2021年江苏省南通市中考数学模拟试卷

这是一份2021年江苏省南通市中考数学模拟试卷，共29页。

A．B．C．﹣2020D．2020
2．（3分）我国探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星是世界首颗运行在地月L2点Hal轨道的卫星，它的运行轨道距月球约65000公里，将65000用科学记数法表示应为（ ）
A．6.5×104B．65×103C．0.65×105D．6.5×105
3．（3分）如图，数轴上点A所表示的实数是（ ）
A．B．C．D．2
4．（3分）在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球8个，黄球n个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是黄球的概率为，则放入的黄球个数?＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．（3分）下列运算，正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a6B．（a2）5＝a10
C．a2a5＝a10D．（3ab）2＝3a2b2
6．（3分）一副三角板如图方式摆放，点D在直线EF上，且AB∥EF，则∠ADE的度数是（ ）
A．105°B．75°C．60°D．45°
7．（3分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（ ）
A．1+x＝225B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225D．1+（1+x2 ）＝225
8．（3分）小明在学了尺规作图后，通过“三弧法“作了一个△ACD，其作法步骤是：
①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；
②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；
③连接AC，BC，CD．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠A＝60°B．△ACD是直角三角形
C．BC＝CDD．点B是△ACD的外心
9．（3分）已知，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发4分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．A、B两地相距2480米
B．甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟
C．乙出发17分钟后，两人在C地相遇
D．乙到达A地时，甲与A地相距的路程是300米
10．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（ ）
A．3B．2C．4D．2+2
二．填空题（共8小题，11-12每题3分，13-18每题4分，共30分）
11．（3分）把a3﹣ab2分解因式的结果为 ．
12．（3分）计算：（）﹣1﹣6tan30°﹣（﹣1）0+＝ ．（只写结果）
13．（3分）已知几何体三视图如图所示，则这个几何体的侧面积为 ．
14．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》采用问题集的形式，全书共收集了246个问题，分为九章，其中的第八章叫“方程”章，方程一词就源于这里．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”
译文：“几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人，物品的价格是多少”？
设有x人，可列方程为 ．
15．（4分）已知α，β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实根，则α3+8β+6的值为 ．
16．（4分）“南昌之星”摩天轮，位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，摩天轮高160m（最高点到地面的距离）．如图，点O是摩天轮的圆心，AB是其垂直于地面的直径，小贤在地面点C处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，测得圆心O的仰角为30°，则摩天轮的半径为 m．（结果保留根号）
17．（4分）如图，点A，B为直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线（x＞0）于C，D两点．若BD＝2AC，则4OC2﹣OD2的值为 ．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则点F与点C的最小距离为 ．
三．解答题（共8小题，共90分）
19．（14分）（1）解一元一次不等式组：．
（2）先化简，再求值：（），其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
20．（10分）2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强．为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
请你根据上面的信息，解答下列问题
（1）本次共调查了 名员工，条形统计图中m＝ ；
（2）若该公司共有员工1000名，请你估计“不了解”防护措施的人数；
（3）在调查中，发现有4名员工对防护措施“很了解”，其中有3名男员工、1名女员工．若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司群内普及防护措施，用画树状图或列表法求恰好抽中一男一女的概率（要求画出树状图或列出表格）．
21．（10分）某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用200元在同一家商店买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果这次的本数正好是上次的两倍．求第一次买了多少本资料？
22．（8分）已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB＝CE，∠B＝∠E．求证：BC＝ED．
