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江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市联考2020-2021学年下学期高三第一次调研考试数学试题（全解析）
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这是一份江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市联考2020-2021学年下学期高三第一次调研考试数学试题（全解析），共31页。试卷主要包含了02，函数的图象大致为，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市
联考2021届高三第一次调研测试
数 学
2021．02
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝，B＝，则AB＝
A． B． C．{3，4} D．{3，4，5}
2．已知2＋i是关于x的方程的根，则实数a＝
A．2－i B．－4 C．2 D．4
3．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为
A．11 B．13 C．15 D．17
4．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x（单位：mg）与给药时间t（单位：h）近似满足函数关系式，其中，k分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h）．经测试发现，当t＝23时，，则该药物的消除速率k的值约为（ln2≈0.69）
A． B． C． D．
5．的二项展开式中，奇数项的系数和为
A． B． C． D．
6．函数的图象大致为
A B
C D
7．已知点P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：0； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个等式不成立，则该等式为
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．已知曲线在A(，)，B(，)两点处的切线分别与曲线相切于C(，)，D(，)，则的值为
A．1 B．2 C． D．
二、 选择题：本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则
A．若m∥，n∥，则m∥n
B．若m∥，m⊥，则⊥
C．若∥，m⊥，n⊥，则m∥n
D．若⊥，m∥，n∥，则m⊥n
10．已知函数，则
A．的最小正周期为
B．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
C．在(，)上单调递增
D．点(，0)是图象的一个对称中心
11．若函数的值域为[2，)，则
A． B．m≥2
C． D．
12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为
A．中位数为3，众数为2 B．均值小于1，中位数为1
C．均值为3，众数为4 D．均值为2，标准差为
三、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，共计20分。
13．在正项等比数列中，若，则＝ ．
14．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，写出双曲线C的一个标准方程： ．
15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c．延长线段CA至点A1，使得AA1＝a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a＝4，b＝3，c＝5，则由△ABC生成的康威圆的半径为 ．
16．已知在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8．若P为圆柱底面圆弧的中点，则平面PAB与球O的交线长为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为．若n，（为偶数），求的值．
18．（本小题满分12分）
在①；②cos(A＋B)＝sin(A－B)；③tan＝sinC这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝， ， ？
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
19．（本小题满分12分）
2019 年 4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3＋1＋2”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．
P
0.05
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附：
20．（本小题满分12分）
如图，在正六边形ABCDEF中，将△ABF沿直线BF翻折至△A′BF，使得平面A′BF⊥平面 BCDEF，O，H分别为BF和A′C的中点．
（1）证明：OH∥平面A′EF；
（2）求平面A′BC与平面A′DE所成锐二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个零点，，证明：．
22．（本小题满分12分）
已知点A，B在椭圆(a＞b＞0)上，点A在第一象限，O为坐标原点，且OA⊥AB．
（1）若a＝，b＝1，直线OA的方程为x﹣3y＝0，求直线OB的斜率；
（2）若△OAB是等腰三角形（点O，A，B按顺时针排列），求的最大值．
江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市
联考2021届高三第一次调研测试
数 学
2021．02
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝，B＝，则AB＝
A． B． C．{3，4} D．{3，4，5}
【答案】C
【考点】集合的运算、对数不等式的解法
【解析】由题意，，所以，故答案选C.
2．已知2＋i是关于x的方程的根，则实数a＝
A．2－i B．－4 C．2 D．4
【答案】B
【考点】复数的运算与一元二次方程的综合
【解析】由题意，即化为，则a＝－4，故答案选B.
3．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为
A．11 B．13 C．15 D．17
【答案】C
【考点】类比推理
【解析】由题意图2中可得12－1＝11，17－4＝13，17－0＝17，但得不到15，故答案选C.
4．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x（单位：mg）与给药时间t（单位：h）近似满足函数关系式，其中，k分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h）．经测试发现，当t＝23时，，则该药物的消除速率k的值约为（ln2≈0.69）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】指对数运算
【解析】由题意当t＝23时，，即，则，可取自然对数得到，即，解得，故答案选A.
5．的二项展开式中，奇数项的系数和为
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】二项式定理展开式的系数
【解析】法一：由题意可令，当时，，当时，，所以奇数项的系数和为，故答案选C.
法二：由题意可设，令，则a0＋a1＋a2＋…＋an＝①；令，则a0－a1＋a2－a3＋…＝②，则①＋②，得a0＋a2＋a4＋…＝，即奇数项的系数和为，故答案选C.
