江苏省无锡市江阴高级中学2020-2021学年高一下学期3月学情检测数学试卷

江苏省江阴高级中学2020-2021学年第二学期高一3月学情检测数学试卷
命题人： 毛庆华       审核人：吕有为

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如图所示，下列四个几何体：

其中不是棱柱的序号是（     ）

A．① B．② C．③ D．④

2．已知、是平面向量，下列命题正确的是（    ）

A．若，则     B．若，则

C．若，则     D．零向量与任何非零向量都不共线

3．在复平面内，复数（为虚数单位），则对应的点的坐标为（   ）

A． B． C． D．

4．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于（   ）

A．90°         B．60°         C．120°       D．150°

5．已知向量，，若，则实数（   ）

A．0 B． C．1 D．3

6．如图，要测量电视塔的高度，在点测得塔顶的仰角是，在点测得塔顶的仰角是，水平面上的，则电视塔的高度为（  ）

A．20 B．30 C．40 D．50

7．已知正方形的内切圆的半径为1，点M是圆上的一动点，则的取值范围是（   ）

A．    B．    C． D．

8．已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分

9．下列说法正确的是（   ）

A．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等    B．五棱锥只有五条棱

C．一个棱柱至少有五个面                                      D．棱台的各侧棱延长后交于一点

10．在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为，两个拉力分别为，，若，与的夹角为．则以下结论正确的是（   ）

A．的最小值为 B．的范围为

C．当时， D．当时，

11.锐角△中，三个内角分别是，，，且，则下列说法正确的是（    ）

A．sinA>sinB B．cosA<cosB

C．sinA>cosB D．sinB<cosC

12．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系中，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为.在的反射坐标系中，，.则下列结论中，正确的是（   ）

A． B．

C．     D．在上的投影为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上

13．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于第________象限．

14．平行四边形中，为的中点，点满足，若，则的值为　　．

15．在三角形中，角，，的对边分别为，，，，，，点是平面内的一个动点，若，则面积的最大值是__________．

16．在中，，点满足，且对任意，恒成立，则______.

四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分10分）

已知向量 (3，2)， (1，2)， (4，1)

（1）若 m n，求m，n的值；

（2）若向量满足()( )，| |2，求的坐标.

18．（本小题满分12分）

已知复数满足(其中是虚数单位).

（1）在复平面内，若复数的共轭复数对应的点在直线上，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围.

19．（本小题满分12分）

如图，在中，，，分别在边上，且满足，为中点．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求边的长．

20．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝B＋3C．

（1）求sinC的取值范围；

（2）若c＝6b，求sinC的值．

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．

（1）若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；

（2）若x∈，向量，＝(1－cos x，sin x－2cos x)，求的最小值及对应的x值．

22．（本小题满分12分）

由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，(为长度单位).陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.

（1）求点到点的距离；

（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.

参考答案

1.B   2.C  3.D  4.B  5.B   6. A    7.B  

8.C 【详解】

，

所以，，

由平面向量模的三角不等式可得.

当且仅当与方向相反时，等号成立.

因此，的最小值为.

故选：C.

9.   CD    10.ACD   11.ABC  

12.AB 【详解】

，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；

由于，故在上的投影为，故D正确。

13. 二      14.     15.    

16.【详解】根据题意，在中，点满足.

设，则.∵

∴对任意，恒成立，必有，即，如图所示.

∵∴，∴.

∴

故答案为：.

17.解：（1）若 m n，则(4，1)m(3，2)n(1，2)

即 所以…………………………………………………5分

（2）设(x，y)，则(x4，y1)，(2，4)

 (-) ()， |-|2

…………………………………………………7分

解得或

所以(2，3)或(6，5) …………………………………………………10分

18.解：（1）由，得，

，…………………………………………………3分

由题意，，解得；…………………………………………………6分

（2）由，得，…………………………………………………9分

解得：.

实数的取值范围，.…………………………………………………12分

19.解：（1）因为，所以，

所以，…………………………………………4分

所以，…………………………………………………6分

（2）因为，

，

所以，………………………9分

设，因为，

所以，又因为，

所以，

化简得，

解得(负值舍去)，所以的长为6．…………………………………………………12分

20.解：（1）由A＝B＋3C及A＋B＋C＝π，得2B＋4C＝π，

所以B＝－2C，所以A＝＋C． …………………………………………………3分

由得

得0＜C＜，故sinC的取值范围为(0，)． …………………………………………………6分

（2）若c＝6b，由正弦定理有sinC＝6sinB，①…………………………………………7分

由（1）知B＝－2C，则sinB＝sin(－2C)＝cos2C．②…………………………………………8分

由①②得sinC＝cos2C＝1－2sin2C，所以12sin2C＋sinC－6＝0， ………………………………10分

解得sinC＝或sinC＝－，

又sinC∈(0，)，所以sinC＝．…………………………………………………12分

21.解：（1）设D(t，0)(0≤t≤1)，由易知C，∴…………2分

∴ ，(0≤t≤1)，……………………………4分

∴当t＝时，最小，为．…………………………………………6分

（2）由题意得C(cos x，sin x)，＝(cos x＋1，sin x)，

则＝1－cos2x＋sin2x－2sin xcos x＝1－cos 2x－sin 2x＝1－sin．………………………9分

∵x∈，∴≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，sin取最大值1，

∴的最小值为1－，此时x＝.……………………………………………………………12分

22.解：（1）连接、，

在中，，

由余弦定理可得：，.…………………………2分

在中，由余弦定理可得，.

在中，，…………………………………………4分

由正弦定理可得：，解得：.

在直角中，，；………………………6分

（2），

.…………………………8分

.

，当且仅当时，即当时，等号成立，…………………11分

因此，.…………………………………………12分