23．（12分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝mx交于点C，直线l：y＝4分别交两函数图象于点A（1，4）和点B，过点B作BD⊥l交反比例函数图象于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当BD＝2AB时，求点B的坐标．
24．（12分）如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM．
（1）求证：PM＝PN；
（2）当P，A重合时，求MN的值；
（3）若△PQM的面积为S，求S的取值范围．
25．（12分）已知关于x的方程ax2+（3a+1）x+3＝0．
（1）求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根；
（2）若抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线y＝﹣x+5与y轴交于点C，与直线OH交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围．
26．（14分）M（﹣1，﹣），N（1，﹣）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．
（1）在点，，，A4（2，2）中，线段MN的可视点为 ；
（2）若点B是直线y＝x+上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．
2021年江苏省南通市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）的绝对值是（ ）
A．B．C．﹣2020D．2020
【分析】根据绝对值的定义直接进行计算．
【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，可得．
故选：A．
2．（3分）我国探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星是世界首颗运行在地月L2点Hal轨道的卫星，它的运行轨道距月球约65000公里，将65000用科学记数法表示应为（ ）
A．6.5×104B．65×103C．0.65×105D．6.5×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将65000用科学记数法表示为：6.5×104．
故选：A．
3．（3分）如图，数轴上点A所表示的实数是（ ）
A．B．C．D．2
【分析】根据勾股定理，可得斜线的长，根据圆的性质，可得答案．
【解答】解：由勾股定理，得
斜线的为＝，
由圆的性质得：点A表示的数为﹣1+，即﹣1．
故选：B．
4．（3分）在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球8个，黄球n个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是黄球的概率为，则放入的黄球个数?＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据口袋中装有白球6个，黑球8个，黄球n个，故球的总个数为6+8+n，再根据黄球的概率公式列式解答即可．
【解答】解：∵口袋中装有白球6个，黑球8个，黄球n个，
∴球的总个数为6+8+n，
∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，
∴
解得，n＝7．
故选：D．
5．（3分）下列运算，正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a6B．（a2）5＝a10
C．a2a5＝a10D．（3ab）2＝3a2b2
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则来分析．
【解答】解：
A．错误，a3+a3＝2a3
B．正确，因为幂的乘方，底数不变，指数相乘．
C．错误，a2a5＝a7
D．错误，（3ab）2＝9a2b2
故选：B．
6．（3分）一副三角板如图方式摆放，点D在直线EF上，且AB∥EF，则∠ADE的度数是（ ）
A．105°B．75°C．60°D．45°
【分析】直接利用平行线的性质结合三角板的性质分析得出答案．
【解答】解：由三角板的特点得出∠DAB＝45°+30°＝75°，
∵AB∥EF，
∴∠DAB＝∠EDA＝75°．
故选：B．
7．（3分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（ ）
A．1+x＝225B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225D．1+（1+x2 ）＝225
【分析】此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根据题意列方程即可．
【解答】解：设1人平均感染x人，
依题意可列方程：（1+x）2＝225．
故选：C．
8．（3分）小明在学了尺规作图后，通过“三弧法“作了一个△ACD，其作法步骤是：
①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；
②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；
③连接AC，BC，CD．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠A＝60°B．△ACD是直角三角形
C．BC＝CDD．点B是△ACD的外心
【分析】根据等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的外心等知识一一判断即可．
【解答】解：由作图可知：AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵BA＝BC＝BD，
∴△ACD是直角三角形，
∴点B是△ACD的外心．
故选：C．
9．（3分）已知，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发4分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．A、B两地相距2480米
B．甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟
C．乙出发17分钟后，两人在C地相遇
D．乙到达A地时，甲与A地相距的路程是300米