6．函数的图象大致为
A B
C D
【答案】D
【考点】函数的图象识别与判断
【解析】由题意可知的定义域为，令，则，即函数有无数个零点，则排除A、B选项；当时，，则，，故答案选D.
7．已知点P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：0； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个等式不成立，则该等式为
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【考点】逻辑推理题：平面向量与“四心”的关系
【解析】由题意，甲：可设BC的中点为D，因为0，所以，即，可得到P点为△ABC的重心；乙：由，可得，则，，即AC⊥BA，∠A=90°；丙：由可得P点为△ABC的外心；丁：由可得，可得P点为△ABC的垂心；由题意只有一个等式不成立，则△ABC只能为正三角形，故答案选B.
8．已知曲线在A(，)，B(，)两点处的切线分别与曲线相切于C(，)，D(，)，则的值为
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【考点】函数在点处的切线方程、导数的几何意义、方程思想
【解析】由题意，曲线在点处的切线方程为，
即得到，曲线在点处的切线方程为，即得到，所以解得．同理可得，，则是方程()的两个解．用代入方程()也成立，所以，又，所以，故答案选B．
二、 选择题：本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则
A．若m∥，n∥，则m∥n
B．若m∥，m⊥，则⊥
C．若∥，m⊥，n⊥，则m∥n
D．若⊥，m∥，n∥，则m⊥n
【答案】BC
【考点】立体几何的位置关系
【解析】由题意，对于选项A，m∥，n∥，m与n可以异面或者相交，故选项A错误；对于选项B，由m∥，则存在直线，使得，又m⊥，所以，所以⊥，故选项B正确；对于选项C，因为∥，m⊥，n⊥，所以，则，故选项C正确；对于选项D，因为⊥，可设，则当时，可得到m∥，n∥，则，故选项D错误；故答案选BC.
10．已知函数，则
A．的最小正周期为
B．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
C．在(，)上单调递增
D．点(，0)是图象的一个对称中心
【答案】ACD
【考点】三角函数的图象与性质
【解析】由题意，对于选项A，函数的周期为，故选项A正确；对于选项B，将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到，故选项B错误；对于选项C，当时，则，所以单调递增，故选项C正确；对于选项D，当时，，故选项D正确；故答案选ACD.
11．若函数的值域为[2，)，则
A． B．m≥2
C． D．
【答案】ABD
【考点】函数的单调性与值域
【解析】当时，，所以在上单调递减，；当时，，所以在上单调递增，．因为，所以，所以A正确；
因为的值域为，所以，所以B正确；
设，则，所以在上单调递增．
因为，所以，所以，所以C错误；
当时，，
所以，即，故D正确．
另解：构造函数，通过考察函数的单调性，判断出D正确．
故选ABD．
12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为
A．中位数为3，众数为2 B．均值小于1，中位数为1
C．均值为3，众数为4 D．均值为2，标准差为
【答案】BD
【解析】由题意设连续天，每天的体温高于的人数分别为，且．取，所以选项A错误；若，由中位数为，可知均值，
与均值小于1矛盾，所以选项B正确；取，所以选项C错误；
当均值为2，标准差为时，，，若，则，且如1，1，1，1，2，3，5符合题意，所以选项D正确．故答案选BD．
三、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，共计20分。
13．在正项等比数列中，若，则＝ ．
【答案】9
【考点】等比数列的通项与求和
【解析】由题意，因为，所以，解得，所以，故答案为9.
14．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，写出双曲线C的一个标准方程： ．
【答案】（答案不唯一）
【考点】新高考题型：开放性试题：双曲线的几何性质
【解析】由题意双曲线的渐近线为，即，可令，则，则故可写答案为（答案不唯一）.
