期末考试仿真模拟试卷三- 2021届高三数学上学期（原卷+解析）（江苏等八省新高考地区适用）

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2020-2021学年高三数学上学期期末考试仿真模拟试卷三一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足(2＋i)z＝2i，其中i为虚数单位，则复数z的模为（    ）A．            B．             C．           D．【答案】C【解析】，，故选C．【点睛】本题考查了复数运算及模的定义,属于基础题.2. 已知集合 ，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】故选：C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法以及利用集合的交运算再求解.属于基础题.3. 已知角的终边过点，且，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题得．所以点，所以．故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，属于基础题.4.朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子．他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为，第八个音的频率为，则等于（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{an}，设公比为q，则=，且=2a1，∴q=，∴==q6=．故选A．【点睛】本题考查两个频率的比值的求法，考查等比数列的性质等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．5.已知双曲线的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若，则该双曲线的离心率为A． B．2 C． D．【答案】D【解析】如图，由，得，即，∴，即.则.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题.6.已知为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时， 因为,在单增,所以为单增函数因为为定义在上的奇函数, ，为单增函数,故选：D【点睛】本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式，属于基础题.7.已知一个球的半轻为3.则该球内接正六校锥的体积的最大值为（    ）A. 10 B.  C.  D. 【答案】C【解析】如图，设六棱锥球心为，底面中心为，设，则，，令，则，，可得时，，单调递增；时，，单调递减，，故该球内接正六校锥的体积的最大值为.故选：C.【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，解题的关键是将体积用函数表示，利用导数进行计算.属于中档题. 8.设函数，若存在区间，使得在上值域为，则实数k的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】由题意可得，设，则，所以当时，，所以函数在上单调递增，所以，所以在上单调递增，又因为，所以在上单调递增，又在上的值域为，所以，则方程在上的两个根为、，由，可得，构造函数，其中，，令，其中，，当时，，所以，函数在上单调递增，当时，，即，此时函数单调递减；当时，，即，此时函数单调递增.所以，，，如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题,常见方法如下:（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.（3）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；属于稍难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.下列命题中正确的是A．“”是“”的必要不充分条件B．“”是“”的充要条件C．“，”是真命题D．“，”的否定是：“，”【答案】BC【解析】“”是“”的充分不必要条件，故A错误；“，”的否定是：“，”，故D错误．故选BC．【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件以及存在命题的否定,属于基础题.10.设，称为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧AB的中点F，连接FC，则（    ）A．OD的长度是a，b的几何平均数 B．DE的长度是a，b的调和平均数C．CD的长度是a，b的算术平均数 D．FC的长度是a，b的加权平均数【答案】BD【解析】选项A 是直角，是斜边中点，则，是算术平均数，A错；选项B由直角中射影定理得，，在直角中由射影定理得是调和平均数，B正确；选项C 是几何平均数，C错；选项D连接，∵是弧的中点，∴，，∴为加权平均数．D正确.故选：BD．【点睛】本题考查了平均数，几何平均数，算术平均数，调和平均数，加权平均数，考查这些平均数在几何的几何意义．可用直角三角形的知识进行求解判断．属于基础题.11.已知函数，则（    ）A. 的图象关于点对称 B. 的图象的一条对称轴是C. 在上递减 D. 在值域为【答案】BC【解析】，所以.对选项A，，故A错误；对选项B，，所以为图象的一条对称轴，故B正确.对选项C，因为，所以，所以函数在为增函数，即在为减函数，故C正确.对选项D，，所以，所以，，故D错误.故选：BC【点睛】本题考查了导数运算公式以及三角函数图像与性质，属于中档题.12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且.则下列结论正确的是（    ）A．三棱锥的体积为定值B．当向运动时，二面角逐渐变小C．在平面内的射影长为D．当与重合时，异面直线与所成的角为【答案】AC【解析】选项A:连接,由正方体性质知是矩形， 连接交于点 由正方体性质知平面,所以，是点到平面的距离，即  是定值.选项B:连接与交于点，连接，由正方体性质知,是中点， ,又,的大小即为与所成的角，在直角三角形中，为定值.选项C:如图，作 在直角三角形中， 选项D:当与重合时，与重合，连接与交于点，连接,异面直线与所成的角,即为异面直线与所成的角,在三角形中，, 由余弦定理得 故选：AC【点睛】本题考查了空间几何体性质问题.通常解题思路：(1)弄清点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)弄清线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)弄清长度、角度等几何度量的变化．　求空间几何体体积方法：①直接利用公式进行求解．②求三棱锥的体积常用等体积转换法；③若所给定的几何体是不规则几何体，则利用割补法求解.属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.已知幂函数y= f(x)的图象过点，则曲线y= f(x)在点处的切线方程为___________【答案】【解析】设，将代入，，解得，，则，，则切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查了幂函数定义以及导数的几何意义,属于基础题.14. 在平面四边形ABCD中，已知点E，F分別在边AD，BC上，，，，，，则向量与的夹角的余弦值为________．【答案】【解析】如图，连结AC，取点G，使得AC=3AG，连结EG,FG，则为与所成交的补角，在中，由余弦定理可得，所以与所成交角的余弦值为故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理，考查解决问题能力和数学运算能力,属于基础题.15.