2021年辽宁省葫芦岛市中考数学一模试卷

这是一份2021年辽宁省葫芦岛市中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2021的倒数是（ ）
A．2021B．﹣2021C．D．﹣
2．（3分）下列四个图形是四所医科大学的校徽，其中校徽内部图案（不含文字）是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）方程x2＝1的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x1＝1，x2＝0D．x1＝﹣1，x2＝1
4．（3分）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．50°
5．（3分）已知数据5，3，5，4，6，5，4，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是4B．众数是4
C．中位数与众数都是5D．中位数与平均数都是5
6．（3分）某玩具车间每天能生产甲种玩具零件100个或乙种玩具零件200个，甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天，则有（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．45°B．60°C．70°D．90°
8．（3分）如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（4，0）C．（3，﹣3）D．（5，﹣1）
9．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，∠B＝30°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转40°到△A′B′C′的位置，则∠CC′B′＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③B．①③④C．①②③D．①②③④
二、填空题：每小题3分，共24分。
11．（3分）中美贸易战以来，强国需更多的中国制造，中芯国际扛起中国芯片大旗，日前我国能制造心芯片的最小工艺水平已经达到7纳米，居世界前列，已知1纳米＝0.000000001米，用科学记数法将7纳米表示为 米．
12．（3分）因式分解：x3﹣6x2+9x＝ ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
14．（3分）如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为 ．
15．（3分）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为 米．（≈1.73，结果精确到0.1米）
16．（3分）如图所示，矩形ABCD的边AB＝4cm，AD＝5cm，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为邻边作平行四边形ABC2O2…，依此类推，平行四边形AB∁nOn的面积为 cm2．
17．（3分）已知：如图，∠AOB＝45°，点P为∠AOB内部的点，点P关于OB，OA的对称点P1，P2的连线交OA，OB于M，N两点，连接PM，PN，若OP＝2，则△PMN的周长＝ ．
18．（3分）如图，点A1（2，1）在直线y＝kx上，过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y＝kx和x轴于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则带点∁n的坐标为 （结果用含正整数n的代数式表示）．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
20．（12分）我校学生会新闻社准备近期做一个关于“H7N9流感病毒”的专刊，想知道同学们对禽流感知识的了解程度，决定随机抽取部分同学进行一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的同学共有 名；
（2）请补全折线统计图，并求出扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的大小；
（3）为了让全校师生都能更好地预防禽流感，学生会准备组织一次宣讲活动，由问卷调查中“了解”的几名同学组成一个宣讲团．已知这几名同学中只有两个女生，若要在该宣讲团中任选两名同学在全校师生大会上作代表发言，请用列表或画树状图的方法，求选取的两名同学都是女生的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，2）、B（2，0），C（﹣4，﹣2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）若将（1）中的△ABC平移，使点B的对应点B′坐标为（6，2），画出平移后的△A′B′C′；
（3）求△A′B′C′的面积．
22．（12分）已知A（2，﹣3）、P（3，）、Q（﹣5，b）都在反比例函数的图象y＝（k≠0）上．
（1）求此反比例函数解析式；
（2）求a+的值；
（3）若反比例函数y＝经过A′（2，3），点P和点Q关于y轴的对称点P′，Q′在反比例函数y＝的图象上吗？通过计算说明理由．
五、解答题（共12分）
23．（12分）已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连接DE，DE＝．
（1）求证：AM•MB＝EM•MC；
（2）求EM的长．
六、解答题（共12分）
24．（12分）随着人们环保意识的增强，越来越多的人选择低碳出行，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行五月份A型车的销售总利润为4320元，B型车的销售总利润为3060元．且A型车的销售数量是B型车的2倍，已知销售B型车比A型车每辆可多获利50元．
（1）求每辆A型车和B型车的销售利润；
（2）若该车行计划一次购进A、B两种型号的自行车共100台且全部售出，其中B型车的进货数量不超过A型车的2倍，则该车行购进A型车、B型车各多少辆，才能使销售总利润最大？最大销售总利润是多少？
七、解答题（共12分）
