湖南省长沙市2020-2021学年高一上学期期末数学试题（word版 含答案）

湖南省长沙市2020-2021学年高一上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．命题p：，，则是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3． （    ）

A． B． C． D．

4．若、是实数，则是的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

5．下列函数中与函数是同一函数的是（    ）

A． B． C． D．

6．函数的零点所在的区间可能是（    ）

A． B． C． D．

7．如果角的终边经过点，则（    ）

A． B．2 C． D．

8．若定义在上的奇函数在单调递增，且，则满足的解集是（    ）

A． B．

C． D．

9．要得到函数的图像，只要把函数图像

A．向右平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位

10．下列大小关系，正确的是                                   

A． B．

C． D．

11．已知，设则函数大致图象是（    ）

A． B． C． D．

12．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

13．下列函数是奇函数的有（    ）

A． B．

C． D．

14．对于任意实数，，，，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，则

15．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图象关于点对称

C．函数的图象关于直线对称

D．若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则一定有

三、填空题

16．________.

17．已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为_______

18．已知，且，则实数m的值为________.

19．有材料可做墙（不计高度和厚度），如图所示，要做间房，当堵纵墙的长度相等且长度等于________时，间房的总面积达到最大值.

20．记函数，其中表示不大于的最大整数，若方程在区间上有7个不同的实数根，则实数的取值范围为___________.

四、解答题

21．已知函数 (>0且≠1)的图像过点(9，2)

(1)求函数的解析式；

(2)解不等式．

22．已知，，关于x的不等式的解集为.

（1）求m，n的值；

（2）正实数a，b满足，求的最大值.

23．已知函数()的图象的两相邻对称轴间的距离为.

（1）求的值及函数的递增区间；

（2）若，且，求.

24．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，

（1）用角表示，的长度；

（2）当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.

25．已知函数(，)，且.

（1）求函数的解析式；

（2）若，函数的零点分别为，()，函数的零点分别为，()，求的最大值.

参考答案

1．A

【分析】

直接利用交集的定义求解即可，或利用排除法

【详解】

解法一由题意得，

解法二因为，所以，故排除B，D；因为，所以，故排除C.

故选：A.

2．C

【分析】

根据全称命题的否定是特征命题进行解答即可.

【详解】

因为命题：，，所以为：，.

故选：C.

3．C

【分析】

利用诱导公式计算即可.

【详解】

故选：C.

【点睛】

本题考查了利用诱导公式计算余弦，属于基础题.

4．C

【分析】

根据是增函数可得出.

【详解】

因为是增函数，所以是的充要条件.

故选：C.

5．A

【分析】

逐一判断四个选项中函数的定义域与对应法则是否与一致，进而得出答案.

【详解】

函数的定义域为

对于A项，的定义域为，对应法则与一致，则A正确；

对于B项，的对应法则与不一致，则B错误；

对于C项，的定义域为，则C错误；

对于D项，的定义域为，则D错误；

故选：A

6．B

【分析】

函数是上的增函数，判断所给区间端点值对应的函数值的正负，结合零点存在性定理可得答案.

【详解】

函数是上的增函数，是上的增函数，

故函数是上的增函数，

，

，

，

，

因为，所以函数在区间上存在零点.

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数零点所在区间，利用函数的单调性与零点存在性定理是解决本题的关键，

7．C

【分析】

由题意求得，再根据同角三角函数间的关系化简，代入计算可得选项．

【详解】

因为角的终边经过点，所以，所以，

故选：C．

8．D

【分析】

分析出函数在单调递增，可得出，然后分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.

【详解】

由于定义在上的奇函数在单调递增，则该函数在单调递增，

且，.

显然当时，；

当时，由可得，解得；

当时，由可得，解得.

因此，不等式的解集为.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

9．C

【分析】

把化成后可得平移的方向及长度．

【详解】

因为，

故把函数图像向右平移个单位后可得的图像．

故选：C．

【点睛】

本题考查三角函数的图像平移变换，注意平移变换（左右平移）是自变量发生变化，如函数的图像，它可以由向左平移个单位，而不是，本题为易错题．

10．B

【详解】

本题考查指数函数，对数函数，幂函数的单调性及应用.

是减函数，所以都是增函数，所以

是增函数，所以是增函数，所以是减函数，所以则故选B

11．C

【分析】

在同一直角坐标系中画出和的图象，保留上方的图象即可.

【详解】

由题可知，表示和中函数值较大的函数，

如图，在同一直角坐标系中画出和的图象，保留上方的图象即可，

故选：C.

12．D

【分析】

首先分离参数可得，然后结合对勾函数的性质求得，从而可确定的取值范围．

【详解】

因为不等式对一切恒成立，

所以在区间上恒成立，

由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增，

且当时，，所以

故实数的取值范围是．

故选：．

【点睛】

方法点睛：一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式的符号即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.

13．AC

【分析】

根据奇函数的定义逐个判断可得.

【详解】

对于,令,则,所以选项正确;

对于,令,则,故不正确;

对于,令,则,故选项正确;

对于,函数的定义域为,不关于原点对称,故选项不正确.

