五年高考（2016-2020）高考数学（理）真题分项详解——专题20坐标系与参数方程

专题20坐标系与参数方程

【2020年】

1.（2020·新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

【答案】（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）.

【解析】

（1）当时，曲线的参数方程为为参数），

两式平方相加得，

所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；

（2）当时，曲线的参数方程为为参数），

所以，曲线的参数方程化为为参数），

两式相加得曲线方程为，

得，平方得，

曲线的极坐标方程为，

曲线直角坐标方程为，

联立方程，

整理得，解得或（舍去），

，公共点的直角坐标为.

2.（2020·新课标Ⅱ）已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】

（1）由得的普通方程为：；

由得：，两式作差可得的普通方程为：.

（2）由得：，即；

设所求圆圆心的直角坐标为，其中，

则，解得：，所求圆的半径，

所求圆的直角坐标方程为：，即，

所求圆的极坐标方程为.

【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.

3.（2020·新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．

（1）求；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）令，则，解得或（舍），则，即.

令，则，解得或（舍），则，即

；

（2）由（1）可知，

则直线的方程为，即.

由可得，直线的极坐标方程为.

4.（2020·江苏卷）在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．

（1）求，的值

（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，

，

因为点为直线上，故其直角坐标方程为，

又对应的圆的直角坐标方程为：，

由解得或，

对应的点为，故对应的极径为或.

（2），

，

当时；

当时，舍；即所求交点坐标为当

【2019年】

1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，可将直线l化为普通方程：，即，即，所以点（1，0）到直线l的距离，故选D．

2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

【答案】（1）；l的直角坐标方程为；（2）．

【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为．l的直角坐标方程为．

（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）．

C上的点到l的距离为．

当时，取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为．

3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P．

（1）当时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

【答案】（1），l的极坐标方程为；

（2）．

【解析】（1）因为在C上，当时，．

由已知得．

设为l上除P的任意一点．在中，，

经检验，点在曲线上．

所以，l的极坐标方程为．

（2）设，在中， 即．

因为P在线段OM上，且，故的取值范围是．

所以，P点轨迹的极坐标方程为．

4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．

（1）分别写出，，的极坐标方程；

（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标．

【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．

（2）或或或．

【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，．

所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．

（2）设，由题设及（1）知

若，则，解得；

若，则，解得或；

若，则，解得．

综上，P的极坐标为或或或．

5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为．

（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．

【答案】（1）；（2）2．

【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，），B（，），

由余弦定理，得AB=．

（2）因为直线l的方程为，

则直线l过点，倾斜角为．

又，所以点B到直线l的距离为．

【2018年】

1．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的直角坐标方程；

（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．

【答案】（1）的直角坐标方程为．；（2）的方程为．

【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．

（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．

由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．

综上，所求的方程为．

2．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为；（2）的斜率为．

【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．

当时，的直角坐标方程为，[来源:学科网]

当时，的直角坐标方程为．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．

又由①得，故，于是直线的斜率．

3．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

【答案】（1）的取值范围是．；（2）点的轨迹的参数方程是为参数，．

【解析】（1）的直角坐标方程为．

当时，与交于两点．

当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．

综上，的取值范围是．

（2）的参数方程为为参数，．

设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．

于是，．又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是为参数，．

4．【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．

【答案】直线l被曲线C截得的弦长为．

【解析】因为曲线C的极坐标方程为，

所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．

因为直线l的极坐标方程为，

则直线l过A（4，0），倾斜角为，

所以A为直线l与圆C的一个交点．

设另一个交点为B，则∠OAB=．

连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，

所以．

因此，直线l被曲线C截得的弦长为．

[来源:Z*xx*k.Com]

【2017年】

1．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为．

（1）若，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为，求．

【答案】（1），；（2）或．

【解析】（1）曲线的普通方程为．

当时，直线的普通方程为．

由解得或

从而与的交点坐标为，．

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

．

当时，的最大值为．

由题设得，所以；

当时，的最大值为．

由题设得，所以．

综上，或．

2．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；[来源:Z§xx§k.Com]

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设的极坐标为，M的极坐标为，

由题设知．

由得的极坐标方程．

因此的直角坐标方程为．

（2）设点B的极坐标为，

由题设知，于是的面积

当时，S取得最大值，所以面积的最大值为．

3．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程．

设，由题设得，消去k得．

所以C的普通方程为．

（2）C的极坐标方程为．

联立得．

故，从而．

代入得，所以交点M的极径为．

4．【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系中，已知直线的参考方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．

【答案】

【解析】直线的普通方程为．

因为点在曲线上，设，

从而点到直线的的距离，

当时，．

因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值．

【2016年】

1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．

在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.

（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；

（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．

【答案】（I）圆,（II）1

【解析】解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.

是以为圆心，为半径的圆.

将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为

.

（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组

若，由方程组得，由已知，

可得，从而，解得（舍去），.

时，极点也为的公共点，在上.所以.

2.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆的方程为．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（I）由可得的极坐标方程

（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为

由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

[来源:学科网]

由得，

所以的斜率为或.

3. 【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.

【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分

（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.

………………8分

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.      ………………10分