房地产业”生产总值占比13%，所以“房地产业”生产总值为13%×250000＝32500亿元，故选项B错误，
对于选项C：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比16%，所以第三产业生产总值为＝262500亿元，故选项C正确，
对于选项D：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比16%，所以第三产业生产总值为＝262500亿元，又因为第三产业生产总值占比57%，第一产业生产总值占比6%，所以第一产业生产总值为×6%≈27631亿元，所以选项D错误，
故选：AC．
10．下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的几个命题，其中正确的有（ ）
A．数列{an}递增
B．数列是递增的等差数列
C．若an＝n，Sn为{an}的前n项和，且为等差数列，则c＝0
D．若a7＝0，则方程Sn＝0有唯一的根n＝13
解：A、设等差数列的首项为a1，公差d＞0，则an＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，
所以数列{an}是递增数列，故A选项符合题意；
B、＝a1+an＝a1+[a1+（n﹣1）d]＝a1+（n﹣1）•，
所以数列是以a1为首项，为公差的等差数列．＞0，
该数列是递增的等差数列，故B选项符合题意；
C、由an＝n得到：Sn＝．
由为等差数列可设：＝kn+b．
即Sn＝＝（n+c）（kn+b）＝kn2+（kc+b）n+bc．
所以当n（n+1）＝n2+n＝2kn2+2（kc+b）n+bc恒成立时，2k＝1，2（kc+b）＝1，bc＝0．
所以k＝，b＝0或c＝0．
当b＝0时，c＝1．当c＝0时，b＝．综上所述，c＝1或c＝0．故C选项不符合题意；
D、由a7＝0，得S6＝S7，
又因为数列{an}递增，所以当n≤6时，Sn递增，
当n≥7时，Sn递增．所以Sn最小值是S6或S7，所以S12＝S1＝a1＜0．
由当n≤6时，Sn＜0．故当且仅当n＝13时，S13＝＝13a7＝0，故D选项符合题意．
故选：ABD．
11．设a＞0，b＞0，称为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数．如图，C为线段AB上的点，且|AC|＝a，|CB|＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．取弧的中点为F，连接FC，则在图中能体现出的不等式有（ ）
A． B．
C． D．
解：由题意可得：OC＝，CD＝，OD＝，
在Rt△OCD中，由射影定理可得：DE＝＝＝，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得：CF＝＝＝，
利用直角三角形的边的关系，可得CF＞OD＞CD＞DE．
当O和C重合时，CF＝OD＝CD＝DE，
所以≥≥≥，
结合选项可知ABD正确．
故选：ABD．
12．笛卡尔、牛顿都研究过方程（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy，关于这个方程表示的曲线有下列说法，其中正确的有（ ）
A．该曲线不关于y轴对称
B．该曲线关于原点对称
C．该曲线不经过第三象限
D．该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数x
解：设P（x，y）为曲线（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy上，
以﹣x代替x，得到（x+1）（x+2）（x+3）＝xy，方程改变，故不关于y轴对称，故A正确，
以﹣x代替x，﹣y代替y，得到（x+1）（x+2）（x+3）＝﹣xy，方程改变，故不关于原点对称，故B错误，
当x＜0，y＜0时，（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＜0，xy＞0，显然方程不成立，
所以该曲线不经过第三象限，故C正确，
令x＝﹣1得y＝24，即（﹣1，24）适合题意，
同理可得（1，0）（2，0）（3，0）适合题意，故D错误，
故选：AC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则•s2＝ 7 ．
解：∵某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，
∴此时这8个数的平均数为＝（4×7+4）＝4，
方差为s2＝（7×2+02）＝，则•s2＝4×＝7．
故答案为：7．
14．已知空间向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），＝（1，﹣x，2），若（+）⊥，则x＝ ﹣4 ．
解：∵空间向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），
∴＝（﹣2，1，3+x），
∵＝（1，﹣x，2），（+）⊥，
∴（）•＝﹣2﹣x+2（3+x）＝0，
x＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．已知正项等比数列{an}，，若存在两项am，an，使得，则的最小值为 2 ．
解：因为正项等比数列{an}，，存在两项am，an，使得，
所以＝，
化为＝（）2，
所以m+n﹣2＝2，即m+n＝4，
所以＝﹣（4﹣n）＝n+﹣4≥2﹣4＝2，当且仅当n＝，即n＝3时取等号，
所以的最小值为2．
故答案为：2．
16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC、CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点（含边界），若A1P∥平面AEF，点P的轨迹长度为 ．直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是 [2，2] ．
解：如图，分别取棱BB1，B1C1的中点M，N，连接A1M，A1N，MN，BC1，NE，