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.【答案】【解析】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，所以圆的圆心为，半径为，故圆的标准方程为.故答案为：【点睛】本小题主要考查抛物线性质，考查圆的方程的求法，属于中档题.16.已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对，不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】由于函数的图象与直线相邻两个交点的距离为，则函数的最小正周期为，，，当时，，，，，由于不等式对恒成立，所以，解得．因此，的取值范围是．故选：A．【点睛】本题考查利用三角不等式恒成立求参数，同时也考查了利用正弦型函数的周期求参数，解答的关键在于求得和的取值范围，考查计算能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设函数，a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知f（A）＝0，b＝2.（1）若，求B；（2）若a＝2c，求△ABC的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数＝＝.由于f（A）＝0，所以，即，又，所以，所以，解得A＝.由于，利用正弦定理，解得，由于B∈（0，π），所以B＝或.由于b＜a，所以B＝.（2）由a＝2c，根据余弦定理得：，整理得3c2+2c﹣4＝0，解得c＝（负值舍去）.由于b＝2，故.【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用、正弦定理余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查了学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.18.已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，_______.（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到上述题干中的横线上.求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意，均为数列中的项，说明理由；（2）设数列满足，求数列的前n项和注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）选①，因为，所以，即，又数列是公比为2的等比数列，所以，解得，因此.此时任意，，由于，所以是数列的第项，因此数列满足条件P.选②，因为，即，又数列是公比为2的等比数列，所以，解得因此此时，即不为数列中的项，因此数列不满足条件P.选③，因为，又数列是公比为2的等比数列，所以1，又，故，因此.此时任意，，由于，所以是为数列的第项，因此数列满足条件P.（2）根据题意可得，∴.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列通项公式的求解，判断数列是否满足某种条件，裂项相消法求和，属于基础题.19.如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，，．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】证明：（1）取中点，连结，∵，∴， ，∵平面，平面平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，又，∴四边形是平行四边形，∴，∵是等边三角形，∴，∵平面，平面平面，平面平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）由（1）得平面，∴，又，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，则，取，得，设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则．∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力及计算能力,难度不大.建立合适的空间直角坐标系是解决本题的关键.属于中档题.20.已知椭圆的左､右焦点分别为，，且，设是上一点，且，.（1）求椭圆的方程；（2）若不与轴垂直的直线过点，交椭圆于，两点，试判断在轴的负半轴上是否存在一点，使得直线与斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，定点.【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，可得，由椭圆的定义，得，可得，所以，即，又由和，解得，，所以椭圆的方程为.（2）由已知直线过点，设的方程为，联立方程组，消去并整理得，设，，则，所以，.又直线与斜率分别为，，则.因为，所以当时，，.所以在负半轴上存在定点，使得直线与斜率之积为定值.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．属于中档题.21.某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i位学生的成绩为() (i=1，2，3...20)，其中分别为第i位学生的数学总评成绩和物理总评成绩.抽取的数据列表如下( 按数学成绩降序整理):序号12345678910数学总评成绩x95929190898888878685物理总评成绩y96908987928186888384序号11121314151617181920数学总评成绩x83828180807978777574物理总评成绩81808285807879818078（1）根据统计学知识，当相关系数|r|≥0.8时，可视为两个变量之间高度相关.根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关?请通过计算加以说明. 参考数据：参考公式：相关系数（2）规定:总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分1，对不优秀赋分0，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关；答案见解析；（2）分布列见解析，.【解析】（1）由题意，，所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关； (2) 由题意得：的可能取值为0，1，2，3，4.，根据赋分规则可知，7人赋分为2，4人赋分为1，9个人赋分为0，所以，，，，，所以的分布列为：01234所以【点睛】本题考查了对的值合理放缩及超几何分布的应用.属于中档题. 22.已知函数．(1)当时，求证：；(2)讨论函数在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）时，函数在上没有零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【解析】（1）当时，，令，则.令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以是的极小值点，也是最小值点，即故当时，成立.（2） ，由，得.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以是函数的极小值点，也是最小值点，即.当，即时，在上没有零点.当，即时，在上只有一个零点.当，即时，因为，所以在内只有一个零点；由（1）得，令，得，所以，于是在内有一个零点；因此，当时，在上有两个零点.综上，时，函数在上没有零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值，利用零点存在定理判断函数零点个数，属于稍难题.