【分析】根据图象可知A、B两地相距2480米；利用速度＝路程÷时间可求出甲、乙的速度，由二者相遇的时间＝4+A、B两地之间的路程÷二者速度和，可求出二者相遇的时间，再由A、C两地之间的距离＝甲的速度×二者相遇的时间可求出A、C两地之间的距离，由A、C两地之间的距离结合甲、乙的速度，可求出乙到达A地时甲与A地相距的路程．
【解答】解：由图象可知，A、B两地相距2480米，故选项A不合题意；
甲的速度为（2480﹣2240）÷4＝60（米/分钟），
乙的速度为（2240﹣840）÷（14﹣4）﹣60＝80（米/分钟），故选项B不合题意；
甲、乙相遇的时间为4+2240÷（60+80）＝20（分钟），故选项C符合题意；
A、C两地之间的距离为60×20＝1200（米），
乙到达A地时，甲与A地相距的路程为1200﹣1200÷80×60＝300（米）．故选项D不合题意．
故选：C．
10．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（ ）
A．3B．2C．4D．2+2
【分析】如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明∠GNB＝60°，点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称，推出GB＝GE，推出GB+GC＝GE+GC≥EC，求出EC即可解决问题．
【解答】解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．
∵四边形ABCD是菱形
∴AD＝AB，
∵∠A＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD＝BD，
∵AE＝ED，AN＝NB，
∴AE＝AN，
∵∠A＝60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN＝∠FEG＝60°，
∴∠AEF＝∠NEG，
∵EA＝EN，EF＝EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG＝∠A＝60°，
∵∠ANE＝60°，
∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
易知B，E关于射线NG对称，
∴GB＝GE，
∴GB+GC＝GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，
∴DH＝DE＝1，EH＝，
在Rt△ECH中，EC＝＝2，
∴GB+GC≥2，
∴GB+GC的最小值为2．
故选：B．
二．填空题（共8小题，11-12每题3分，13-18每题4分，共30分）
11．（3分）把a3﹣ab2分解因式的结果为 a（a+b）（a﹣b） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
12．（3分）计算：（）﹣1﹣6tan30°﹣（﹣1）0+＝ 1 ．（只写结果）
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣6×﹣1+2
＝2﹣2﹣1+2
＝1．
故答案为：1．
13．（3分）已知几何体三视图如图所示，则这个几何体的侧面积为 20π ．
【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：此几何体为圆锥；
∵直径为8，母线长为，
∴侧面积＝8π×5÷2＝20π．
故答案为20π．
14．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》采用问题集的形式，全书共收集了246个问题，分为九章，其中的第八章叫“方程”章，方程一词就源于这里．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”
译文：“几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人，物品的价格是多少”？
设有x人，可列方程为 8x﹣3＝7x+4 ．
【分析】根据译文：“几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人，物品的价格是多少”？可知若设有x人，可列出相应的方程，从而本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
设有x人，可列方程为：8x﹣3＝7x+4．
故答案为：8x﹣3＝7x+4．
15．（4分）已知α，β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实根，则α3+8β+6的值为 30 ．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2＝2α+4，再用α表示α3，则运算可化简为8（α+β）+14，然后利用根与系数的关系求解．
【解答】解：∵α方程x2﹣2x﹣4＝0的实根，
∴α2﹣2α﹣4＝0，即α2＝2α+4，
∴α3＝2α2+4α＝2（2α+4）+4α＝8α+8，
∴原式＝8α+8+8β+6
＝8（α+β）+14，
∵α，β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实根，
∴α+β＝2，
∴原式＝8×2+14＝30．
故答案为30．
16．（4分）“南昌之星”摩天轮，位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，摩天轮高160m（最高点到地面的距离）．如图，点O是摩天轮的圆心，AB是其垂直于地面的直径，小贤在地面点C处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，测得圆心O的仰角为30°，则摩天轮的半径为 （160﹣） m．（结果保留根号）
【分析】如图，根据题意知AD＝160m，通过解直角△ACD求得AD、AD的长度；通过解直角△OCD求得OD的长度，则AO＝AD﹣OD，此题得解．
【解答】解：如图，AB的延长线交直线CD于点D，
由题意知AD＝160m，
在直角△ACD中，∠ACD＝45°，则AD＝CD＝160m．
在直角△OCD中，∠OCD＝30°，则OD＝CD•tan30°＝m．
所以AO＝AD﹣OD＝160﹣（m），即摩天轮的半径为（160﹣）m．
故答案是：（160﹣）．
17．（4分）如图，点A，B为直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线（x＞0）于C，D两点．若BD＝2AC，则4OC2﹣OD2的值为 6 ．
【分析】根据A，B两点在直线y＝x上，分别设A，B两点的坐标为（a，a），（b，b），得到点C的坐标为（a，），点D的坐标为（b，），线段AC＝a﹣，线段BD＝b﹣，根据BD＝2AC，有b﹣＝2（a﹣），然后利用勾股定理进行计算求出4OC2﹣OD2的值．