∵M，N，E，F分别是其所在棱的中点，
∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，
∵MN⊄平面AEF，EF⊂平面 AEF，∴MN∥平面AEF，
∵AA1∥NE，AA1＝NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，
∵A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，
∵A1N∩MN＝N，∴平面A1MN∥平面AEF，
∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，
∴点P必在线段MN上，∴点P的轨迹长度为MN＝＝．
∵点P的轨迹是线段MN，A1B1⊥平面BCC1B1，
∴直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值为A1B1与P到B1的距离之比，
设O是MN的中点，则MO＝NO＝，
∵A1B1＝1，P到B1的距离的最大值为MB1＝NB1＝，
∴直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最小值为＝2，
∵P到B1的距离的最小值为B1O＝＝，
∴直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为＝2．
∴直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是[2，2]．
故答案为：；[2，2]．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知A＝{x|＜0}，B＝{x|x2﹣2x+1﹣m2＜0，m＞0}．
（1）若m＝2，求A∩B；
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解：（1）＜0等价于（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，
所以A＝{x|＜0}＝{x|1＜x＜2}，
B＝{x|x2﹣2x+1﹣m2＜0，m＞0}＝{x|1﹣m＜x＜1+m}，
当m＝2时，B＝{x|﹣1＜x＜3}，此时A∩B＝{x|1＜x＜2}．
（2）因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A⫋B，
所以且等号不能同时成立，解得m≥1，
故m的取值范围为[1，+∞）．
18．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB＝1，，∠BAD＝120°，E为PC中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；
（Ⅱ）求二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值．
解：（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO，
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD
∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点
∴EO∥PA
又∵PA⊥面ABCD，
∴EO⊥面ABCD
∵AC⊂面ABCD，∴AC⊥EO
又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线
∴AC⊥面BED
（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得
∴
设是平面ABE一个法向量
由，解得，
所以取x1＝1，，，可得，
因为PA⊥平面ABC，所以向量即为平面ABC的一个法向量，设＝
∴
根据题意可知：二面角E﹣AB﹣C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n1，n2＞|＝
∴二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值为．
19．2020年9月份，南京出台了＜南京市生活垃圾管理条例＞，提出2020年11月1日起，实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需征集一部分垃圾分类志愿者．已知某垃圾站的日垃圾分拣量（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足线性回归直线方程＝bx+a，数据统计如表：
志愿者人数x（人）
2
3
4
5
6
日垃圾分拣量y（千克）
25
30
40
45
t
（1）已知＝yi＝40，2＝90，＝885，根据所给数据求t和线性回归直线方程＝x+．
（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与xi对应的口垃圾分拣量的估计值．当分拣数据yi与估计值满足||≤2时，则将分拣数据（xi，yi）称为一个“正常数据”．现从题中5个分拣数据中任取2个，求2个都是“正常数据”的概率．
参考公式：，＝﹣．
解：（1）由表可知，，
（25+30+40+45+t）＝40，∴t＝60．
∴＝＝8.5，
＝6，
∴回归直线方程为＝8.5x+6；
（2）将x1＝2，x2＝3，x3＝4，x4＝5，x5＝6分别代入回归直线方程得，
＝23，＝31.5，＝40，＝48.5，＝57，
∴||＝|23﹣25|＝2≤2，属于“正常数据”，
||＝|31.5﹣30|＝1.5≤2，属于“正常数据”，
||＝|40﹣40|＝0≤2，属于“正常数据”，
||＝|48.5﹣45|＝3.5＞2，不属于“正常数据”，
||＝|57﹣60|＝3＞2，不属于“正常数据”，
可知5个分拣数据有3个正常数据，
从中任取2个，2个都是“正常数据”的概率为P＝．
20．已知抛物线C：y2＝2px的焦点坐标为F，焦点到准线的距离与抛物线通经长度的和为，过点P（1，0）的直线l交C于A，B两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）请从以下条件中选择一个作为条件，求出直线l的方程．