15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c．延长线段CA至点A1，使得AA1＝a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a＝4，b＝3，c＝5，则由△ABC生成的康威圆的半径为 ．
【答案】
【考点】文化题：直线与圆的位置关系
【解析】法一：因为，，所以康威圆的圆心在的平分线上，同理，康威圆的圆心在的平分线上，所以圆心为三角形ABC的内心．
设三角形ABC的内切圆圆心为，则，所以康威圆的半径．
法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，．
x
y
A
B
C
B1
B2
A1
A2
C2
C1
设康威圆的方程为，
把，，代入圆的方程，得
解得
所以康威圆的半径．
16．已知在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8．若P为圆柱底面圆弧的中点，则平面PAB与球O的交线长为 ．
【答案】
【考点】立体几何中的位置关系、几何体的内切球、截面与交线问题
A
B
C
D
P
O1
O2
O
H
【解析】取的中点，则点为圆柱的内切球球心．
连接，，作，垂足为点．
因为正方形的面积为，
所以，，所以．
由得，解得，
设平面截内切球球所得圆的半径为，
则，所以所求交线长为．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为．若n，（为偶数），求的值．
【考点】数列的通项与求和、恒成立问题
18．（本小题满分12分）
在①；②cos(A＋B)＝sin(A－B)；③tan＝sinC这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝， ， ？
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
【考点】结构不良题：解三角形、三角恒等变换
19．（本小题满分12分）
2019 年 4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3＋1＋2”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．
P
0.05
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附：
【考点】线性相关、分层抽样、随机变量的分布列与期望
20．（本小题满分12分）
如图，在正六边形ABCDEF中，将△ABF沿直线BF翻折至△A′BF，使得平面A′BF⊥平面 BCDEF，O，H分别为BF和A′C的中点．
（1）证明：OH∥平面A′EF；
（2）求平面A′BC与平面A′DE所成锐二面角的余弦值．
【考点】立体几何的位置关系证明、求二面角
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个零点，，证明：．
【考点】函数与导数：单调性、极值点偏移问题
22．（本小题满分12分）
已知点A，B在椭圆(a＞b＞0)上，点A在第一象限，O为坐标原点，且OA⊥AB．
（1）若a＝，b＝1，直线OA的方程为x﹣3y＝0，求直线OB的斜率；
（2）若△OAB是等腰三角形（点O，A，B按顺时针排列），求的最大值．
【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质应用、椭圆与直线的位置关系（三角形中的最值问题）
法三：设直线OA的斜率为，则直线AB的斜率为．
因为△OAB是等腰直角三角形（点O，A，B按顺时针排列），
所以设，，．
又，所以，
得，
所以，即．
又由，得，所以．
因为点，在椭圆上，
所以所以，
整理得，即，
即，所以．
当且仅当即时，取最大值．
法四：设点．
因为△OAB是等腰直角三角形（点O，A，B按顺时针排列），
且，所以可设．
又因为A，B在椭圆上，
所以
两式相除，得，
所以
．
因为，所以，所以，
所以当且仅当，，
即，时，取最大值．
江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市
联考2021届高三第一次调研测试
数 学
2021．02
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝，B＝，则AB＝
A． B． C．{3，4} D．{3，4，5}
2．已知2＋i是关于x的方程的根，则实数a＝
A．2－i B．－4 C．2 D．4
3．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为
A．11 B．13 C．15 D．17
4．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x（单位：mg）与给药时间t（单位：h）近似满足函数关系式，其中，k分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h）．经测试发现，当t＝23时，，则该药物的消除速率k的值约为（ln2≈0.69）
A． B． C． D．
5．的二项展开式中，奇数项的系数和为
A． B． C． D．
6．函数的图象大致为
A B
C D
7．已知点P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：0； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个等式不成立，则该等式为
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．已知曲线在A(，)，B(，)两点处的切线分别与曲线相切于C(，)，D(，)，则的值为
A．1 B．2 C． D．
二、 选择题：本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则
A．若m∥，n∥，则m∥n
B．若m∥，m⊥，则⊥
C．若∥，m⊥，n⊥，则m∥n
D．若⊥，m∥，n∥，则m⊥n
10．已知函数，则
A．的最小正周期为
B．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
C．在(，)上单调递增
D．点(，0)是图象的一个对称中心
11．若函数的值域为[2，)，则
A． B．m≥2
C． D．
12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为
A．中位数为3，众数为2 B．均值小于1，中位数为1
C．均值为3，众数为4 D．均值为2，标准差为
三、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，共计20分。
13．在正项等比数列中，若，则＝ ．
14．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，写出双曲线C的一个标准方程： ．
15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c．延长线段CA至点A1，使得AA1＝a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a＝4，b＝3，c＝5，则由△ABC生成的康威圆的半径为 ．
16．已知在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8．若P为圆柱底面圆弧的中点，则平面PAB与球O的交线长为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为．若n，（为偶数），求的值．
18．（本小题满分12分）
在①；②cos(A＋B)＝sin(A－B)；③tan＝sinC这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝， ， ？
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
19．（本小题满分12分）
2019 年 4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3＋1＋2”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．
P
0.05
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附：
20．（本小题满分12分）
如图，在正六边形ABCDEF中，将△ABF沿直线BF翻折至△A′BF，使得平面A′BF⊥平面 BCDEF，O，H分别为BF和A′C的中点．
（1）证明：OH∥平面A′EF；
（2）求平面A′BC与平面A′DE所成锐二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个零点，，证明：．
22．（本小题满分12分）
已知点A，B在椭圆(a＞b＞0)上，点A在第一象限，O为坐标原点，且OA⊥AB．
（1）若a＝，b＝1，直线OA的方程为x﹣3y＝0，求直线OB的斜率；
（2）若△OAB是等腰三角形（点O，A，B按顺时针排列），求的最大值．
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联考2021届高三第一次调研测试
数 学
2021．02
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝，B＝，则AB＝
A． B． C．{3，4} D．{3，4，5}
【答案】C
【考点】集合的运算、对数不等式的解法
【解析】由题意，，所以，故答案选C.