【解答】解：设A（a，a），B（b，b），则C（a，），D（b，）
AC＝a﹣，BD＝b﹣，
∵BD＝2AC，
∴b﹣＝2（a﹣）
4OC2﹣OD2＝4（a2+）﹣（b2+）
＝4[+2]﹣[+2]
＝4+8﹣4﹣2
＝6．
故答案为：6．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则点F与点C的最小距离为 3﹣1 ．
【分析】如图取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝3，可得FG＝1，推出点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图取AB的中点G，连接FG．FC．GC．
∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，
∴＝，
∵AB＝6，AG＝GB，
∴AG＝GB＝3，
∵AD＝9，
∴＝＝，
∴＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B═∠EAF＝90°，
∴∠FAG＝∠EAD，
∴△FAG∽△EAD，
∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，
∵DE＝3，
∴FG＝1，
∴点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，
∵GC＝＝3，
∴FC≥GC﹣FG，
∴FC≥3﹣1，
∴CF的最小值为3﹣1．
故答案为3﹣1．
三．解答题（共8小题，共90分）
19．（14分）（1）解一元一次不等式组：．
（2）先化简，再求值：（），其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】（1）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x2﹣2x﹣2＝0，可以得到x2＝2x+2，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1），
由不等式①，得
x＜，
由不等式②，得
x≤﹣1，
故原不等式组的解集是x≤﹣1；
（2）（）
＝
＝
＝
＝，
∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2＝2x+2，
∴原式＝＝．
20．（10分）2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强．为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
请你根据上面的信息，解答下列问题
（1）本次共调查了 60 名员工，条形统计图中m＝ 20 ；
（2）若该公司共有员工1000名，请你估计“不了解”防护措施的人数；
（3）在调查中，发现有4名员工对防护措施“很了解”，其中有3名男员工、1名女员工．若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司群内普及防护措施，用画树状图或列表法求恰好抽中一男一女的概率（要求画出树状图或列出表格）．
【分析】（1）根据“了解很少”的员工有24名，其所占的百分比为40%，求出总人数即可解决问题；
（2）利用样本估计总体的思想解决问题即可；
（3）根据题意列出图表得出所有等情况数和恰好抽中一男一女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）由统计图可知，“了解很少”的员工有24名，其所占的百分比为40%，
故本次调查的员工人数为24÷40%＝60（名），m＝60﹣12﹣24﹣4＝20．
故答案为：60，20；
（2）根据题意得：
1000×＝200（名），
答：不了解防护措施的人数为200名；
（3）根据题意列表如下：
共有12种等情况数，其中恰好抽中一男一女的6种，
则恰好抽中一男一女的概率为＝．
21．（10分）某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用200元在同一家商店买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果这次的本数正好是上次的两倍．求第一次买了多少本资料？
【分析】设第一次买了x本资料，根据条件“商家每本优惠4元，结果这次的本数正好是上次的两倍”列分式方程求解可得．
【解答】解：设第一次买了x本资料，
根据题意，得：﹣＝4，
整理，得：4x＝20．
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原分式方程得解，
答：第一次买了5本资料．
22．（8分）已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB＝CE，∠B＝∠E．求证：BC＝ED．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC＝∠ECD，然后利用“ASA”定理证明△ABC≌△CED，根据全等三角形对应边相等即可证得结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ECD，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（ASA），
∴BC＝ED．
23．（12分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝mx交于点C，直线l：y＝4分别交两函数图象于点A（1，4）和点B，过点B作BD⊥l交反比例函数图象于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当BD＝2AB时，求点B的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）设B（n，4），则D（n，），根据BD＝2AB，构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵A（1，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）设B（n，4），则D（n，），
∵BD＝2AB，
∴4﹣＝2（n﹣1），
整理得：n2﹣3n+2＝0，
解得n1＝2，n2＝1（舍去），
∴B（2，4）．
24．（12分）如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM．
（1）求证：PM＝PN；