条件：①；②＝3；③S△AOB＝2．
解：（1）由题意可得：p+2p＝，则p＝，
所以抛物线的方程为y2＝3x；
（2）选择条件①
设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程，消去x整理可得：y2﹣3my﹣3＝0，
所以y1+y2＝3m，y1y2＝﹣3，
所以|AB|＝＝，
解得m＝，
所以直线l的方程为x，即3x±2y﹣3＝0．
选择条件②
设A（），B（），
则，，因为，
所以，解得y2＝1或﹣1，
所以B（，1）或（，﹣1），
所以直线l的斜率k＝或k＝
所以直线l的方程为y＝±，即3x±2y﹣3＝0．
选择条件③
设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程，消去x整理可得：y2﹣3my﹣3＝0，
所以y1+y2＝3m，y1y2＝﹣3，
所以三角形AOB的面积为S＝
＝，
解得m＝，
所以直线l的方程为3x±2y﹣3＝0．
21．已知数列{an}满足：a1＝2，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Tn；
（3）设，数列{bn}的前n项和为Sn，求S2n﹣Sn的最小值．
解：（1）因为{an}满足a1＝2，⇒，
＝＝n•2n．
故数列{an}的通项公式．
（2）令…①，
…②，
①﹣②：，
⇒，
故数列{an}的前n项和．
（3）由（1）得＝，令，
＞＝0，
所以{cn}是单调递增数列，故{cn}min＝c1＝．
故S2n﹣Sn的最小值为．
22．已知椭圆C的方程为，过点作直线与椭圆交于A，B两点，P是椭圆的右顶点．
（1）求证：PA⊥PB；
（2）求|PA|•|PB|的最大值．
解：（1）证明：设直线AB的方程为x＝my+，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程，消去x整理可得：（2+m2）y＝0，
所以y，y，
因为＝（x1﹣2，y1）•（x2﹣2，y2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+y1y2+4
＝（my）（my）﹣2[m（y+]+y1y2+4＝（1+m2）y
＝（1+m2）×+＝0，
所以PA⊥PB；
（2）点P到直线AB的距离为d＝，
弦长AB＝＝，
由等面积法可得：PA•PB＝AB•d＝，
令t＝2+m2≥2，则PA，
再令n＝，则PA•PB＝，
所以当n＝时，（PA•PB）max＝，
所以|PA|•|PB|的最大值为．
2020-2021学年江苏省南京市宁海中学高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a5＝2，则S5＝（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
2．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是（ ）
A．∀x∉（0，+∞），lnx＝x﹣1 B．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1
C．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 D．∃x0∉（0，+∞），lnx0＝x0﹣1
3．若a＞b，则（ ）
A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0 D．|a|＞|b|
4．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知x＞0，y＞0，且9x+y＝1，则的最小值是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
6．如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．意大利数学家斐波那契（1770～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an+2＝an+1+an，若a2+a3+a5+a7+a9+…+a59＝ak，则k＝（ ）
A．2020 B．2021 C．59 D．60
8．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2+（y+）2＝1上一点，则|MN|+|MF2|的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．
9．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）
A．在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平
B．若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元
C．若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元
D．若“金融业”生产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元
10．下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的几个命题，其中正确的有（ ）
A．数列{an}递增
B．数列是递增的等差数列
C．若an＝n，Sn为{an}的前n项和，且为等差数列，则c＝0
D．若a7＝0，则方程Sn＝0有唯一的根n＝13
11．设a＞0，b＞0，称为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数．如图，C为线段AB上的点，且|AC|＝a，|CB|＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．取弧的中点为F，连接FC，则在图中能体现出的不等式有（ ）
