山东省泰安市2021届高三3月统一质量检测（一模）数学试题（word版 含答案）

这是一份山东省泰安市2021届高三3月统一质量检测（一模）数学试题（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合 ，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题：，，命题：函数是减函数，则命题成立是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ）
A．36种B．48种C．72种D．144种
5．已知直线与圆有公共点,则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
7．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．设为等比数列的前项和，若，，，则等比数列的公比的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设正实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
10．如图所示，在长方体，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ）
A．与垂直B．平面
C．与所成的角为D．平面
11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）.
A．当时，
B．函数在上有且仅有三个零点
C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是
D．，
12．已知函数与在的图象恰有三个不同的交点，，.若为直角三角形，则（ ）
A．B．的面积
C．D．两函数图象必在处有交点
三、填空题
13．已知，则___________.
14．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程中的为，据此模型预报广告费用为万元时销售额为______万元.
15．如图，在平面四边形ABCD中，已知AD=3，，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值为________.
16．过抛物线的焦点的直线，交抛物线的准线于点，与抛物线的一个交点为，且.若与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是___________.
四、解答题
17．在①，②是的等比中项，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，且 .
（1）求；
（2）设数列的前项和为，试比较与的大小，并说明理由.
18．已知函数.
（1）求在上的最值；
（2）在中，角，，所对的边分别为，，，，，的面积为，求的值.
19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点.
（1）若，求证：平面；
（2）当直线与平面所成角最大时，求三棱锥的体积.
20．某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）按照分层抽样，从和中随机抽取了名学生.现从已抽取的名学生中随机推荐名学生参加体能测试.记推荐的名学生来自的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求(精确到).
参考数据：当时，，，.
参考数据： .
21．已知椭圆的离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，是椭圆上的两个不同的动点，以线段为直径的圆经过坐标原点.是否存在以为圆心的定圆恒与直线相切？若存在，求出定圆方程；若不存在，请说明理由.
22．已知函数.
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）已知函数有两个不同的零点，且.证明：.
广告费用(万元)
销售额(万元)
参考答案
1．C
【分析】
求出集合、，再利用集合的交运算即可求解.
【详解】
故选：C
2．A
【分析】
利用复数的四则运算以及共轭复数的概念即可求解.
【详解】
，
所以.
故选：A
3．D
【分析】
由命题条件得到对应的集合，根据集合的关系即可知命题、的关系.
【详解】
命题：，有或，即，
命题：函数是减函数有，即，
∴⇏，⇏，
∴命题成立是成立的既不充分也不必要条件.
故选：D
4．C
【分析】
根据题意，分3步进行分析：①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，②在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，分3步进行分析：
①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，有种情况，
②在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，有种情况，
③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，有1种情况，
则有种不同的安排方案，
故选：
5．A
【分析】
依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出．
【详解】
依题意可知，直线与圆相交或相切．
即为．
由，解得．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．
6．D
【分析】
比较的大小，再根据单调性，即可得答案；
【详解】
偶函数在上单调递增，
函数在上单调递减，
，
又，，
，
，
故选：D.
【点睛】
根据偶函数的性质，结合函数的单调性是求解的关键.
7．D
【分析】
易知此三棱柱为正三棱柱，上下底面中心连线的中点为球心，求出底面三角形外接圆半径，利用勾股定理即可得解.
【详解】
由三棱柱所有棱的长，可知底面为正三角形，
底面三角形的外接圆直径，所以，
设外接球的半径为，则有，
所以该球的表面积，
故选：D.
8．A
【分析】
根据等比数列前项和公式，结合题意和指数幂的性质进行求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，
因为，，，所以，
，因为，
所以有，
因为，所以，
因此要想对于恒成立，只需，而，
所以.
故选：A
9．BD
【分析】
根据基本不等式，结合对数的运算性质、对钩函数的单调性、指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】
因为正实数，满足，所以，当且仅当时，取等号.
A：因为，所以本选项不正确；
B：设，函数在时，单调递减，因此当时，函数有最小值，最小值为，因此有，即，所以本选项正确；
C：因为正实数，满足，
所以，当且仅当时，取等号，即时，取等号，所以本选项不正确；
D：因为正实数，满足，所以，因此本选项正确.
故选：BD
10．ABD
【分析】
证明出，，可判断A选项的正误；证明出平面，结合可判断B选项的正误；计算出的值，结合以及异面直线所成角的定义可判断C选项的正误；利用线面平行的判定定理可判断D选项的正误.
【详解】
连接、、，则为的中点，
对于A选项，平面，平面，，
、分别为、的中点，则，，A选项正确；
对于B选项，四边形为正方形，则，
又，，平面，
，平面，B选项正确；
对于C选项，易知为等边三角形，则，
，则与所成的角为，C选项错误；
对于D选项，，平面，平面，平面，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查线线垂直、线面垂直、线面平行以及异面直线所成角的判断，属于中等题.
11．BD
【分析】
根据函数的性质结合图象，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】
令，则，所以，得，所以选项A错误；
观察在时的图象，令，得，
可知在上单调递减，在上递增，且在上，，在上，，由此可判断在仅有一个零点，由函数的对称性可知在上也有一个零点，又因为，故该函数有三个零点，所以选项B正确；
由图可知，若关于的方程有解，则，所以选项C错误；
由图可知，的值域为，所以对，恒成立，所以选项D正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查函数的性质和导数在研究函数中的应用，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.
12．ACD
【分析】
根据正余弦函数的性质，结合为直角三角形，易得其高为，斜边为，从而周期为，然后再逐项判断.