2．已知2＋i是关于x的方程的根，则实数a＝
A．2－i B．－4 C．2 D．4
【答案】B
【考点】复数的运算与一元二次方程的综合
【解析】由题意，即化为，则a＝－4，故答案选B.
3．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为
A．11 B．13 C．15 D．17
【答案】C
【考点】类比推理
【解析】由题意图2中可得12－1＝11，17－4＝13，17－0＝17，但得不到15，故答案选C.
4．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x（单位：mg）与给药时间t（单位：h）近似满足函数关系式，其中，k分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h）．经测试发现，当t＝23时，，则该药物的消除速率k的值约为（ln2≈0.69）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】指对数运算
【解析】由题意当t＝23时，，即，则，可取自然对数得到，即，解得，故答案选A.
5．的二项展开式中，奇数项的系数和为
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】二项式定理展开式的系数
【解析】法一：由题意可令，当时，，当时，，所以奇数项的系数和为，故答案选C.
法二：由题意可设，令，则a0＋a1＋a2＋…＋an＝①；令，则a0－a1＋a2－a3＋…＝②，则①＋②，得a0＋a2＋a4＋…＝，即奇数项的系数和为，故答案选C.
6．函数的图象大致为
A B
C D
【答案】D
【考点】函数的图象识别与判断
【解析】由题意可知的定义域为，令，则，即函数有无数个零点，则排除A、B选项；当时，，则，，故答案选D.
7．已知点P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：0； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个等式不成立，则该等式为
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【考点】逻辑推理题：平面向量与“四心”的关系
【解析】由题意，甲：可设BC的中点为D，因为0，所以，即，可得到P点为△ABC的重心；乙：由，可得，则，，即AC⊥BA，∠A=90°；丙：由可得P点为△ABC的外心；丁：由可得，可得P点为△ABC的垂心；由题意只有一个等式不成立，则△ABC只能为正三角形，故答案选B.
8．已知曲线在A(，)，B(，)两点处的切线分别与曲线相切于C(，)，D(，)，则的值为
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【考点】函数在点处的切线方程、导数的几何意义、方程思想
【解析】由题意，曲线在点处的切线方程为，
即得到，曲线在点处的切线方程为，即得到，所以解得．同理可得，，则是方程()的两个解．用代入方程()也成立，所以，又，所以，故答案选B．
二、 选择题：本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则
A．若m∥，n∥，则m∥n
B．若m∥，m⊥，则⊥
C．若∥，m⊥，n⊥，则m∥n
D．若⊥，m∥，n∥，则m⊥n
【答案】BC
【考点】立体几何的位置关系
【解析】由题意，对于选项A，m∥，n∥，m与n可以异面或者相交，故选项A错误；对于选项B，由m∥，则存在直线，使得，又m⊥，所以，所以⊥，故选项B正确；对于选项C，因为∥，m⊥，n⊥，所以，则，故选项C正确；对于选项D，因为⊥，可设，则当时，可得到m∥，n∥，则，故选项D错误；故答案选BC.
10．已知函数，则
A．的最小正周期为
B．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
C．在(，)上单调递增
D．点(，0)是图象的一个对称中心
【答案】ACD
【考点】三角函数的图象与性质
【解析】由题意，对于选项A，函数的周期为，故选项A正确；对于选项B，将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到，故选项B错误；对于选项C，当时，则，所以单调递增，故选项C正确；对于选项D，当时，，故选项D正确；故答案选ACD.
