五年高考（2016-2020）高考数学（理）真题分项详解——专题21 不等式选讲

专题21 不等式选讲

【2020年】

1.（2020·新课标Ⅰ）已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

【答案】（1）详解解析；（2）.

【解析】

（1）因为，作出图象，如图所示：

（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：

由，解得．

所以不等式的解集为．

2.（2020·新课标Ⅱ）已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求a的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

（1）当时，.

当时，，解得：；

当时，，无解；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为或.

（2）（当且仅当时取等号），

，解得：或，

的取值范围为.

3.（2020·新课标Ⅲ）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.

【解析】

（1），

.

均不为，则，；

（2）不妨设，

由可知，，

，.

当且仅当时，取等号，

，即.

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.

4.（2020·江苏卷）设，解不等式．

【答案】

【解析】或或

或或

所以解集为

【2019年】

1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）因为，又，故有

．

所以．

（2）因为为正数且，故有

=24．

所以．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）当a=1时，．

当时，；当时，．

所以，不等式的解集为．

（2）因为，所以．

当，时，．

所以，的取值范围是．

3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设，且．

（1）求的最小值；

（2）若成立，证明：或．

【答案】（1）；（2）见详解．

【解析】（1）由于

，

故由已知得，

当且仅当x=，y=–，时等号成立．

所以的最小值为．

（2）由于

，

故由已知，

当且仅当，，时等号成立．

因此的最小值为．

由题设知，解得或．

4．【2019年高考江苏卷数学】设，解不等式．

【答案】．

【解析】当x<0时，原不等式可化为，解得x<；

当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；

当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1．

综上，原不等式的解集为．

【2018年】

1. （2018年全国I卷理数）[选修4–5：不等式选讲]

已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

【答案】（1）．

（2）．

【解析】

（1）当时，，即

故不等式的解集为．

（2）当时成立等价于当时成立．

若，则当时；

若，的解集为，所以，故．

综上，的取值范围为．

2. （2018年全国Ⅱ卷理数） [选修4－5：不等式选讲]

设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）,(2)

【解析】（1）当时，

可得的解集为．

（2）等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，所以的取值范围是．

3. （2018年全国Ⅲ卷理数） [选修4—5：不等式选讲]

设函数．

（1）画出的图像；

（2）当，，求的最小值．

【答案】（1）见解析

（2）5

【解析】（1） 的图像如图所示．

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5。

4. （2018年江苏卷）[选修4—5：不等式选讲]

若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．

【答案】4

【解析】证明：由柯西不等式，得．

因为，所以，

当且仅当时，不等式取等号，此时，

所以的最小值为4．

【2017年】

1．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，不等式等价于．①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而．

所以的解集为．

（2）当时，．

所以的解集包含，等价于当时．

又在的最小值必为与之一，所以且，得．

所以的取值范围为．

2．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知．证明：

（1）；

（2）．

【答案】（1）证明略；（2）证明略．

【解析】（1）

（2）因为

所以，因此．

3．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1），

当时，无解；

当时，由得，，解得；

当时，由解得．

所以的解集为．

（2）由得，而

，

且当时，．

故m的取值范围为．

【2016年】

1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲

已知函数.

（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；

（II）求不等式的解集．

【答案】（I）见解析（II）

【解析】⑴如图所示：

⑵ 

,当,,解得或,

当,,解得或

或

当,,解得或,或

综上,或或,,解集为

2.【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲

已知函数，为不等式的解集．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：当时，．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】（I）

当时，由得解得；

当时， ；

当时，由得解得.

所以的解集.

（II）由（I）知，当时，，

从而，

因此

3. 【2016高考新课标3理数】选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（I）当时，求不等式的解集；

（II）设函数．当时，，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）当时，.

解不等式得.

因此的解集为. 

（Ⅱ）当时，

，

当时等号成立，所以当时，等价于

.   ①     

当时，①等价于，无解.

当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是.