江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二下学期教学质量调研(一)数学试题

20202021学年度高二年级第学期教学质量调研（一）

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.若（i为虚数单位），则复数的实部是（    ）

A.4   B.-4   C.-3   D.3

2.对于函数，若，则（    ）

A.1   B.   C.1和   D.4

3.下列关于复数的命题中（i为虚数单位），说法正确的是（    ）

A.若关于x的方程有实根，则

B.复数z满足，则z在复平面对应的点位于第二象限

C.，（i为虚数单位，），若，则

D.是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则

4.已知过点的直线与图象切于点（如图所示），且，则 （    ）

A.-1    B.-2   C.-3   D.-4

5.函数在上的最大值是（    ）

A.   B.   C.   D.

6.若（i为虚数单位），则（    ）

A.1     B.

C.   D.

7.已知圆锥的母线长为3，则该圆锥体积的最大值为（    ）

A.   B.   C.   D.

8.已知若且，则的取值范围是（    ）

A.   B.

C.   D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有项选错得0分.

9.已知曲线的一条切线的斜率是，则切点横坐标可能是（    ）

A.   B.   C.   D.

10.在复平面内，若复数满足，其中为正实数，则对应点的集合组成的图形可能是（    ）

A.线段   B.圆   C.椭圆   D.双曲线

11.定义在上的函数，满足，则下列说法正确的有（    ）

A.若，则

B. 在处取得极小值

C. 只有一个零点

D.若对任意的，恒成立，则

12.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果。若为上任意n个实数，满足，则称函数在上为“上凸函数”.

设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“上凸函数”.下列结论成立的是（    ）

A.在上为“上凸函数”

B.在上为“上凸函数”

C.在中，

D.在中，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把箐案直接填写在答题卡相应位置上.

13.已知函数，则的极值是    ▲    .

14.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，若，则z的共轭复数    ▲    .

15.函数在上单调递增，则实数的最小值是    ▲    .

16.已知定义在R上的函数的导函数为，满足，若恒成立，则实数的取值范围为    ▲    .

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①；②复平面上表示的点在直线上；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：

已知复数，；（i为虚数单位），满足_____________________.

若，求：

（1）复数，以及；

（2）复数，以及.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

18.已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）对于给定的正数，若存在，使得，求正数的取值范围.

19.若函数.

（1）求的极值；

（2）判断的零点个数，并说明理由.

20.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是...除了我”.《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田，假设霍尔顿在一块凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，为了分割麦田，他将AC连结，经测量，，.霍尔顿发现无论AC多长，是定值1.霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方的权重相关，记和的面积分别为和，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出的最大值.

（1）记，用表示；

（2）求的最大值，

21.直线为函数图象上任意一点处的切线（P为切点），若函数图象上除P点外的所有点都在直线的同侧，则称函数为“单侧函数”.

（1）若.

（ⅰ）求在处的切线方程；

（ⅱ）证明不是“单侧函数”；

（2）函数，判断是否是“单侧函数”.若是，写出证明过程；若不是，请说明理由，

22.（本小题满分12分）

定义在上的函数在处取到极小值，

（1）若对任意的，不等式恒成立，求实数b的取值范围；

（2）令，若函数的图象与x轴有两个不同的交点，，且，求证： （其中是的导函数）

高二数学参考答案

1-5．AADCD    6-8．CDC    9．AD    10．AC    11．AB   12．ACD

13． 14．  15．  16．

17．【解答】（1）若选①，，又，所以.

若选②，，

又复平面上表示的点在直线上，

所以，

所以.

若选③，得，所以.

所以.

（1） ，.

（2），

.

18．【解答】（1）因为，

所以．

①当时，，所以的增区间为．

②当时，若，；若，．

所以的增区间为，减区间为．

综上，当时，的增区间为；当时，的增区间为，减区间为．

（2）法一：由（1）得，当时，取最大值．

因为若存在，使得，所以，解得．

所以正数的取值范围为．

法二：若存在，使得，即若存在，使得．

令，则，由，解得．

当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取到极大值，也即是最大值，最大值是.

所以正数的取值范围为．

19．【解答】（1）因为，

所以．

令，解得．列表如下．

所以，当时，有极大值．

（说明：列表时未列出或者列成扣1分）

（2）①由（1）得，0是的零点.

②当时，；

当时，，，

所以连续函数在上有零点．

因为在上单调递减，所以在上有一个零点．

所以在上有两个零点．

（赋值方法：，使得，则）

20．【解答】（1）在中，，

同理可得，在中，．

因为，所以．

令，则

．

令，则，

由且，解得．

当时，；当时，．

所以当时，取得极小值且是最小值，最小值为，

所以，当时，的最大值为．

（说明：的范围错且结果对扣3分）

20．【解答】（1）（ⅰ）若，则，所以．

所以在处的切线方程是．

 （ⅱ）令，当时，；当时，，

所以不是“单侧函数”．

（2）当时，是“单侧函数”．

函数图象上任意一点处的切线为，

即．

令，则．

当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，

所以，

所以，当且仅当时取等号，

所以是“单侧函数”．

22．【解答】（1）因为，所以．

因为函数在处取到极小值，所以，解得．

此时，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以在处取到极小值.

所以符合题意，即.

（说明：不检验扣1分）

若对任意的，不等式恒成立，

即恒成立.

令，则

，

令，则恒成立，所以在上单调递增，

，即在上恒成立

所以在上为减函数，，

故实数的取值范围为.

（说明：本小题含参讨论酌情给分，可以先取特值将参数的范围缩成再讨论）

（2）由（1）得，

因为函数的图象与轴有两个不同的交点，

所以方程的两个根为，，则，两式相减得

，又，则

.

下证：（*），即证明，

∵，∴，即证明在时恒成立.

因为又，所以.

所以，在上是增函数，则，从而.

故，即成立.

（说明：本小题利用其他方法证明酌情评分）