11．若函数的值域为[2，)，则
A． B．m≥2
C． D．
【答案】ABD
【考点】函数的单调性与值域
【解析】当时，，所以在上单调递减，；当时，，所以在上单调递增，．因为，所以，所以A正确；
因为的值域为，所以，所以B正确；
设，则，所以在上单调递增．
因为，所以，所以，所以C错误；
当时，，
所以，即，故D正确．
另解：构造函数，通过考察函数的单调性，判断出D正确．
故选ABD．
12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为
A．中位数为3，众数为2 B．均值小于1，中位数为1
C．均值为3，众数为4 D．均值为2，标准差为
【答案】BD
【解析】由题意设连续天，每天的体温高于的人数分别为，且．取，所以选项A错误；若，由中位数为，可知均值，
与均值小于1矛盾，所以选项B正确；取，所以选项C错误；
当均值为2，标准差为时，，，若，则，且如1，1，1，1，2，3，5符合题意，所以选项D正确．故答案选BD．
三、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，共计20分。
13．在正项等比数列中，若，则＝ ．
【答案】9
【考点】等比数列的通项与求和
【解析】由题意，因为，所以，解得，所以，故答案为9.
14．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，写出双曲线C的一个标准方程： ．
【答案】（答案不唯一）
【考点】新高考题型：开放性试题：双曲线的几何性质
【解析】由题意双曲线的渐近线为，即，可令，则，则故可写答案为（答案不唯一）.
15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c．延长线段CA至点A1，使得AA1＝a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a＝4，b＝3，c＝5，则由△ABC生成的康威圆的半径为 ．
【答案】
【考点】文化题：直线与圆的位置关系
【解析】法一：因为，，所以康威圆的圆心在的平分线上，同理，康威圆的圆心在的平分线上，所以圆心为三角形ABC的内心．
设三角形ABC的内切圆圆心为，则，所以康威圆的半径．
法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，．
x
y
A
B
C
B1
B2
A1
A2
C2
C1
设康威圆的方程为，
把，，代入圆的方程，得
解得
所以康威圆的半径．
16．已知在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8．若P为圆柱底面圆弧的中点，则平面PAB与球O的交线长为 ．
【答案】
【考点】立体几何中的位置关系、几何体的内切球、截面与交线问题
A
B
C
D
P
O1
O2
O
H
【解析】取的中点，则点为圆柱的内切球球心．
连接，，作，垂足为点．
因为正方形的面积为，
所以，，所以．
由得，解得，
设平面截内切球球所得圆的半径为，
则，所以所求交线长为．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为．若n，（为偶数），求的值．
【考点】数列的通项与求和、恒成立问题
18．（本小题满分12分）
在①；②cos(A＋B)＝sin(A－B)；③tan＝sinC这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝， ， ？
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
【考点】结构不良题：解三角形、三角恒等变换
19．（本小题满分12分）
2019 年 4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3＋1＋2”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．
P
0.05
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附：
【考点】线性相关、分层抽样、随机变量的分布列与期望
20．（本小题满分12分）
如图，在正六边形ABCDEF中，将△ABF沿直线BF翻折至△A′BF，使得平面A′BF⊥平面 BCDEF，O，H分别为BF和A′C的中点．
（1）证明：OH∥平面A′EF；
（2）求平面A′BC与平面A′DE所成锐二面角的余弦值．
【考点】立体几何的位置关系证明、求二面角
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个零点，，证明：．
【考点】函数与导数：单调性、极值点偏移问题
22．（本小题满分12分）
已知点A，B在椭圆(a＞b＞0)上，点A在第一象限，O为坐标原点，且OA⊥AB．
（1）若a＝，b＝1，直线OA的方程为x﹣3y＝0，求直线OB的斜率；
（2）若△OAB是等腰三角形（点O，A，B按顺时针排列），求的最大值．
【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质应用、椭圆与直线的位置关系（三角形中的最值问题）
法三：设直线OA的斜率为，则直线AB的斜率为．
因为△OAB是等腰直角三角形（点O，A，B按顺时针排列），
所以设，，．
又，所以，
得，
所以，即．
又由，得，所以．
因为点，在椭圆上，
所以所以，
整理得，即，
即，所以．
当且仅当即时，取最大值．
法四：设点．
因为△OAB是等腰直角三角形（点O，A，B按顺时针排列），
且，所以可设．
又因为A，B在椭圆上，
所以
两式相除，得，
所以
．
因为，所以，所以，
所以当且仅当，，
即，时，取最大值．
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