25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，过E作EM∥AC交AB于点M，连接MD．
（1）当∠ADC＝80°时，求∠CBE的度数；
（2）当∠ADC＝α时：
①求证：BE＝CE；
②求证：∠ADM＝∠CDM；
③当α为多少度时，DM＝EM．
八、解答题（共14分）
26．（14分）定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k的关联直线．
（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；
（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连接AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．
2021年辽宁省葫芦岛市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共30分，在四个选项中只有一项是正确的。
1．（3分）2021的倒数是（ ）
A．2021B．﹣2021C．D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：2021的倒数是．
故选：C．
2．（3分）下列四个图形是四所医科大学的校徽，其中校徽内部图案（不含文字）是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）方程x2＝1的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x1＝1，x2＝0D．x1＝﹣1，x2＝1
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：x2＝1，
x1＝﹣1，x2＝1．
故选：D．
4．（3分）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．50°
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．
故选：C．
5．（3分）已知数据5，3，5，4，6，5，4，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是4B．众数是4
C．中位数与众数都是5D．中位数与平均数都是5
【分析】先把原数据从小到大排列为：3，4，4，5，5，5，6，然后根据众数、中位数和平均数的定义进行判断．
【解答】解：数据5，3，5，4，6，5，4从小到大排列为：3，4，4，5，5，5，6，
所以这组数据的众数为5，中位数为5，平均数＝≈4.7．
故选：C．
6．（3分）某玩具车间每天能生产甲种玩具零件100个或乙种玩具零件200个，甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天，则有（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据某玩具车间每天能生产甲种玩具零件100个或乙种玩具零件200个，甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
7．（3分）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．45°B．60°C．70°D．90°
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B＝30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，然后利用∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算．
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，
∴∠AB′B＝（180°﹣120°）＝30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，
∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝120°﹣30°＝90°．
故选：D．
8．（3分）如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（4，0）C．（3，﹣3）D．（5，﹣1）
【分析】画图可得结论．
【解答】解：画图如下：
则A'（5，﹣1），
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，∠B＝30°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转40°到△A′B′C′的位置，则∠CC′B′＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角进行解答．
【解答】解：∵在△ABC中，∠CAB＝70°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AB′C′，
∴∠CAC′＝40°，∠AC′B′＝∠ACB＝80°，AC＝AC′，
∴∠AC′C＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠CC′B′＝∠AC′B′﹣∠AC′C＝10°，
故选：A．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③B．①③④C．①②③D．①②③④
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；
②根据抛物线与x轴的交点坐标即可得结论；
③根据对称轴和与x轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论；
④根据点（，0）和对称轴方程即可得结论．
【解答】解：①观察图象可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①正确；
②当x＝时，y＝0，
即a+b+c＝0，
∴a+2b+4c＝0，
∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，