A． B．
C． D．
12．笛卡尔、牛顿都研究过方程（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy，关于这个方程表示的曲线有下列说法，其中正确的有（ ）
A．该曲线不关于y轴对称
B．该曲线关于原点对称
C．该曲线不经过第三象限
D．该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数x
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则•s2＝ ．
14．已知空间向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），＝（1，﹣x，2），若（+）⊥，则x＝ ．
15．已知正项等比数列{an}，，若存在两项am，an，使得，则的最小值为 ．
16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC、CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点（含边界），若A1P∥平面AEF，点P的轨迹长度为 ．直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是 ．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知A＝{x|＜0}，B＝{x|x2﹣2x+1﹣m2＜0，m＞0}．
（1）若m＝2，求A∩B；
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB＝1，，∠BAD＝120°，E为PC中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；
（Ⅱ）求二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值．
19．2020年9月份，南京出台了＜南京市生活垃圾管理条例＞，提出2020年11月1日起，实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需征集一部分垃圾分类志愿者．已知某垃圾站的日垃圾分拣量（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足线性回归直线方程＝bx+a，数据统计如表：
志愿者人数x（人）
2
3
4
5
6
日垃圾分拣量y（千克）
25
30
40
45
t
（1）已知＝yi＝40，2＝90，＝885，根据所给数据求t和线性回归直线方程＝x+．
（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与xi对应的口垃圾分拣量的估计值．当分拣数据yi与估计值满足||≤2时，则将分拣数据（xi，yi）称为一个“正常数据”．现从题中5个分拣数据中任取2个，求2个都是“正常数据”的概率．
参考公式：，＝﹣．
20．已知抛物线C：y2＝2px的焦点坐标为F，焦点到准线的距离与抛物线通经长度的和为，过点P（1，0）的直线l交C于A，B两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）请从以下条件中选择一个作为条件，求出直线l的方程．
条件：①；②＝3；③S△AOB＝2．
21．已知数列{an}满足：a1＝2，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Tn；
（3）设，数列{bn}的前n项和为Sn，求S2n﹣Sn的最小值．
22．已知椭圆C的方程为，过点作直线与椭圆交于A，B两点，P是椭圆的右顶点．
（1）求证：PA⊥PB；
（2）求|PA|•|PB|的最大值．
参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a5＝2，则S5＝（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
解：因为数列{an}为等差数列，设其公差为d，前n项和为Sn，则S2n﹣1＝（2n﹣1）an．
所以S5＝5a3，
又a1+a5＝2，所以a3＝1，
所以S5＝5a3＝5
故选：A．
2．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是（ ）
A．∀x∉（0，+∞），lnx＝x﹣1 B．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1
C．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 D．∃x0∉（0，+∞），lnx0＝x0﹣1
解：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”
故选：B．
3．若a＞b，则（ ）
A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0 D．|a|＞|b|
解：取a＝0，b＝﹣1，则
ln（a﹣b）＝ln1＝0，排除A；
，排除B；
a3＝03＞（﹣1）3＝﹣1＝b3，故C对；
|a|＝0＜|﹣1|＝1＝b，排除D．
故选：C．
4．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，
小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，
设相遇时是第n天，
则满足+≥33，
即2n﹣1+2﹣≥33，
即2n﹣≥32，
则f（n）＝2n﹣在n≥1上是增函数，
∵f（5）＝25﹣＝32﹣＜32，
f（6）＝26﹣＝64﹣＞32，
∴相遇时是第6天，
故选：B．
5．已知x＞0，y＞0，且9x+y＝1，则的最小值是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
解：∵x＞0，y＞0，且9x+y＝1，
∴＝（9x+y）（）＝10+＝≥6+10＝16，
（当且仅当且9x+y＝1即，y＝取等号）