【详解】
由，得，
而，
因为函数与的图象恰有三个不同的交点，，，且为直角三角形，
所以的高为，且是等腰直角三角形，
所以斜边为，即周期为，
所以,故A正确；
，故B错误；
因为，则，
由正余弦函数的性质得，且，
因为，则，故C正确；
因为，解得，故D正确；
故选：ACD
【点睛】
易错点睛：由 ，得到，容易忽视确定，且.
13．
【分析】
根据同角三角函数基本关系式，二倍角正弦公式即可化简求值得解.
【详解】
因为
所以
故答案为：.
【点睛】
本题注意“1”的替换，即和齐次化正切的技巧.
14．
【分析】
利用表格可得，，求出回归直线方程，将代入可得此模型预报广告费用为万元时销售额．
【详解】
由表可计算，，因为点在回归直线上,且，所以, 解得,故回归方程为，令得65.5
故答案为：
15．
【分析】
可连接，，，，根据题意即可得出四边形为平行四边形，从而可得出，然后进行数量积的运算即可．
【详解】
如图，连接，，，，
，为，的中点，，为对角线，的中点，
四边形为平行四边形，
，，且，，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形中位线的性质、向量加法的平行四边形法则、向量减法和数乘的几何意义，考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
16．
【分析】
不妨设直线的斜率为正数，过作与抛物线的准线垂直，垂足为，根据抛物线的定义可知，结合可得直线的斜率的取值范围，利用两直线垂直可求出结果.
【详解】
依题意可知直线的斜率存在且不为0，
不妨设直线的斜率为正数，如图：
过作与抛物线的准线垂直，垂足为，
根据抛物线的定义可知，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，即直线的斜率的取值范围为，
又与双曲线的一条渐近线垂直，所以，
所以双曲线的离心率，又，
所以，即该双曲线离心率的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率的取值范围，解题关键是找到关于的不等关系．本题中利用抛物线的定义，结合向量关系求出直线的斜率的取值范围，再利用两直线垂直可得所要求的不等关系.
17．（1）（2），理由见解析
【分析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，根据所选条件求出数列{an}的首项和公差，进一步求出{an}的通项公式；
（2）求得，运用数列的裂项相消求和求得，将与作差，通分化简可得大小．
【详解】
设等差数列的公差为，则
，
.
方案一：选条件①
由，
解得，，
.
又
方案二：选条件②
由
解得，
同方案一
方案三：选条件③
由
解得，
同方案一
【点睛】
规律方法点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．
18．（1），；（2）.
【分析】
（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简，进而由的取值范围得出函数的最值；
（2）利用面积公式，余弦定理和正弦定理求解即可．
【详解】
（1）
当时，
，.
（2）
又
又
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）分别证明和，再由线面垂直的判定定理即证明；
（2）设，建立空间直角坐标系，找出平面的法向量，把直线与平面所成角的正弦表示成的函数，再用均值不等式，即可算出，从而求得三棱锥的体积.
【详解】
（1）证明：平面，平面
四边形为矩形
又，平面
平面
平面
在中，，为中点
又，平面
平面
（2）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，
，，，
设平面的一个法向量为，则
令，解得
设直线与平面所成角为，则
当且仅当时，等号成立
三棱锥的体积
【点睛】
方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20．（1）分布列见解析，；（2）.
【分析】
（1）根据频率分布直方图求出在上抽取的人数为人，在上抽取的人数为人，随机变量的所有可能取值为，，，，利用组合数得出各随机变量的概率，进而得出分布列，即可求出数学期望.
（2）利用频率分布直方图求出平均数，得出，利用正态分布的性质得出，再根据二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】
解：运动时间在的人数为人.
运动时间在的人数为人.
按照分层抽样共抽取人，则在上抽取的人数为人，
在上抽取的人数为人.
随机变量的所有可能取值为，，，.
所以随机变量的分布列为
，
（或）
【点睛】
关键点点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列、频率分布直方图以及正态分布，二项分布求概率，解题的关键是根据频率分布直方图求均值以及利用正态分布的性质求出，考查了计算能力.
21．（1）；（2）存在，.
【分析】
（1）由题意可得，再利用离心率求出，即可求解.
（2）设，，分情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线方程与椭圆联立，利用韦达定理，求出，从而可得，再利用点到直线的距离公式即可求出半径，再求出直线的斜率不存在时圆的半径，从而得出圆的方程.
【详解】
解：由题意知，
又
椭圆的方程为
设，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
由
得
，
以线段为直径的圆过坐标原点
，且
坐标原点到直线的距离
当直线的斜率不存在时，由题知，
坐标原点到直线的距离
综上所述，存在以为圆心的定圆恒与直线相切，定圆的方程为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是根据，得出，考查了运算求解能力、分析能力.
22．（1）当时，无极值点；当时，有个极值点；（2）证明见解析.
【分析】
（1）易知函数的定义域为，求导可得，令，则，由的单调性可得 ，再分和讨论即可得解；
（2）由题意知，，
由的单调性可得，若要函数有两个不同零点
则有，即，再根据，
令，可得，令，可得，作差即可得解.
【详解】
（1）函数的定义域为，
，
令，
则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减
当时，，
在上单调递减，
此时，无极值点；
当时，
，
在上有且只有一个零点.
在上有且只有一个极值点.
又，
在上有且只有一个零点.
在上有且只有一个极值点.
综上所述，当时，无极值点；
当时，有个极值点；
（2），则
当时，，单调递减.
当时，，单调递增.
函数有两个不同零点，且
，即
又
令，
则
令，
则
单调递增
单调递增.
，
令，
则
当时，，单调递增，
当时，，单调递减
即
令，则
.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的性质，考查了分类讨论思想和证明推理能力，在高考中考查压轴题，要求较高的计算能力和逻辑思维能力，属于难题.本题的关键点有：
（1）分类讨论思想的应用，分类讨论的关键是找到讨论点；
（2）反复的构造函数，并用导数研究相关构造的函数.