所以②正确；
③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（，0），
所以与x轴的另一个交点为（﹣，0），
当x＝﹣时，a﹣b+c＝0，
∴25a﹣10b+4c＝0．
所以③正确；
④当x＝时，a+2b+4c＝0，
又对称轴：﹣＝﹣1，
∴b＝2a，a＝b，
b+2b+4c＝0，
∴b＝﹣c．
∴3b+2c＝﹣c+2c＝﹣c＜0，
∴3b+2c＜0．
所以④错误．
故选：C．
二、填空题：每小题3分，共24分。
11．（3分）中美贸易战以来，强国需更多的中国制造，中芯国际扛起中国芯片大旗，日前我国能制造心芯片的最小工艺水平已经达到7纳米，居世界前列，已知1纳米＝0.000000001米，用科学记数法将7纳米表示为 7×10﹣9 米．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：7纳米＝0.000000001×7m＝7×10﹣9m．
故答案为：7×10﹣9．
12．（3分）因式分解：x3﹣6x2+9x＝ x（x﹣3）2 ．
【分析】原式提取x，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣6x+9）＝x（x﹣3）2，
故答案为：x（x﹣3）2
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ﹣ ．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可得△＝0，解方程即可得出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等的实数根
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＝0
解得m＝﹣．
故答案为﹣．
14．（3分）如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为 ．
【分析】根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率．
【解答】解：设正方形的边长为2a，则圆的直径为2a，
故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为＝＝＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为 54.6 米．（≈1.73，结果精确到0.1米）
【分析】过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，然后锐角三角函数的定义分别求出AD、PD后即可求出两岸之间的距离．
【解答】解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，
∵∠PBC＝75°，∠PAB＝30°，
∴∠DPB＝45°，
∵AB＝80，
∴BD＝40，AD＝40，
∴PD＝DB＝40，
∴AP＝AD+PD＝40+40，
∵a∥b，
∴∠EPA＝∠PAB＝30°，
∴AE＝AP＝20+20≈54.6，
故答案为：54.6
16．（3分）如图所示，矩形ABCD的边AB＝4cm，AD＝5cm，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为邻边作平行四边形ABC2O2…，依此类推，平行四边形AB∁nOn的面积为 cm2．
【分析】根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可．
【解答】解：矩形ABCD的面积为S＝4×5＝20cm2，
∵O1为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形ABC1O1底边AB上的高等于BC的，
∴平行四边形ABC1O1的面积＝×20＝，
∵平行四边形ABC2O2的对角线交于点O2，
∴平行四边形ABC2O2的边AB上的高等于平行四边形ABC1O1底边AB上的高的，
∴平行四边形ABC2O2的面积＝××20＝，
…，
依此类推，平行四边形AB∁nOn的面积＝cm2．
故答案为：．
17．（3分）已知：如图，∠AOB＝45°，点P为∠AOB内部的点，点P关于OB，OA的对称点P1，P2的连线交OA，OB于M，N两点，连接PM，PN，若OP＝2，则△PMN的周长＝ ．
【分析】根据题意和轴对称的性质，利用勾股定理可以得到P1P2的长，从而可以得到△PMN的周长．
【解答】解：连接OP1，OP2，
由题意可得，OP1＝OP，OP2＝OP，∠P1OB＝∠POB，∠POA＝∠P2OA，
∵∠AOB＝45°，OP＝2，
∴∠P1OP2＝90°，OP1＝OP2＝2，
∴P1P2＝2，
∵PN＝P1N，PM＝P2M，
∴PM+PN+MN＝P2M+P1N+MN＝P1P2＝2，
即△PMN的周长＝2，
故答案为：2．
18．（3分）如图，点A1（2，1）在直线y＝kx上，过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y＝kx和x轴于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则带点∁n的坐标为 （，） （结果用含正整数n的代数式表示）．
【分析】先根据点A1的坐标以及A1B1∥y轴，求得B1的坐标，进而根据等腰直角三角形的性质得到B2的坐标，即可求得A2的坐标，从而求得C1的坐标，进而得到B3的坐标，求得A3的坐标，从而求得C2的坐标，最后根据根据变换规律，求得∁n的坐标．
【解答】解：∵点A1（2，1）在直线y＝kx上，
∴1＝2k，解得k＝，
∴直线为y＝x，
∵过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，
∴A1C1∥x轴，
∴B2（3，0），C1（3，1），
当x＝3时，y＝x＝，即A2（2，），
∴B3（，0），
∴C2（，），
∴以此类推，
C3（，），
…
∁n（，），
故答案为：（，）．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
【分析】先化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣）÷
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