故选：D．
6．如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
解：在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，
则＝（+），＝（）．
∴＝++．
故选：C．
7．意大利数学家斐波那契（1770～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an+2＝an+1+an，若a2+a3+a5+a7+a9+…+a59＝ak，则k＝（ ）
A．2020 B．2021 C．59 D．60
解：∵斐波那契数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N*），
∴a2+a3+a5+a7+a9+…+a59
＝a4+a5+a7+a9+…+a59
＝a6+a7+a9+…+a59
＝…
＝a58+a59
＝a60
＝ak，则k＝60，
故选：D．
8．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2+（y+）2＝1上一点，则|MN|+|MF2|的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
解：由题意可得2a＝6，即a＝3，
渐近线方程为y＝±x，即有＝，
即b＝1，可得双曲线方程为﹣y2＝1，
焦点为F1（﹣，0），F2，（，0），
由双曲线的定义可得|MF2|＝2a+|MF1|＝6+|MF1|，
由圆E：x2+（y+）2＝1可得E（0，﹣），半径r＝1，
|MN|+|MF2|＝6+|MN|+|MF1|，
连接EF1，交双曲线于M，圆于N，
可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|＝＝4，
则则|MN|+|MF2|的最小值为6+4﹣1＝9．
故选：B．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．
9．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）
A．在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平
B．若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元
C．若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元
D．若“金融业”生产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元
解：对于选项A：在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和所占比为16%+16%＝32%，“其他服务业”的生产总值占比32%，所以“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平，故选项A正确，
对于选项B：若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，因为“租赁和商务服务业”生产总值占比6%，所以第三产业生产总值为＝250000亿元，
又因为“房地产业”生产总值占比13%，所以“房地产业”生产总值为13%×250000＝32500亿元，故选项B错误，
对于选项C：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比16%，所以第三产业生产总值为＝262500亿元，故选项C正确，
对于选项D：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比16%，所以第三产业生产总值为＝262500亿元，又因为第三产业生产总值占比57%，第一产业生产总值占比6%，所以第一产业生产总值为×6%≈27631亿元，所以选项D错误，
故选：AC．
10．下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的几个命题，其中正确的有（ ）
A．数列{an}递增
B．数列是递增的等差数列
C．若an＝n，Sn为{an}的前n项和，且为等差数列，则c＝0
D．若a7＝0，则方程Sn＝0有唯一的根n＝13
解：A、设等差数列的首项为a1，公差d＞0，则an＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，
所以数列{an}是递增数列，故A选项符合题意；
B、＝a1+an＝a1+[a1+（n﹣1）d]＝a1+（n﹣1）•，
所以数列是以a1为首项，为公差的等差数列．＞0，
该数列是递增的等差数列，故B选项符合题意；
C、由an＝n得到：Sn＝．
由为等差数列可设：＝kn+b．
即Sn＝＝（n+c）（kn+b）＝kn2+（kc+b）n+bc．
所以当n（n+1）＝n2+n＝2kn2+2（kc+b）n+bc恒成立时，2k＝1，2（kc+b）＝1，bc＝0．
所以k＝，b＝0或c＝0．
当b＝0时，c＝1．当c＝0时，b＝．综上所述，c＝1或c＝0．故C选项不符合题意；
D、由a7＝0，得S6＝S7，
又因为数列{an}递增，所以当n≤6时，Sn递增，
当n≥7时，Sn递增．所以Sn最小值是S6或S7，所以S12＝S1＝a1＜0．
由当n≤6时，Sn＜0．故当且仅当n＝13时，S13＝＝13a7＝0，故D选项符合题意．
故选：ABD．
11．设a＞0，b＞0，称为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数．如图，C为线段AB上的点，且|AC|＝a，|CB|＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．取弧的中点为F，连接FC，则在图中能体现出的不等式有（ ）
A． B．
C． D．
解：由题意可得：OC＝，CD＝，OD＝，
在Rt△OCD中，由射影定理可得：DE＝＝＝，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得：CF＝＝＝，