（2）当P，A重合时，求MN的值；
（3）若△PQM的面积为S，求S的取值范围．
【分析】（1）想办法证明∠PMN＝∠PNM即可解决问题．
（2）点P与点A重合时，设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN．
（3）当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN．
（2）解：点P与点A重合时，如图2中，
设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，AC＝＝＝4，
∴CQ＝AC＝2，
∴QN＝＝＝，
∴MN＝2QN＝2．
（3）解：当MN过点D时，如图3所示，
此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，
当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝×5×4＝5，
∴4≤S≤5，
25．（12分）已知关于x的方程ax2+（3a+1）x+3＝0．
（1）求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根；
（2）若抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线y＝﹣x+5与y轴交于点C，与直线OH交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围．
【分析】（1）分别讨论当a＝0和a≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；
（2）令y＝0，则 ax2+（3a+1）x+3＝0，求出两根，再根据抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求出a的值，即可求顶点坐标；
（3）分两种情况讨论，通过特殊位置可求h的范围，由平移的抛物线与直线CD（含端点C）只有一个公共点，联立方程组可求h的值，即可求解．
【解答】解：（1）当a＝0时，原方程化为x+3＝0，此时方程有实数根 x＝﹣3．
当m≠0时，原方程为一元二次方程．
∵△＝（3a+1）2﹣12a＝9a2﹣6a+1＝（3a﹣1）2≥0．
∴此时方程有两个实数根．
综上，不论m为任何实数时，方程 ax2+（3a+1）x+3＝0总有实数根．
（2）∵令y＝0，则 ax2+（3a+1）x+3＝0．
解得 x1＝﹣3，x2＝﹣．
∵抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数，
∴a＝1．
∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1．
∴顶点H坐标为（﹣2，﹣1）；
（3）∵点O（0，0），点H（﹣2，﹣1）
∴直线OH的解析式为：y＝x，
∵现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．
∴设平移后的抛物线顶点坐标为（h，h），
∴解析式为：y＝（x﹣h）2+h，
∵直线y＝﹣x+5与y轴交于点C，
∴点C坐标为（0，5）
当抛物线经过点C时，
∴5＝（0﹣h）2+h，
∴h1＝﹣，h2＝2，
∴当﹣＜h≤2时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点；
当平移的抛物线与直线CD（含端点C）只有一个公共点，
联立方程组可得
∴x2+（1﹣2h）x+h2+h﹣5＝0，
∴△＝（1﹣2h）2﹣4（h2+h﹣5）＝0
∴h＝，
∴抛物线y＝（x﹣）2+与射线CD的唯一交点为（3，2），符合题意；
综上所述：平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，顶点横坐标h＝或﹣＜h≤2．
26．（14分）M（﹣1，﹣），N（1，﹣）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．
（1）在点，，，A4（2，2）中，线段MN的可视点为 A1，A3 ；
（2）若点B是直线y＝x+上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）根据“直径所对的圆周角是直角”可知线段MN的可视点在以MN为直径的圆的外部或圆上，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可知线段MN的可视点在以E为圆心，EM长为半径的⊙E的内部或⊙E上，根据坐标可以判断哪些点符合要求．
（2）点B既要在直线y＝x+上，又要⊙E的内部或圆上，且在⊙G的外部或圆上，故应该在直线y＝x+与⊙G、⊙E的交点E、F为端点的线段上，求出E、F的横坐标即可．
（3）通过求极点，可求b的范围．
【解答】解：（1）如图1，以MN为直径的半圆交y轴于点E，以E为圆心，EM长为半径的⊙E交y轴于点F，
∵MN是⊙G的直径，
∴∠MA1N＝90°，
∵M（﹣1，﹣），N（1，﹣）
∴MN⊥EG，EG＝1，MN＝2
∴EM＝EF＝，
∴∠MFN＝∠MEN＝45°，
∵45°≤∠MPN≤90°，
∴点P应落在⊙E内部，且落在⊙G外部
∴线段MN的可视点为A1，A3；
故答案为A1，A3；
（2）如图2，以（0，）为圆心，1为半径作圆，以（0，）为圆心，为半径作圆，两圆在直线MN上方的部分与直线分别交于点E，F．
过点F作FH⊥x轴，过点E作EH⊥FH于点H，
∵FH⊥x轴，
∴FH∥y轴，
∴∠EFH＝∠MEG＝45°，
∵∠EHF＝90°，EF＝，
∴EH＝FH＝1，
∴E（0，），F（1，）．
只有当点B在线段EF上时，满足45°≤∠MBN≤90°，点B是线段MN的可视点．
∴点B的横坐标t的取值范围是0≤t≤1．
（3）如图3，⊙G与x轴交于H，与y轴交于E，连接GH，OG＝，GH＝1，
∴OH＝＝＝，
∴H（，0），E（0，），
当直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，
若直线y＝x+b过点E（0，），可得b＝，
若直线y＝x+b过点H（，0），可得b＝﹣
若直线y＝x+b过点N，
将 N（1，﹣）代入得b＝﹣，
当直线y＝x+b与⊙E相切于T时交y轴于Q，连接ET，则ET⊥TQ，
∵∠EQT＝45°，
∴TQ＝ET＝EM＝，
∴EQ＝＝＝2
∴OQ＝OE+EQ＝+2＝，
∴﹣＜b≤﹣或≤b≤．
综上所述：﹣＜b≤﹣或≤b≤．
员工
男甲
男乙
男丙
女
男甲
男乙、男甲
男丙、男甲
女、男甲
男乙
男甲、男乙
男丙、男乙
女、男乙
男丙
男甲、男丙
男乙、男丙
女、男丙
女
男甲、女
男乙、女
男丙、女