当a＝时，原式＝．
20．（12分）我校学生会新闻社准备近期做一个关于“H7N9流感病毒”的专刊，想知道同学们对禽流感知识的了解程度，决定随机抽取部分同学进行一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的同学共有 60 名；
（2）请补全折线统计图，并求出扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的大小；
（3）为了让全校师生都能更好地预防禽流感，学生会准备组织一次宣讲活动，由问卷调查中“了解”的几名同学组成一个宣讲团．已知这几名同学中只有两个女生，若要在该宣讲团中任选两名同学在全校师生大会上作代表发言，请用列表或画树状图的方法，求选取的两名同学都是女生的概率．
【分析】（1）用了解很少的学生数除以其所占的百分比即可求出答案；
（2）用总数减去不了解、了解很少、了解的学生数，即可补全折线统计图；再用360°乘以基本了解部分所占的百分比即可求出扇形的圆心角的度数；
（3）列出表格即可求出选取的两名同学都是女生的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：30÷50%＝60（名）
答：接受问卷调查的学生共有 60名；
（2）“了解”的人数＝60﹣10﹣15﹣30＝5（名）；
“基本了解”部分所对应扇形的圆心角是：360°×＝90°；
补全折线图如图所示：
（3）设“了解”的同学中两位女同学分别为G1，G2；男同学为B1，B2，B3，
根据题意可列如下表格：
由表格知，总共有20种等可能发生的情况，其中符合题意的有2种，
故．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，2）、B（2，0），C（﹣4，﹣2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）若将（1）中的△ABC平移，使点B的对应点B′坐标为（6，2），画出平移后的△A′B′C′；
（3）求△A′B′C′的面积．
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标描点，从而可得到△ABC；
（2）利用点B和B′的坐标关系可判断△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A′B′C′，利用此平移规律写出A′、C′的坐标，然后描点即可得到△A′B′C′；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A′B′C′的面积．
【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）如图，△A′B′C′为所作；
（3）△A′B′C′的面积＝6×4﹣×2×6﹣×2×4﹣×4×2＝10．
22．（12分）已知A（2，﹣3）、P（3，）、Q（﹣5，b）都在反比例函数的图象y＝（k≠0）上．
（1）求此反比例函数解析式；
（2）求a+的值；
（3）若反比例函数y＝经过A′（2，3），点P和点Q关于y轴的对称点P′，Q′在反比例函数y＝的图象上吗？通过计算说明理由．
【分析】（1）将A（2，﹣3）代入反比例函数y＝（k≠0）即可；
（2）将点P（3，）、Q（﹣5，b）代入y＝﹣，求得a、b的值，代入运算即可；
（3）求出点P（3，﹣2）、Q（﹣5，）关于y轴的对称点，代入验证即可．
【解答】解：（1）将A（2，﹣3）代入反比例函数y＝，得
﹣3＝，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣；
（2）将点P（3，）、Q（﹣5，b）代入y＝﹣，
，b＝﹣，
∴a＝﹣4，b＝，
∴a+＝﹣4+1＝﹣3；
（3）若反比例函数y＝经过A′（2，3），则反比例函数解析式为y＝﹣，
∴点P和点Q关于y轴的对称点P′（﹣3，﹣2），Q′（5，）在反比例函数y＝﹣的图象上．
五、解答题（共12分）
23．（12分）已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连接DE，DE＝．
（1）求证：AM•MB＝EM•MC；
（2）求EM的长．
【分析】（1）直接根据相交弦定理可得AM•MB＝EM•MC；
（2）根据M是OB中点，再结合⊙O半径等于4，易求BM、AM，而CD是直径，于是∠CED＝90°，根据勾股定理易求CE，再结合（1）中AM•MB＝EM•MC，设EM＝x，易得6×2＝x•（7﹣x），解关于x的方程可得x＝3或4，而EM＞MC，从而可求EM＝4．
【解答】证明：（1）∵AB、CE是⊙O内的两条相交弦，
∴AM•MB＝EM•MC；
（2）∵M是OB中点，圆半径R＝4，
∴OM＝MB＝2，
∴AM＝6，
∵CD是直径，
∴∠CED＝90°，
∴CE2＝CD2﹣DE2，
∴CE＝＝7，
设EM＝x，6×2＝x•（7﹣x），
解得x＝3或x＝4，
∵EM＞MC，
∴EM＝4．
六、解答题（共12分）
24．（12分）随着人们环保意识的增强，越来越多的人选择低碳出行，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行五月份A型车的销售总利润为4320元，B型车的销售总利润为3060元．且A型车的销售数量是B型车的2倍，已知销售B型车比A型车每辆可多获利50元．
（1）求每辆A型车和B型车的销售利润；
（2）若该车行计划一次购进A、B两种型号的自行车共100台且全部售出，其中B型车的进货数量不超过A型车的2倍，则该车行购进A型车、B型车各多少辆，才能使销售总利润最大？最大销售总利润是多少？
【分析】（1）设每台A型车的利润为x元，则每台B型车的利润为（x+50）元，然后根据销售A型车数量是销售B型车的2倍列出方程，然后求解即可；
（2）设购进A型车a台，这100台车的销售总利润为y元．根据总利润等于两种车的利润之和列式整理即可得解；根据B型车的进货量不超过A型车的2倍列不等式求出a的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【解答】解：（1）设每台A型车的利润为x元，则每台B型车的利润为（x+50）元，
根据题意得＝×2，
解得x＝120．
经检验，x＝120是原方程的解，
则x+50＝170．
答：每辆A型车的利润为120元，每辆B型车的利润为170元．
（2）设购进A型车a台，这100辆车的销售总利润为y元，