利用直角三角形的边的关系，可得CF＞OD＞CD＞DE．
当O和C重合时，CF＝OD＝CD＝DE，
所以≥≥≥，
结合选项可知ABD正确．
故选：ABD．
12．笛卡尔、牛顿都研究过方程（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy，关于这个方程表示的曲线有下列说法，其中正确的有（ ）
A．该曲线不关于y轴对称
B．该曲线关于原点对称
C．该曲线不经过第三象限
D．该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数x
解：设P（x，y）为曲线（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy上，
以﹣x代替x，得到（x+1）（x+2）（x+3）＝xy，方程改变，故不关于y轴对称，故A正确，
以﹣x代替x，﹣y代替y，得到（x+1）（x+2）（x+3）＝﹣xy，方程改变，故不关于原点对称，故B错误，
当x＜0，y＜0时，（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＜0，xy＞0，显然方程不成立，
所以该曲线不经过第三象限，故C正确，
令x＝﹣1得y＝24，即（﹣1，24）适合题意，
同理可得（1，0）（2，0）（3，0）适合题意，故D错误，
故选：AC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则•s2＝ 7 ．
解：∵某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，
∴此时这8个数的平均数为＝（4×7+4）＝4，
方差为s2＝（7×2+02）＝，则•s2＝4×＝7．
故答案为：7．
14．已知空间向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），＝（1，﹣x，2），若（+）⊥，则x＝ ﹣4 ．
解：∵空间向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），
∴＝（﹣2，1，3+x），
∵＝（1，﹣x，2），（+）⊥，
∴（）•＝﹣2﹣x+2（3+x）＝0，
x＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．已知正项等比数列{an}，，若存在两项am，an，使得，则的最小值为 2 ．
解：因为正项等比数列{an}，，存在两项am，an，使得，
所以＝，
化为＝（）2，
所以m+n﹣2＝2，即m+n＝4，
所以＝﹣（4﹣n）＝n+﹣4≥2﹣4＝2，当且仅当n＝，即n＝3时取等号，
所以的最小值为2．
故答案为：2．
16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC、CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点（含边界），若A1P∥平面AEF，点P的轨迹长度为 ．直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是 [2，2] ．
解：如图，分别取棱BB1，B1C1的中点M，N，连接A1M，A1N，MN，BC1，NE，
∵M，N，E，F分别是其所在棱的中点，
∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，
∵MN⊄平面AEF，EF⊂平面 AEF，∴MN∥平面AEF，
∵AA1∥NE，AA1＝NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，
∵A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，
∵A1N∩MN＝N，∴平面A1MN∥平面AEF，
∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，
∴点P必在线段MN上，∴点P的轨迹长度为MN＝＝．
∵点P的轨迹是线段MN，A1B1⊥平面BCC1B1，
∴直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值为A1B1与P到B1的距离之比，
设O是MN的中点，则MO＝NO＝，
∵A1B1＝1，P到B1的距离的最大值为MB1＝NB1＝，
∴直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最小值为＝2，
∵P到B1的距离的最小值为B1O＝＝，
∴直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为＝2．
∴直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是[2，2]．
故答案为：；[2，2]．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知A＝{x|＜0}，B＝{x|x2﹣2x+1﹣m2＜0，m＞0}．
（1）若m＝2，求A∩B；
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解：（1）＜0等价于（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，
所以A＝{x|＜0}＝{x|1＜x＜2}，
B＝{x|x2﹣2x+1﹣m2＜0，m＞0}＝{x|1﹣m＜x＜1+m}，
当m＝2时，B＝{x|﹣1＜x＜3}，此时A∩B＝{x|1＜x＜2}．
（2）因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A⫋B，
所以且等号不能同时成立，解得m≥1，
故m的取值范围为[1，+∞）．
18．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB＝1，，∠BAD＝120°，E为PC中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；
