江苏省无锡市南菁高级中学2020-2021学年高一（普通班）下学期第一次阶段考试数学试卷

江苏省南菁高级中学2020—2021学年度第二学期

高一年级第一次阶段考试数学试卷

本试卷满分150分     考试时间120分钟

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知，，若与方向相同，则等于（   ）

A.             B.  C.  D.

2. 设是任意向量，则下列结论一定正确的是(　　)

A．    B.    C．   D．

3. 已知点为边上一点，且，若存在实数，，使得，则的值为（    ）

A.  B.  C.             D.

4. 体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重约为 (      )(参考数据：取重力加速度大小为)

A. B. C.  D.

5. 已知向量，满足，，，则（　　）

A． B． C． D．

6. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为(　　)

A． B． C． D．

7.已知，.若点是所在平面内一点，且 则的最大值为（  ）

A． B． C． D．

8. 在平行四边形中，，，，分别是上的点，且，，（其中），且.若线段的中点为，则当取最小值时，的值为（    ）

A．              B．          C．         D． 、

二、选择题(在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．本题共4小题，每小题5分，共20分)

9．下列说法正确的是（    ）

A．对于任意两个向量，若，且同向，则

B. 已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为

C. 设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件             

D．若，则与的夹角是钝角

10. 对于，有如下命题，其中错误的是 （   ）

A. 若，则为锐角三角形

B. 若，则的面积为

C. 在所在平面内，若，则是的重心

D. 若，则为等腰三角形

11. 在中，是角的对边，已知，，则以下判断正确的是（  ）

A. 的外接圆面积是          B.

C．可能等于               D. 作关于的对称点，则的最大值是

12. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列选项正确的是 ( )

A．  B． 

C．                      D. 存在最大值

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数的模为    ▲    ．

14.已知点满足,,,则的值是  ▲  .

15. 已知是平面内四点，且，，则的最小值为  ▲ .

16. 已知向量满足，，则的最大值为    ▲     o

四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题共6小题，共70分)

17.（本小题满分10分）

已知复数（是虚数单位）o  

（1）          复数是纯虚数，求实数的值；

（2）          若对应复平面上的点在第四象限，求的取值范围圆

18.（本小题满分12分）在中，，，.

(1)求边的长；

(2)求边上的中线的长．

19.（本小题满分12分）

已知，，其中 o

（1）求向量与所成的夹角；

（2）若与的模相等，求的值（为非零的常数）.

20. （本小题满分12分）的内角的对边分别为，已知.

（1）求角；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

21.（本小题满分12分）

目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为．

（1）求出山高（结果保留一位小数）；

（2）如图，当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为．试问当多大时，观测基站的视角最大?

参考数据：，，，圆

22.（本小题满分12分）

在直角梯形中，已知，，，对角线交于点，点在上，且满足.

(1)    求的值；

(2)    若为线段上任意一点，求的最小值.

参考答案

一、单选题

1.D  2. D   3.A   4.A   5.C  6.A  7.B   8.B

二、多选题

9.BC    10.ABD    11.AB      12.BC

三、填空题

13.     14.—25      15.       16.

四、解答题

17. 且……………………………………………5分

…………………………………………10分

18.解（1）由，得

…………………………2分

由正弦定理，得 …………………………6分

(2)由正弦定理，得.

  …………………………8分

由余弦定理，得…………………………12分

▲  ▲  ▲

19.解：（1）由已知得：，则：，

因此：，因此，向量与所成的夹角为；…………………… 4分

（2）由，，可得，

，

，，

，

整理可得：，即：，

，  ，即，…………………………………………8分

，………………………………………………………………10分

因此：，即：……………………………………………………………12分

▲  ▲  ▲

20.解：(1)由题设及正弦定理得．因为，所以,

由，可得,

故圆

因为，所以，所以………………………………………………6分

(2)由题设及(1)知的面积.

由(1)知，由正弦定理得 ……8分

由于为锐角三角形，故，

由(1)知,所以，

故………………………10分

因此, 面积的取值范围是   ………………12分

▲  ▲  ▲

21.解（1）由题知，

在中，由正弦定理得，即，

所以………………………………………2分

在中，，即，

所以，

所以山高m． ………………………………4分

（2）由题知，，则

在中，，在中，，

由题知，则

…………………8分

，

当且仅当即m时，取得最大值，即视角最大…………………12分

▲  ▲  ▲

22.解：（1）在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AB = 2CD，所以AO = 2OC，

…………2分

；            ………………………5分

(2) 令,

则，即，                   ……………6分

……………8分

令 ，则 ，，

所以当时， 有最小值.    ………………………12分