据题意得，y＝120a+170（100﹣a），即y＝﹣50a+17000，
100﹣a≤2a，
解得a≥33，
∵y＝﹣50a+17000，
∴y随a的增大而减小，
∵a为正整数，
∴当a＝34时，y取最大值，此时y＝﹣50×34+17000＝15300．
即商店购进34台A型车和66台B型车，才能使销售总利润最大，最大利润是15300元．
七、解答题（共12分）
25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，过E作EM∥AC交AB于点M，连接MD．
（1）当∠ADC＝80°时，求∠CBE的度数；
（2）当∠ADC＝α时：
①求证：BE＝CE；
②求证：∠ADM＝∠CDM；
③当α为多少度时，DM＝EM．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求出∠ACD＝50°，则∠BCE＝40°，由BE∥DA可得∠ADC＝∠BED，再根据∠BED＝∠EBC+∠ECB可求得∠CBE的度数；
（2）①根据等腰三角形的性质可求出∠ACD＝90°﹣，则∠BCE＝，由BE∥DA可得∠ADC＝∠BED＝α，再根据∠BED＝∠EBC+∠ECB可求得∠CBE＝，则BE＝CE得证；
②延长BE交AC于点G，则E为BG中点，ME∥AC，可得M为AB的中点，证△AMF≌△BME得出ME＝MF，由等腰三角形的性质可得证；
③当α为60°时，可证得∠MDE＝30°，可得DM＝EM．
【解答】（1）解：∵DA＝DC，∠ADC＝80°，
∴∠DAC＝∠DCA＝50°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣50°＝40°，
∵AD∥BE，
∴∠BED＝∠ADC＝80°，
∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝80°﹣40°＝40°，
（2）证明：①∵DA＝DC，∠ADC＝α，
∴∠DAC＝∠DCA＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣＝，
∵AD∥BE，
∴∠BED＝∠ADC＝α，
∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝α﹣＝，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴EB＝EC；
证明：②如图，延长EM交AD于F，延长BE交AC于点 G，
∵∠BCG＝90°，BE＝CE，
∴CE＝EG，
∴E为BG的中点，
∵ME∥AC，
∴AM＝BM，
∵BE∥DA，
∴∠FAM＝∠EBM，
∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，
∴△AMF≌△BME（ASA），
∴MF＝ME，
∵EF∥AC，
∴∠FED＝∠DFE＝∠ACD＝∠DAC，
∴DF＝DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∴∠ADM＝∠CDM；
解：③当α为60°时，DM＝EM，理由如下：
∵∠ADC＝60°，
由②知：DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∴∠MDE＝30°，
在Rt△MDE中，tan∠MDE＝，
∴DM＝ME．
八、解答题（共14分）
26．（14分）定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k的关联直线．
（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；
（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连接AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．
【分析】（1）根据关联直线的定义可求；
（2）由题意可得a＝2，c＝3，设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，可得，可求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；
（3）由题意可得A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），可求AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值．
【解答】解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10
∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，
∴a＝2，c＝3，
可设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，
则其关联直线为y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，
∴
解得
∴抛物线y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1，
（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），
∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，
显然AB2＜BC2 且AB2＜AC2，故AB不能成为△ABC的斜边，
当AB2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，
当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得，
∵抛物线的顶点在第一象限
∴a＞0，即

B1
B2
B3
G1
G2
B1

（B1，B2）
（B1，B3）
（B1，G1）
（B1，G2）
B2
（B2，B1）

（B2，B3）
（B2，G1）
（B2，G2）
B3
（B3，B1）
（B3，B2）

（B3，G1）
（B3，G2）
G1
（G1，B1）
（G1，B2）
（G1，B3）

（G1，G2）
G2
（G2，B1）
（G2，B2）
（G2，B3）
（G2，G1）