（Ⅱ）求二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值．
解：（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO，
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD
∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点
∴EO∥PA
又∵PA⊥面ABCD，
∴EO⊥面ABCD
∵AC⊂面ABCD，∴AC⊥EO
又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线
∴AC⊥面BED
（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得
∴
设是平面ABE一个法向量
由，解得，
所以取x1＝1，，，可得，
因为PA⊥平面ABC，所以向量即为平面ABC的一个法向量，设＝
∴
根据题意可知：二面角E﹣AB﹣C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n1，n2＞|＝
∴二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值为．
19．2020年9月份，南京出台了＜南京市生活垃圾管理条例＞，提出2020年11月1日起，实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需征集一部分垃圾分类志愿者．已知某垃圾站的日垃圾分拣量（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足线性回归直线方程＝bx+a，数据统计如表：
志愿者人数x（人）
2
3
4
5
6
日垃圾分拣量y（千克）
25
30
40
45
t
（1）已知＝yi＝40，2＝90，＝885，根据所给数据求t和线性回归直线方程＝x+．
（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与xi对应的口垃圾分拣量的估计值．当分拣数据yi与估计值满足||≤2时，则将分拣数据（xi，yi）称为一个“正常数据”．现从题中5个分拣数据中任取2个，求2个都是“正常数据”的概率．
参考公式：，＝﹣．
解：（1）由表可知，，
（25+30+40+45+t）＝40，∴t＝60．
∴＝＝8.5，
＝6，
∴回归直线方程为＝8.5x+6；
（2）将x1＝2，x2＝3，x3＝4，x4＝5，x5＝6分别代入回归直线方程得，
＝23，＝31.5，＝40，＝48.5，＝57，
∴||＝|23﹣25|＝2≤2，属于“正常数据”，
||＝|31.5﹣30|＝1.5≤2，属于“正常数据”，
||＝|40﹣40|＝0≤2，属于“正常数据”，
||＝|48.5﹣45|＝3.5＞2，不属于“正常数据”，
||＝|57﹣60|＝3＞2，不属于“正常数据”，
可知5个分拣数据有3个正常数据，
从中任取2个，2个都是“正常数据”的概率为P＝．
20．已知抛物线C：y2＝2px的焦点坐标为F，焦点到准线的距离与抛物线通经长度的和为，过点P（1，0）的直线l交C于A，B两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）请从以下条件中选择一个作为条件，求出直线l的方程．
条件：①；②＝3；③S△AOB＝2．
解：（1）由题意可得：p+2p＝，则p＝，
所以抛物线的方程为y2＝3x；
（2）选择条件①
设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程，消去x整理可得：y2﹣3my﹣3＝0，
所以y1+y2＝3m，y1y2＝﹣3，
所以|AB|＝＝，
解得m＝，
所以直线l的方程为x，即3x±2y﹣3＝0．
选择条件②
设A（），B（），
则，，因为，
所以，解得y2＝1或﹣1，
所以B（，1）或（，﹣1），
所以直线l的斜率k＝或k＝
所以直线l的方程为y＝±，即3x±2y﹣3＝0．
选择条件③
设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程，消去x整理可得：y2﹣3my﹣3＝0，
所以y1+y2＝3m，y1y2＝﹣3，
所以三角形AOB的面积为S＝
＝，
解得m＝，
所以直线l的方程为3x±2y﹣3＝0．
21．已知数列{an}满足：a1＝2，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Tn；
（3）设，数列{bn}的前n项和为Sn，求S2n﹣Sn的最小值．
解：（1）因为{an}满足a1＝2，⇒，
＝＝n•2n．
故数列{an}的通项公式．
（2）令…①，
…②，
①﹣②：，
⇒，
故数列{an}的前n项和．
（3）由（1）得＝，令，
＞＝0，
所以{cn}是单调递增数列，故{cn}min＝c1＝．
故S2n﹣Sn的最小值为．
22．已知椭圆C的方程为，过点作直线与椭圆交于A，B两点，P是椭圆的右顶点．
（1）求证：PA⊥PB；
（2）求|PA|•|PB|的最大值．
解：（1）证明：设直线AB的方程为x＝my+，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程，消去x整理可得：（2+m2）y＝0，
所以y，y，
因为＝（x1﹣2，y1）•（x2﹣2，y2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+y1y2+4
＝（my）（my）﹣2[m（y+]+y1y2+4＝（1+m2）y
＝（1+m2）×+＝0，
所以PA⊥PB；
（2）点P到直线AB的距离为d＝，
弦长AB＝＝，
由等面积法可得：PA•PB＝AB•d＝，
令t＝2+m2≥2，则PA，
再令n＝，则PA•PB＝，
所以当n＝时，（PA•PB）max＝，
所以|PA|•|PB|的最大值为．
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