故选：AC.

【点睛】

熟练运用奇函数定义是解题关键.

14．AB

【分析】

可代入特例判断选项、错，可由性质定理判断、对.

【详解】

解：若，则，对，

由不等式同向可加性，若，，则，对，

当令，，，，则，错，

令，，则，错.

故选：.

【点睛】

本题考查了不等式的性质，需熟记性质，属于基础题.

15．ACD

【分析】

首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．

【详解】

,故函数的最小正周期为,故正确;

当时, 故错误;

当时, 故正确;

当实数时,使得方程在上恰好有三个实数解

则一定有,故正确.

故选:.

【点睛】

本题考查正弦型函数的周期性、奇偶性和对称性，难度一般.

16．2

【分析】

先分别求的值，再求最终结果．

【详解】

∵，

∴．

故答案为：2．

【点睛】

指、对数混合运算技巧：

(1)应用常用对数值；

(2)灵活应用运算性质；

(3) 逆用法则、公式；

(4) 应用换底公式，化为同底结构．

17．1

【分析】

利用扇形的面积S，即可求得结论．

【详解】

∵扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，

∴扇形的面积S1cm2，

故答案为1

【点睛】

本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

18．

【分析】

先根据，求出，再利用换底公式求出，再根据，即可解出.

【详解】

解：，

，

即，

，

又，

，

即，

解得：，

又，

.

故答案为：.

19．

【分析】

设堵纵墙的长度为，则横墙的长度为，可得出间房的总面积为，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的值，由此可得出结论.

【详解】

设堵纵墙的长度为，则横墙的长度为，

间房的总面积，

当且仅当，即时，所以，间房的总面积达到最大值.

故答案为：.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

20．

【分析】

在同一直角坐标系内，画出，的图像，结合图形，由题中条件，即可得出结果.

【详解】

在同一直角坐标系内，作出函数，的图象，如图所示，

由图像可得，函数与在区间内有个交点，

即方程在区间上有个实根，

故方程在区间上有个不同实根，即只需与在区间内有个交点，

当直线经过点时，，经过点时，.

若在区间上有4个根，则.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：

已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的常用方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

21．（1）（2）

【分析】

(1)利用函数图象经过点(9,2),解得的值,即可得到函数解析式;

(2)根据对数的底数判断函数的单调性,利用单调性可解不等式.

【详解】

(1)因为，所以，即

(2)因为单调递增，所以

即不等式的解集是

【点睛】

本题考查了利用对数函数的单调性解不等式,属于基础题.

易错点:容易忽视定义域.

22．（1），；（2）.

【分析】

（1）利用不等式解集的端点为方程的根求得，再求解不等式即可得；

（2）代入，可得，再利用基本不等式的乘“”法求得最值即可.

【详解】

（1）根据题意，不等式的解集为，

即方程的两根为和n，则有

解可得，.

（2）正实数a，b满足，即，变形有，则

，

当且仅当，时，取等号.

【点睛】

本题考查的是利用基本不等式求最值的知识，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正:各项均为正；二定:积或和为定值；三相等:等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

23．（1），单调增区间为()；（2）.

【分析】

(1)由已知结合正弦函数的对称性可求，代入已知函数解析式后，结合正弦函数的单调性，即可求解；

(2)由已知结合同角三角函数平方关系，求出，再将变为 ，利用两角差的正弦公式展开，即可求解.

【详解】

（1）由题意知，又，所以，

又，所以.

∴，∴，，

∴，，单调增区间为().

（2）由题意，∵，

∴，∴，

∴.

【点睛】

本题主要考查求三角函数的图象性质及给值求值问题，同时考查同角三角函数关系，熟练运用两角差的正弦公式及角的变换是解题关键.

24．（1），；（2）当时，矩形有最大面积，最大面积为.

【分析】

（1）先把矩形的各个边长用角α及表示出来，进而表示出矩形的面积；

（2）再利用角α的范围，结合正弦，余弦的二倍角公式，辅助角公式化简，再由正弦函数的性质可求求矩形面积的最大值即可．

【详解】

（1）由题意知：在中，，.

在中，，

所以.

（2）设矩形的面积为S，则

.

由，得，所以当，即时，.

因此，当时，矩形有最大面积，为.

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角函数模型，将三角函数模型用所学的恒等式变换公式进行化简，由三角函数的性质求得最值．

25．（1）；（2）最大值是.

【分析】

（1）运用待定系数法即可得函数的解析式.

（2）根据零点存在的条件，结合指数幂的运算法则，建立条件关系可得结论．

【详解】

（1）∵，∴.解得，

所以函数的解析式.

（2）由得，即，或，

则，，

由，得，

即或，

则或，则，，

即，

∵，∴，则，

即，则，

故的最大值是.

【点睛】

关键点点睛：本题考查指数函数的图象与性质，函数的零点的应用，难度较大，解决的关键在于将零点问题转化为方程的根的问题，再运用指数幂，对数的运算得以解决．